2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)，，則“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．設(shè)分別為的三邊的中點，則（）A． B． C． D．3．設(shè)集合，，若集合中有且僅有2個元素，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．4．設(shè)復(fù)數(shù)z＝，則|z|＝（）A． B． C． D．5．若的展開式中的系數(shù)之和為，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．16．已知a＞b＞0，c＞1，則下列各式成立的是（）A．sina＞sinb B．ca＞cb C．a(chǎn)c＜bc D．7．已知函數(shù)，，若方程恰有三個不相等的實根，則的取值范圍為（）A． B．C． D．8．記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．9．已知整數(shù)滿足，記點的坐標為，則點滿足的概率為（）A． B． C． D．10．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．111．已知集合，，，則（）A． B． C． D．12．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自內(nèi)切圓的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．三所學(xué)校舉行高三聯(lián)考，三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為160，240，400，為調(diào)查聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績，現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這三所學(xué)校中抽取樣本，若在學(xué)校抽取的數(shù)學(xué)成績的份數(shù)為30，則抽取的樣本容量為____________.14．已知三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積是________.15．已知復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位．若的實部與虛部相等,則實數(shù)的值為__________．16．執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的的值為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，面.（1）在線段上是否存在點，使面，說明理由；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）在極坐標系中，直線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線與曲線的交點的直角坐標.19．（12分）數(shù)列滿足，，其前n項和為，數(shù)列的前n項積為.（1）求和數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的前n項和，并證明：對任意的正整數(shù)m、k，均有.20．（12分）如圖,在平面直角坐標系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點,且點的縱坐標是．（1）求的值:（2）若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標為,求的值．21．（12分）如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且，，，，是棱的中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，，已知,(1)求數(shù)列的首項和公比；（2）求數(shù)列的通項公式．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】設(shè)，若函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以，“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對稱”；若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以，“的圖象關(guān)于軸對稱”“是奇函數(shù)”.因此，“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.2、B【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:,故選:B【點睛】本題考查了向量加法的線性運算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由題意知且，結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知，，則，故，又，則，所以，所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運算，以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題，其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

先用復(fù)數(shù)的除法運算將復(fù)數(shù)化簡，然后用模長公式求模長.【詳解】解：z＝＝＝＝﹣﹣,則|z|＝＝＝＝.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由，進而分別求出展開式中的系數(shù)及展開式中的系數(shù)，令二者之和等于，可求出實數(shù)的值.【詳解】由，則展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，二者的系數(shù)之和為，得.故選：B.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項判斷即可【詳解】對A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定，故錯誤；對B,因為y＝cx為增函數(shù)，且a＞b，所以ca＞cb，正確對C,因為y＝xc為增函數(shù),故，錯誤；對D,因為在為減函數(shù)，故，錯誤故選B．【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．7、B【解析】

由題意可將方程轉(zhuǎn)化為，令，，進而將方程轉(zhuǎn)化為，即或，再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個不相等的實根，即，①.因為，①式兩邊同除以，得.所以方程有三個不等的正實根.記，，則上述方程轉(zhuǎn)化為.即，所以或.因為，當時，，所以在，上單調(diào)遞增，且時，.當時，，在上單調(diào)遞減，且時，.所以當時，取最大值，當，有一根.所以恰有兩個不相等的實根，所以.故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.8、C【解析】

先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值，再根據(jù)的方程組可得的值，從而得到數(shù)列的公比，進而得到數(shù)列的通項和前項和，根據(jù)后兩個公式可得正確的選項.【詳解】因為為等比數(shù)列，所以，故即，由可得或，因為為遞增數(shù)列，故符合.此時，所以或（舍，因為為遞增數(shù)列）.故，.故選C.【點睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.9、D【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點共有37個，滿足條件的有7個，相除得到概率.【詳解】因為是整數(shù)，所以所有滿足條件的點是位于圓（含邊界）內(nèi)的整數(shù)點，滿足條件的整數(shù)點有共37個，滿足的整數(shù)點有7個，則所求概率為.故選：.【點睛】本題考查了古典概率的計算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.10、D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標表示即可求解．【詳解】因為，且，，則．故選：．【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標表示，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】

根據(jù)集合的基本運算即可求解.【詳解】解：，，，則故選：D.【點睛】本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為，所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

某層抽取的人數(shù)等于該層的總?cè)藬?shù)乘以抽樣比.【詳解】設(shè)抽取的樣本容量為x，由已知，，解得.故答案為：【點睛】本題考查隨機抽樣中的分層抽樣，考查學(xué)生基本的運算能力，是一道容易題.14、【解析】

將三棱錐補成長方體，設(shè)，，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，求得的值，然后利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】將三棱錐補成長方體，設(shè)，，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，由勾股定理可得，上述三個等式全部相加得，，因此，三棱錐的外接球面積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，根據(jù)三棱錐對棱長相等將三棱錐補成長方體是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.15、【解析】

直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡,結(jié)合已知條件即可求出實數(shù)的值.【詳解】解：的實部與虛部相等,所以,計算得出.故答案為:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】初始條件成立方；運行第一次：成立；運行第二次：不成立；輸出的值：結(jié)束所以答案應(yīng)填：考點：1、程序框圖；2、定積分.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）存在；詳見解析（2）【解析】

（1）利用面面平行的性質(zhì)定理可得，為上靠近點的三等分點，中點，證明平面平面即得；（2）過作交于，可得兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標系，求出長，寫出各點坐標，用向量法求二面角．【詳解】解：（1）當為上靠近點的三等分點時，滿足面.證明如下，取中點，連結(jié).即易得所以面面，即面．（2）過作交于面，兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)面法向量，則，即取同理可得面的法向量綜上可知銳二面角的余弦值為．【點睛】本題考查立體幾何中的存探索性命題，考查用空間向量法求二面角．線面平行問題可通過面面平行解決，一定要掌握：立體幾何中線線平行、線面平行、面面平行是相互轉(zhuǎn)化、相互依存的．求空間角一般是建立空間直角坐標系，用空間向量法求空間角．18、【解析】

將直線的極坐標方程和曲線的參數(shù)方程分別化為直角坐標方程,聯(lián)立直角坐標方程求出交點坐標,結(jié)合的取值范圍進行取舍即可.【詳解】因為直線的極坐標方程為，所以直線的普通方程為，又因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線的直角坐標方程為，聯(lián)立方程,解得或，因為，所以舍去，故點的直角坐標為.【點睛】本題考查極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化;考查運算求解能力;熟練掌握極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.19、（1），；（2），證明見解析【解析】

（1）利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項公式．（2）利用裂項相消法求出數(shù)列的和，進一步利用放縮法求出結(jié)論．【詳解】（1），，得是公比為的等比數(shù)列，，，當時，數(shù)列的前項積為，則，兩式相除得，得，又得，；（2），故.【點睛】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的前項和的應(yīng)用，裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．20、（1）（2）【解析】

（1）依題意,任意角的三角函數(shù)的定義可知,,進而求出．在利用余弦的和差公式即可求出.（2）根據(jù)鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標是,得出,進而得出,利用正弦的和差公式即可求出,結(jié)合為銳角,為鈍角,即可得出的值.【詳解】解：因為銳角的終邊與單位圓交于點,點的縱坐標是,所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知,．從而．（1）于是．（2）因為鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標是,所以,從而．于是．因為為銳角,為鈍角,所以從而．【點睛】本題本題考查正弦函數(shù)余弦函數(shù)的定義,考查正弦余弦的兩角和差公式,是基礎(chǔ)題.21、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）根據(jù)平面，四邊形是矩形，由為中點，且，利用平面幾何知識，可得，又平面，所以，根據(jù)線面垂直的判定定理可有平面，從而得證.（2）分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，得到，，，，分別求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.【詳解】（1）證明：∵平面，∴四邊形是矩形，∵為中點，且，∴，∵，，，∴.∴，∵，∴與相似，∴，∴，∴，∵，∴平面，∴平面，∵平面，∴，∴平面，∴.（2）如圖，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，設(shè)平