計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)信息的表示及運(yùn)算

第一章本章基本要求：1.

掌握計(jì)算機(jī)中各常用計(jì)數(shù)制間的轉(zhuǎn)換方法；2.

掌握計(jì)算機(jī)機(jī)內(nèi)信息的主要編碼形式；

?帶符號(hào)數(shù)的編碼：原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼；?無(wú)符號(hào)數(shù)的編碼；?其它編碼：BCD碼、ASCII碼、漢字編碼；3.

掌握定點(diǎn)數(shù)的表示方法及定點(diǎn)數(shù)的加、減運(yùn)算。4.了解浮點(diǎn)數(shù)的表示方法。11.1 數(shù)制

1.1.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制的幾個(gè)基本概念進(jìn)位計(jì)數(shù)制：用少量的數(shù)字符號(hào)（也稱數(shù)碼），按先后次序把它們排成數(shù)位，由低到高進(jìn)行計(jì)數(shù)，計(jì)滿進(jìn)位，這樣的方法稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制基數(shù)：進(jìn)位制的基本特征數(shù)，即所用到的數(shù)字符號(hào)個(gè)數(shù)。例如十進(jìn)制：用0~9

十個(gè)數(shù)碼表示，基數(shù)為10權(quán)：進(jìn)位制中各位“1”所表示的值為該位的權(quán)常用的進(jìn)位制：

2，8，10，16進(jìn)制。2

1）十進(jìn)制計(jì)數(shù)制(Decimal)基數(shù):

10;

符號(hào):

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；計(jì)算規(guī)律:

“逢十進(jìn)一”或“借一當(dāng)十”；并列表示:

N10=dn-1dn-2???d1d0d-1d-2???d-m

多項(xiàng)式展開:N10=dn-1

×10n-1

+

…d1

×101

+

d0

×100

+

d-1

×10-1

+

...d-m×10-m

m,n為正整數(shù),其中n為整數(shù)位數(shù)；m為小數(shù)位數(shù)。

Di表示第i位的系數(shù),10i稱為該位的權(quán).3

2）二進(jìn)制(Binary)基數(shù):2符號(hào):0,1計(jì)算規(guī)律:逢二進(jìn)一或借一當(dāng)二二進(jìn)制的多項(xiàng)式表示:N2=dn-1×2n-1+

dn-2×2n-2+

??????d1×21+

d0×20

+

d-1×2-1+

d-2×2-2+??????d-m×2-m其中n為整數(shù)位數(shù)；m為小數(shù)位數(shù)。

Di表示第i位的系數(shù),2i稱為該位的權(quán).

例如:一個(gè)二進(jìn)制數(shù)(1101.01)2的多項(xiàng)式表示：

(1101.01)2=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2=(13.25)104☆二進(jìn)制數(shù)的性質(zhì)移位性質(zhì)：小數(shù)點(diǎn)左移一位，數(shù)值減小一半小數(shù)點(diǎn)右移一位，數(shù)值擴(kuò)大一倍奇偶性質(zhì)：最低位為0，偶數(shù)最低位為1，奇數(shù)☆二進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：只有0，1兩個(gè)數(shù)碼，易于用物理器件表示。運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單；0，1與邏輯命題中的真假相對(duì)應(yīng)，為計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)邏輯運(yùn)算和邏輯判斷提供有利條件。缺點(diǎn)：書寫冗長(zhǎng)，不易識(shí)別，不易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤5

3）十六進(jìn)制(Hexadecimal)基數(shù):

16符號(hào):

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F計(jì)算規(guī)律:

逢十六進(jìn)一或借一當(dāng)十六十六進(jìn)制的多項(xiàng)式表示:N16=dn-1×16n-1+

dn-2×16n-2+

...d1×161+

d0×160

+

d-1×16-1+

d-2×16-2+...d-m×16-m

其中n為整數(shù)位數(shù)；m為小數(shù)位數(shù)。

Di表示第i位的系數(shù),16i稱為該位的權(quán).例如：十六進(jìn)制數(shù)(2C7.1F)16的表示：

(2C7.1F)16=2×162+12×161+7×160+1×16-1+15×16-24）八進(jìn)制(Octal)

其定義與十六進(jìn)制相似，請(qǐng)自習(xí)掌握。6

1.1.2進(jìn)位計(jì)數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換1）R進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的方法按權(quán)展開法:先寫成多項(xiàng)式,然后計(jì)算十進(jìn)制結(jié)果.N=dn-1dn-2...d1d0d-1d-2...d-m=dn-1×Rn-1+

...d1×R1+d0×R0+

d-1×R-1...d-m×R-m例如:寫出(1101.01)2,(237)8,(10D)16的十進(jìn)制數(shù)

(1101.01)2=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

=8+4+1+0.25=13.25

(237)8=2×82+3×81+7×80=128+24+7=159(10D)16=1×162+13×160=256+13=2697

2）十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制方法一般分為兩個(gè)步驟：☆整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換

除2取余法（基數(shù)除法）減權(quán)定位法☆小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換

乘2取整法（基數(shù)乘法）8除基取余法：

把給定的除以基數(shù),取余數(shù)作為最低位的系數(shù),然后繼續(xù)將商部分除以基數(shù),余數(shù)作為次低位系數(shù),重復(fù)操作直至商為0

例如：用基數(shù)除法將(327)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)2327

余數(shù)216312

8112401

22002100

25022121020

1

(327)10=(101000111)29減權(quán)定位法將十進(jìn)制數(shù)依次從二進(jìn)制的最高位權(quán)值進(jìn)行比較，若夠減則對(duì)應(yīng)位置1，減去該權(quán)值后再往下比較，若不夠減則對(duì)應(yīng)位為0，重復(fù)操作直至差數(shù)為0。例如：將(327)10

轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)327-256=711 71<1280 71-64=71 7<320 7<160 7<80 7-4=31 3-2=11 1-1=01(327)10

=（101000111）2

10乘基取整法(小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換)

把給定的十進(jìn)制小數(shù)乘以2,取其整數(shù)作為二進(jìn)制小數(shù)的第一位,然后取小數(shù)部分繼續(xù)乘以2,將所的整數(shù)部分作為第二位小數(shù),重復(fù)操作直至得到所需要的二進(jìn)制小數(shù)例如:將(0.8125)10

轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù).

整數(shù)部分

2×0.8125=1.6251 2×0.625=1.251 2×0.25=0.50 2×0.5=1.0

1

(0.8125)10=(0.1101)211例如:將(0.2)10

轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)0.2×

2=0.4 整數(shù)部分

00.4×2=0.8 00.8×2=1.6 10.6×2=1.2 10.2×2=0.4 00.4×2=0.8 00.8×2=1.6 10.6×2=1.2

1……（至滿足需要精度為止）(0.2)10=[0.001100110011…]212

3）其它進(jìn)制之間的直接轉(zhuǎn)換法

二<-->八

二<-->十六

00000000010008001100011100190102001021010A0113001131011B1004010041100C1015010151101D1106011061110E1117011171111F13二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制例：(10110111.01101)2(10110111.01101)2=(267.32)8八進(jìn)制:267.32二進(jìn)制:010,110,111

.

011,010二進(jìn)制:10,110,111.

011,0114八進(jìn)制轉(zhuǎn)換二進(jìn)制例如:(123.46)8 =(001,010,011.100,110)2 =(1010011.10011)215二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制例：(110110111.01101)2(10110111.01101)2=(1B7.68)16十六進(jìn)制:1B7.68二進(jìn)制:0001,1011,0111.0110,1000二進(jìn)制:

1,1011,0111.0110,116十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制例如:(7AC.DE)16 =(0111,1010,1100.1101,1110)2 =(11110101100.1101111)2171.2數(shù)值數(shù)據(jù)的編碼與表示1.2.1帶符號(hào)數(shù)的編碼名詞解釋：真值和機(jī)器數(shù)真值:正、負(fù)號(hào)加某進(jìn)制數(shù)絕對(duì)值的形式稱為真值。

如二進(jìn)制真值：

X=+1011；y=-1011機(jī)器數(shù)：符號(hào)數(shù)碼化的數(shù)稱為機(jī)器數(shù)。常用的幾種碼制表示法原碼、補(bǔ)碼、反碼、移碼181）原碼表示法

原碼表示法用“0”表示正號(hào)，用“1”表示負(fù)號(hào)，有效值部分用二進(jìn)制的絕對(duì)值表示。以下n均表示字長(zhǎng)的有效位數(shù)。純小數(shù)：

X1-2-(n-1)≥X≥0

[X]原=1-X=1+|X|0≥X≥-(1-2-(n-1))完成下列數(shù)的真值到原碼的轉(zhuǎn)換X1=+0.1011011

[X1]原=0.1011011X2=-0.1011011

[X2]原=

1.101101119純整數(shù)：

X2n-1-1≥X≥0

[X]原=2n-1-X=2n-1+|X|0≥X≥-(2n-1-1)完成下列數(shù)的真值到原碼的轉(zhuǎn)換X1=+01011011

X2=-01011011[X1]原=

01011011[X2]原=

1101101120原碼小數(shù)的表示范圍:[+0]原=0.0000000;[-0]原=1.0000000

最大值:1-2-(n-1)

最小值:-(1-2-(n-1))表示數(shù)值的個(gè)數(shù):2n-

1思考題：若二進(jìn)制的位數(shù)分別是8位、16位,試求其表示的最大值、最小值及所能表示的數(shù)的個(gè)數(shù)？

8位:127/128，-127/128，25516位:32767/32768,-32767/32768,6553521原碼整數(shù)的表示范圍:[+0]原=00000000;[-0]原=10000000

最大值:2(n-1)-1最小值:-(2-(n-1)-1)表示數(shù)的個(gè)數(shù):2n-

1思考題：若二進(jìn)制的位數(shù)分別是8、16,求其表示的最大值、最小值及表示數(shù)的個(gè)數(shù)。8位:127，-127，25516位:32767,-32767,6553522原碼特點(diǎn)：表示簡(jiǎn)單、易懂;同真值之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換方便;實(shí)現(xiàn)乘除運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單;進(jìn)行加減運(yùn)算十分麻煩。232）補(bǔ)碼表示法模：計(jì)量器具的容量或稱為模數(shù)。

4位字長(zhǎng)的機(jī)器表示的二進(jìn)制整數(shù)為：

0000~1111

共16種狀態(tài)，模為16=24

。

☆n位字長(zhǎng)整數(shù)(包括1位符號(hào)位)的模值為2n，

☆n位純小數(shù)(包括1位符號(hào)位)的模值為2,

☆n位數(shù)的模值:n位數(shù)取全1后并在末位加1。

補(bǔ)碼的定義(機(jī)器數(shù)的最高位表示符號(hào))

正數(shù)的補(bǔ)碼就是正數(shù)的本身，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是原負(fù)數(shù)加上模。24純小數(shù)求補(bǔ)：

X1-2-(n-1)≥X≥0

[x]補(bǔ)=2+X=2-|X|0>X≥-1

完成下列數(shù)的真值到補(bǔ)碼的轉(zhuǎn)換X1=+0.1011011

X2=-0.1011011[X1]補(bǔ)=0.1011011[X2]補(bǔ)=1.010010125純整數(shù)求補(bǔ)：

X

2(n-1)-1

≥X≥0

[x]補(bǔ)=

2n+X=2n-|X|

0>X≥-

2(n-1)完成下列數(shù)的真值到補(bǔ)碼的轉(zhuǎn)換X1=+01011011

X2=-01011011[X1]補(bǔ)=01011011[X2]補(bǔ)=1010010126補(bǔ)碼的表示范圍:

N位純整數(shù):2n-1-1~-2n-1

N位純小數(shù):1-2-(n-1)~-1

均能表示2n

個(gè)數(shù)

在補(bǔ)碼系統(tǒng)中,由于0有唯一的編碼,因此n位二進(jìn)制能表示個(gè)2n補(bǔ)碼數(shù)。27原碼與補(bǔ)碼之間的轉(zhuǎn)換原碼求補(bǔ)碼正數(shù)

[X]補(bǔ)=[X]原負(fù)數(shù)符號(hào)除外，各位取反，末位加1例：

X=-01001001

[X]原=11001001，

[X]補(bǔ)=10110110+1=10110111

[X]補(bǔ)=28+X=100000000-1001001=10110111100000000-1001001

10110111

28由[X]補(bǔ)求[-X]補(bǔ)（求機(jī)器負(fù)數(shù)—從原碼求補(bǔ)碼）運(yùn)算過(guò)程是連同符號(hào)位一起將各位取反，末位再加1。設(shè)字長(zhǎng)N=8位例：X=+1001001 [X]補(bǔ)=01001001[-X]補(bǔ)=10110110+1 [-X]補(bǔ)=1011011129最大的優(yōu)點(diǎn)——將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)換成加法運(yùn)算。[X]補(bǔ)-[Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)例如

X=(11)10=(1011)2;Y=(5)10=(0101)2

已知字長(zhǎng)n=5位[X]補(bǔ)-[Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)=01011+11011=100110=00110=(6)10

注：最高1位已經(jīng)超過(guò)字長(zhǎng)故應(yīng)丟掉303）反碼表示法

正數(shù)的表示與原、補(bǔ)碼相同；負(fù)數(shù)的反碼符號(hào)位為1，數(shù)值位是將原碼的數(shù)值按位取反，就得到該數(shù)的反碼表示。純小數(shù):

X

1＞X≥0

[X]反=

(2-2-(n-1)

)+X

0≥X>-(1-2-(n-1))X1=+0.1011011,[X1]反=0.1011011

X2=-0.1011011,[X2]反=1.0100100

1.1111111

-

0.

1011011

1.

010010

0

31純整數(shù):

X2n-1

>X

≥0[X]反=(2n

-1)+X0≥X>-2n-1

X3=+1011011,[X3]反=01011011

X4=-1011011,

[X4]反=10100100

11111111-1011011

10100100

零的反碼不唯一!

[+0]反=00000000;[-0]反=11111111324）移碼（增碼）表示法[X]移=2n-1

+X

2n-1-1

≥X≥

-2n-1

X1=01010101[X1]補(bǔ)=01010101[X1]移=11010101

X2=-01010101[X2]補(bǔ)=10101011[X2]移=00101011331.2.2無(wú)符號(hào)數(shù)的表示在數(shù)據(jù)處理的過(guò)程中，如不需要設(shè)置符號(hào)位時(shí):可用全部字長(zhǎng)來(lái)表示數(shù)值大小。如8位無(wú)符號(hào)數(shù)的取值范圍是0~255（2８－１）。

¤由此可見:同樣位數(shù)的數(shù)據(jù)在機(jī)器中,采用無(wú)符號(hào)表示或有符號(hào)表示其取值范圍是不同的!34碼制表示法小結(jié)[X]原、[X]反、[X]補(bǔ)用“0”表示正號(hào)，用“1”表示負(fù)號(hào)；[X]移用“1”表示正號(hào)，用“0”表示負(fù)號(hào)。如果X為正數(shù)，則[X]原=[X]反=[X]補(bǔ)。如果X為0，則[X]補(bǔ)、[X]移有唯一編碼，[X]原、[X]反則有兩種編碼。移碼與