數(shù)值方法數(shù)學(xué)系教師信息授課教師信息數(shù)學(xué)系劉娟辦公室：南海樓317辦公電話：85228590郵箱：jnuljstudent@163.com教材信息教材《數(shù)值分析》（第五版），李慶揚(yáng)等著，清華大學(xué)出版社，2012.參考書適合自己的才是最好的！需要時去圖書館找《數(shù)值分析》、《計(jì)算方法》、《數(shù)值方法》等包含相關(guān)名稱的書籍作參考。學(xué)分和成績評定學(xué)分及授課方式：3+1學(xué)分，課堂講授48學(xué)時，上機(jī)實(shí)驗(yàn)32學(xué)時成績評定期末成績：60%實(shí)驗(yàn)成績：20%平時及期中成績：20%第一章引論一、數(shù)值分析簡介數(shù)值分析研究各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算方法。這些數(shù)值計(jì)算方法需要：面向計(jì)算機(jī)、有可靠的理論分析、有好的計(jì)算復(fù)雜性。包括“數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近和微分方程數(shù)值解法”三部分內(nèi)容。二、數(shù)值計(jì)算的誤差誤差來源模型誤差截?cái)嗾`差（數(shù)值方法本身產(chǎn)生的誤差）如用近似所造成的誤差舍入誤差（原始數(shù)據(jù)誤差和計(jì)算機(jī)舍入誤差）如用3.14近似pi，或用計(jì)算機(jī)近似0.1時所產(chǎn)生的誤差二、數(shù)值計(jì)算的誤差2.誤差與有效數(shù)字絕對誤差：e*=x*-x相對誤差：er*=(x*-x

)∕x有效數(shù)字二、數(shù)值計(jì)算的誤差2.誤差與有效數(shù)字絕對誤差：e*=x*-x誤差限：由于x通常無法確定，只能估計(jì)其絕對誤差值不超過某整數(shù)ε*，則稱ε*為絕對誤差限。相對誤差：er*=(x*-x

)∕x有效數(shù)字二、數(shù)值計(jì)算的誤差2.誤差與有效數(shù)字絕對誤差：e*=x*-x相對誤差：er*=(x*-x

)∕x有效數(shù)字二、數(shù)值計(jì)算的誤差2.誤差與有效數(shù)字絕對誤差：e*=x*-x相對誤差：er*=(x*-x

)∕x相對誤差限：由于x通常無法確定，只能估計(jì)其相對誤差近似值|x*-x

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∕|x*|不超過某整數(shù)εr*，則稱εr*為相對誤差限。有效數(shù)字二、數(shù)值計(jì)算的誤差2.誤差與有效數(shù)字絕對誤差：e*=x*-x相對誤差：er*=(x*-x

)∕x有效數(shù)字二、數(shù)值計(jì)算的誤差2.誤差與有效數(shù)字絕對誤差：e*=x*-x相對誤差：er*=(x*-x

)∕x有效數(shù)字若近似值x*的誤差限不超過某一位的半個單位，該位到x*的第一位非零數(shù)字共有n位，就說x*有n位有效數(shù)字。x*可表示為其中，a1,a2,…,an

都是0～9中的任一整數(shù)，但a1≠0。其絕對誤差限滿足：二、數(shù)值計(jì)算的誤差2.誤差與有效數(shù)字絕對誤差：e*=x*-x相對誤差：er*=(x*-x

)∕x有效數(shù)字如取作為的近似值，取，就有3位有效數(shù)字，就有5位有效數(shù)字.取，有幾位有效數(shù)字？1二、數(shù)值計(jì)算的誤差2.誤差與有效數(shù)字絕對誤差：e*=x*-x相對誤差：er*=(x*-x

)∕x有效數(shù)字反之，則至少具有位有效數(shù)字.

定理

若具有位有效數(shù)字，則其相對誤差限為若的相對誤差限，二、數(shù)值計(jì)算的誤差3.數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)

三、誤差分析與避免誤差危害誤差分析：通俗來說，由于初始數(shù)據(jù)誤差以及算法中每一次運(yùn)算都受舍入誤差影響，需要分析它們對結(jié)果的總的影響三、誤差分析與避免誤差危害

誤差定量分析（了解）向前誤差分析向后誤差分析概率分析法三、誤差分析與避免誤差危害

誤差定量分析（了解）向前誤差分析如fl(AB)=AB+ε向后誤差分析如fl(AB)=(A+ε)(B+δ)概率分析法三、誤差分析與避免誤差危害2.誤差定性分析算法的數(shù)值穩(wěn)定性病態(tài)問題與條件數(shù)三、誤差分析與避免誤差危害2.誤差定性分析算法的數(shù)值穩(wěn)定性例如關(guān)于In=e-1∫01xnexdx(n=0,1,...)的兩種算法一個算法如果輸入數(shù)據(jù)有誤差，而在計(jì)算過程中舍入誤差不增長，則稱算法數(shù)值穩(wěn)定，否則稱此算法不穩(wěn)定病態(tài)問題與條件數(shù)三、誤差分析與避免誤差危害2.誤差定性分析算法的數(shù)值穩(wěn)定性病態(tài)問題與條件數(shù)三、誤差分析與避免誤差危害2.誤差定性分析算法的數(shù)值穩(wěn)定性病態(tài)問題與條件數(shù)對一個數(shù)值問題本身，如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動（誤差），引起輸出數(shù)據(jù)（問題解）相對誤差較大，就是病態(tài)問題條件數(shù)：解的相對誤差關(guān)于輸入數(shù)據(jù)相對誤差的擴(kuò)張情況三、誤差分析與避免誤差危害2.誤差定性分析算法的數(shù)值穩(wěn)定性病態(tài)問題與條件數(shù)例如求解f(x)=xn的值，以及線性方程組

三、誤差分析與避免誤差危害3.避免誤差危害避免兩個相近的數(shù)相減；避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值；防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)現(xiàn)象；簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)；選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法。四、數(shù)值計(jì)算中的算法設(shè)計(jì)技術(shù)1.多項(xiàng)式求值的秦九韶算法是減少計(jì)算復(fù)雜度的一個典型算法四、數(shù)值計(jì)算中的算法設(shè)計(jì)技術(shù)2.迭代法是按同一公式重復(fù)計(jì)算逐次逼近的算法

用迭代公式求解：

假定，求等價(jià)于解方程四、數(shù)值計(jì)算中的算法設(shè)計(jì)技術(shù)3.以直代曲化整為零在數(shù)值計(jì)算中將非線性問題線性化的常用方法，在幾何上體現(xiàn)為局部范圍以直線近似曲線

四、數(shù)值計(jì)算中的算法設(shè)計(jì)技術(shù)3.以直代曲化整為零在數(shù)值計(jì)算中將非線性問題線性化的常用方法，在幾何上體現(xiàn)為局部范圍以直線近似曲線解f(x)=0的牛頓迭代法；四、數(shù)值計(jì)算中的算法設(shè)計(jì)技術(shù)3.以直代曲化整為零在數(shù)值計(jì)算中將非線性問題線性化的常用方法，在幾何上體現(xiàn)為局部范圍以直線近似曲線微積分中計(jì)算定積分的梯形公式。四、數(shù)值計(jì)算中的算法設(shè)計(jì)技術(shù)4.加權(quán)平均的