會計(jì)學(xué)1ch32微分中值定理當(dāng)時，當(dāng)時，則所以則第1頁/共34頁例如,第2頁/共34頁幾何解釋:第3頁/共34頁證由費(fèi)爾馬定理知必有第4頁/共34頁注意(1)若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足, 其結(jié)論可能不成立.例如,(2)定理指出了導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題第5頁/共34頁例1證由羅爾定理知同理可知第6頁/共34頁例2設(shè)至少存在一點(diǎn)求證：分析：證明：由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)第7頁/共34頁例3若實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式證明：至少有一個小于1的正根.分析：第8頁/共34頁證明：令由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即：所以至少有一個小于1的正根.第9頁/共34頁11羅爾定理的幾何意義也一條切線平行于AB

弦可以解釋為:至少存在問題:去掉f(a)=f(b)的條件,此結(jié)論是否仍然成立?左圖顯示此結(jié)論是正確的第10頁/共34頁二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第11頁/共34頁幾何解釋:證分析:弦AB方程為第12頁/共34頁作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.第13頁/共34頁拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理第14頁/共34頁推論1推論2微分中值定理公式：微分公式：第15頁/共34頁例4求拉格朗日中值定理中的解：所以使由知第16頁/共34頁例5證第17頁/共34頁例6證由上式得第18頁/共34頁20若曲線由參數(shù)方程(其中a≤t≤b)給出,則在曲線上,存在某點(diǎn)C(設(shè)其參數(shù)為ξ),在C處所作的切線與AB

弦平行CA(g(a),f(a))、B(g(b),f(b)),如果設(shè)A

、B

點(diǎn)的坐標(biāo)為即應(yīng)有第19頁/共34頁三、柯西(Cauchy)中值定理第20頁/共34頁幾何解釋:證作輔助函數(shù)第21頁/共34頁第22頁/共34頁例7

若f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(a>0),證明:在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使成立解上式等價于設(shè)則由a>0知,f(x),g(x)滿足柯西中值定理的條件,即

存在ξ(a,b),使第23頁/共34頁例8設(shè)f(x)在[x1,x2]上可微,且x1x2>0,證明:存在ξ

(x1,x2)使解原式故取由

x1x2>0,可知F(x),G(x)在[x1,x2]上滿足柯西中值定理?xiàng)l件第24頁/共34頁

存在ξ

(x1,x2)使應(yīng)用柯西中值定理,結(jié)論成立第25頁/共34頁例7證分析:結(jié)論可變形為第26頁/共34頁分析：即證即第27頁/共34頁亦即證明：取在則使即知，存在由Cauchy定理第28頁/共34頁四、三個中值定理之間的關(guān)系Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.第29頁/共34頁五、中值定理的初步應(yīng)用證明：由羅爾定理知，使第30頁/共34頁又在在由羅爾定理知，存在使第31頁/共34頁33例(證不等式)證明:解在[a,b]上利用拉格朗日中值定理,有第32頁/共34頁定理應(yīng)用（習(xí)題類型）:1