2013年考研數(shù)三真題及答案解析一、選擇題1—8小題．每題4分，共32分．、１．當(dāng)〔A〕〔C〕時，用表示比高階的無窮小，那么以下式子中錯誤的選項是〔〕〔B〕〔D〕【詳解】由高階無窮小的定義可知〔A〕〔B〕〔C〕都是正確的，對于〔D〕可找出反例，例如當(dāng)時，但而不是故應(yīng)該選〔D〕．2．函數(shù)〔A〕0的可去間斷點的個數(shù)為〔〕〔B〕1〔C〕2〔D〕3【詳解】當(dāng)時，，，所以是函數(shù)是函數(shù)的可去間斷點．，所以的可去間斷點．，所以所以不是函數(shù)的可去間斷點．故應(yīng)該選〔C〕．３．設(shè)〕是圓域的第象限的局部，記，那么〔〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【詳解】由極坐標(biāo)系下二重積分的計算可知所以，應(yīng)該選〔B〕．４．設(shè)為正項數(shù)列，那么以下選擇項正確的選項是〔〕〔A〕假設(shè)〔B〕假設(shè)〔C〕假設(shè)，那么收斂；；收斂，那么收斂．那么存在常數(shù)，使存在；收斂．〔D〕假設(shè)存在常數(shù)，使存在，那么【詳解】由正項級數(shù)的比擬審斂法，可知選項〔D〕正確，故應(yīng)選〔Ｄ〕．此小題的〔A〕〔B〕選項想考查的交錯級數(shù)收斂的萊布尼茲條件，對于選項〔A〕，但少一條件，顯然錯誤．而萊布尼茲條件只是交錯級數(shù)收斂的充分條件，不是必要條件，選項〔B〕也不正確，反例自己去構(gòu)造．５．設(shè)Ａ，Ｂ，Ｃ均為階矩陣，假設(shè)ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，那么〔A〕矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價．〔B〕矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價．〔C〕矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價．〔D〕矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價．【詳解】把矩陣A，C列分塊如下：，由于ＡＢ＝Ｃ，那么，同理可知矩可知，得到矩陣C的列向量組可用矩陣A的列向量組線性表示．同時由于B可逆，即陣A的列向量組可用矩陣C的列向量組線性表示，所以矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價．應(yīng)該選〔B〕．6．矩陣〔A〕〔C〕與矩陣〔B〕〔D〕相似的充分必要條件是，為任意常數(shù)，為任意常數(shù)【詳解】注意矩陣是對角矩陣，所以矩陣A=與矩陣相似的充分必要條件是兩個矩陣的特征值對應(yīng)相等．從而可知，即，為任意常數(shù)，應(yīng)選擇〔B〕．7．設(shè)是隨機變量，且，，那么〔A〕〔C〕〔B〕〔D〕【詳解】假設(shè)，那么，，，．應(yīng)選擇〔A〕．8．設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X和Y的概率分布分別為XP01/211/421/83P1/8YP-11/301/311/3那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【詳解】，應(yīng)選擇〔C〕．二、填空題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上〕9．設(shè)曲線和在點處有切線，那么．【詳解】由條件可知．所以10．設(shè)函數(shù)是由方程確定，那么．【詳解】設(shè)，那么，當(dāng)時，，所以．11．．【詳解】12．微分方程的通解為．【詳解】方程的特征方程為，其中，兩個特征根分別為，所以方程通解為為任意常數(shù)．13．設(shè)是三階非零矩陣，為其行列式，為元素的代數(shù)余子式，且滿足，那么=．【詳解】由條件可知，其中為A的伴隨矩陣，從而可知，所以可能為或0．但由結(jié)論所以可知，可知,伴隨矩陣的秩只能為3，14．設(shè)隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正分布，那么．【詳解】．所以為．三、解答題15．〔此題總分值10分〕當(dāng)時，與是等價無窮小，求常數(shù)．【分析】主要是考查時常見函數(shù)的馬克勞林展開式．【詳解】當(dāng)時，，，，所以，由于與是等價無窮小，所以．16．〔此題總分值10分〕設(shè)D是由曲線，直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，，求的值．分別是D繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，假設(shè)【詳解】由微元法可知；；由條件，知．17．〔此題總分值10分〕設(shè)平面區(qū)域D是由曲線所圍成，求．【詳解】．18．〔此題總分值10分〕設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定本錢為6000元，可變本錢為20元/件，價格函數(shù)為位：元，Q是銷量，單位：件〕，產(chǎn)銷平衡，求：〔P是單價，單〔1〕該的邊際利潤．〔2〕當(dāng)P=50時的邊際利潤，并解釋其經(jīng)濟意義．〔3〕使得利潤最大的定價P．【詳解】〔1〕設(shè)利潤為，那么，邊際利潤為〔2〕當(dāng)P=50時，Q=10000，邊際利潤為20．經(jīng)濟意義為：當(dāng)P=50時，銷量每增加一個，利潤增加20．〔3〕令，得19．〔此題總分值10分〕設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，，且，證明〔1〕存在，使得〔2〕對〔1〕中的，存在，使得．【詳解】證明〔1〕由于，所以存在，當(dāng)時，有，又由于在上連續(xù)，且，由介值定理，存在，使得〔2〕函數(shù)在上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，．存在，使得20．〔此題總分值11分〕設(shè)，問當(dāng)為何值時，存在矩陣C，使得，并求出所有矩陣C．【詳解】顯然由那么可知，如果C存在，那么必須是2階的方陣．設(shè)，變形為，即得到線性方程組，要使C存在，此線性方程組必須有解，于是對方程組的增廣矩陣進行初等行變換如下，所以，當(dāng)時，線性方程組有解，即存在矩陣C，使得．此時，，所以方程組的通解為，也就是滿足的矩陣C為，其中為任意常數(shù)．21．〔此題總分值11分〕設(shè)二次型．記．〔1〕證明二次型對應(yīng)的矩陣為；〔2〕假設(shè)正交且為單位向量，證明在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為．【詳解】證明：〔1〕所以二次型對應(yīng)的矩陣為．證明〔2〕設(shè)，由于那么，所以為矩陣對應(yīng)特征值的特征向量；的特征向量；，所以為矩陣對應(yīng)特征值而矩陣A的秩，所以也是矩陣的一個特征值．故在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為．22．〔此題總分值11分〕設(shè)是二維隨機變量，X的邊緣概率密度為，在給定的條件下，Y的條件概率密度為〔1〕求〔2〕Y的的邊緣概率密度【詳解】〔1〕．的聯(lián)合概率密度；．的聯(lián)合概率密度：〔2〕Y的的邊緣概率密度：23．〔此題總分值11分〕設(shè)總體X