會計學1D63三重積分的1計算定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì):例如下列“乘中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,

積和式”極限記作第1頁/共34頁1.利用直角坐標計算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次積分法先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計算.的密度函數(shù),方法:第2頁/共34頁方法1.投影法(“先一后二”)該物體的質(zhì)量為細長柱體微元的質(zhì)量為微元線密度≈記作第3頁/共34頁方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度≈記作第4頁/共34頁投影法方法3.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:第5頁/共34頁當被積函數(shù)在積分域上變號時,因為均為為非負函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計算.第6頁/共34頁小結(jié):三重積分的計算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次積分”具體計算時應(yīng)根據(jù)三種方法各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇.第7頁/共34頁其中

為三個坐標例1.

計算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面第8頁/共34頁例2.計算三重積分解:

用“先二后一”第9頁/共34頁例3解一先重后單第10頁/共34頁解二先單后重將投影到xoy

面得D例3第11頁/共34頁例4解第12頁/共34頁14解法一例5第13頁/共34頁解法二第14頁/共34頁例6解第15頁/共34頁2.利用柱坐標計算三重積分

第16頁/共34頁就稱為點M

的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關(guān)系:坐標面分別為圓柱面半平面平面第17頁/共34頁如圖所示,在柱面坐標系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量互相分離.第18頁/共34頁其中為例7.計算三重積分所解:

在柱面坐標系下及平面由柱面圍成半圓柱體.第19頁/共34頁例8.

計算三重積分解:

在柱面坐標系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=第20頁/共34頁解第21頁/共34頁第22頁/共34頁3.利用球坐標計算三重積分

就稱為點M

的球坐標.直角坐標與球面坐標的關(guān)系坐標面分別為球面半平面錐面第23頁/共34頁如圖所示,在球面坐標系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標表示時變量互相分離.第24頁/共34頁例10.計算三重積分解:

在球面坐標系下所圍立體.其中

與球面第25頁/共34頁例11.計算積分其中是兩個球(R>0)的公共部分.提示:

由于被積函數(shù)缺x,y,原式=利用“先二后一”計算方便.第26頁/共34頁課本例題3.6設(shè)(V)為球面x2+y2+z2=2az(a>0)和錐面(以z軸為對稱軸，頂角為2α)所圍的空間區(qū)域，求（V）的體積。第27頁/共34頁課本例題3.8計算第28頁/共34頁內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標系體積元素適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;第29頁/共34頁1.

將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習六個平面圍成,第30頁/共34頁2.設(shè)計算提示:利用對稱性原式