2023/1/17現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理江漢講師理工大學(xué)通信工程學(xué)院無線通信系通信對(duì)抗教研室2023/1/17第11章多速率數(shù)字信號(hào)處理江漢無線通信系通信對(duì)抗教研室2011年11月2023/1/17一、多速率信號(hào)處理的定義將信號(hào)從一給定速率轉(zhuǎn)換到另一不同速率的過程稱為采樣率轉(zhuǎn)換；應(yīng)用多種采樣率進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理的系統(tǒng)稱為多速率數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)。多速率信號(hào)處理在通信、語音信號(hào)處理、圖象處理等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。例如：在軟件無線電系統(tǒng)中，需要處理多種速率的數(shù)字信號(hào)。2023/1/17二、采樣率轉(zhuǎn)換的實(shí)現(xiàn)方法數(shù)字信號(hào)的采樣率轉(zhuǎn)換有兩種通用方法：一種方法是將數(shù)字信號(hào)通過一個(gè)D/A轉(zhuǎn)換器，如果需要就加上濾波，然后按所希望的速率對(duì)所得到的模擬信號(hào)重新采樣。這種方法明顯的優(yōu)點(diǎn)是可以任意選取新的采樣率并且與舊的采樣率沒有任何特殊關(guān)系。主要缺點(diǎn)是信號(hào)重構(gòu)時(shí)D/A轉(zhuǎn)換器會(huì)引入信號(hào)失真，并且A/D轉(zhuǎn)換過程中的量化效應(yīng)也會(huì)引入信號(hào)失真。第二種方法是完全在數(shù)字域?qū)崿F(xiàn)采樣率轉(zhuǎn)換。這種方法避免了上一種方法的缺點(diǎn)。2023/1/17二、采樣率轉(zhuǎn)換的實(shí)現(xiàn)方法基本思想：重構(gòu)后重新采樣信號(hào)重構(gòu)時(shí)域內(nèi)差法基本函數(shù)：時(shí)域內(nèi)插函數(shù)2023/1/17三、采樣率轉(zhuǎn)換的公式推導(dǎo)利用的速率對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣產(chǎn)生離散時(shí)間信號(hào)。利用如下差值公式，我們可以由樣本重構(gòu)得到一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)：2023/1/17三、采樣率轉(zhuǎn)換的公式推導(dǎo)內(nèi)插結(jié)果使得被恢復(fù)的信號(hào)在采樣點(diǎn)的值就等于

，采樣點(diǎn)之間的信號(hào)則是由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加而成。2023/1/17三、采樣率轉(zhuǎn)換的公式推導(dǎo)以進(jìn)行采樣，采樣率轉(zhuǎn)換的通用公式變成含義：直接利用原始序列的樣本和重構(gòu)函數(shù)來計(jì)算出采樣率轉(zhuǎn)換后的期望序列。2023/1/17三、采樣率轉(zhuǎn)換的公式推導(dǎo)按如下形式重排的參數(shù)令，其中，2023/1/17三、采樣率轉(zhuǎn)換的公式推導(dǎo)求和的下標(biāo)從n改成，可得給定，則輸入輸出采樣時(shí)刻就固定了函數(shù)每個(gè)m平移一次,以保證值位于處；所需要的值取決于輸入采樣時(shí)刻；2023/1/17結(jié)論：是輸入序列和一個(gè)沖擊響應(yīng)

的卷積！2023/1/17三、采樣率轉(zhuǎn)換的公式推導(dǎo)

為任意值情況式（11.1.9）所定義的采樣率轉(zhuǎn)換過程是一個(gè)離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，因此對(duì)每一個(gè)輸出樣本要求一個(gè)不同的沖擊響應(yīng)因此，對(duì)計(jì)算每個(gè)輸出樣本要先計(jì)算出一個(gè)新的系數(shù)集合或者從存儲(chǔ)中搜索。當(dāng)g(t)很復(fù)雜并且所要計(jì)算值的個(gè)數(shù)很大時(shí)，處理效率低下。2023/1/17三、采樣率轉(zhuǎn)換的公式推導(dǎo)

約束為有理數(shù)時(shí)情況式中表示k模I得到的值。此時(shí)，只能取I個(gè)不同的值0，1/I,…,(I-1)/I，所以只可能有I個(gè)不同的沖激相應(yīng)。由于可以取I個(gè)不同的值，周期為m，即：2023/1/17三、采樣率轉(zhuǎn)換的公式推導(dǎo)以一個(gè)整數(shù)因子D將采樣率降低的過程設(shè)定，可得：注意到輸入信號(hào)和沖擊響應(yīng)都按周期采樣。但是，沖擊響應(yīng)按步長(zhǎng)發(fā)生平移，因?yàn)槲覀冎恍枰?jì)算每D個(gè)樣本中的一個(gè)。由于I=1，我們得到，這樣對(duì)所有m只有一個(gè)沖激響應(yīng)。2023/1/17三、采樣率轉(zhuǎn)換的公式推導(dǎo)2023/1/17三、采樣率轉(zhuǎn)換的公式推導(dǎo)利用一個(gè)整數(shù)因子I提高采樣率的過程設(shè)定，可得注意到都是按周期采樣的。但是，計(jì)算每個(gè)輸出樣本時(shí)沖擊響應(yīng)按步長(zhǎng)發(fā)生平移，這樣每個(gè)樣本需要額外“填充”

(I-1)個(gè)值構(gòu)成一個(gè)周期。2023/1/172023/1/17四、整數(shù)倍抽取信號(hào)的預(yù)處理假定對(duì)具有譜的信號(hào)以整數(shù)因子D進(jìn)行下采樣，如果簡(jiǎn)單的通過每隔D個(gè)選取一個(gè)值來降低采樣率那么所得的信號(hào)將是的一個(gè)混疊形式，其折疊頻率為首先將的帶寬減少到,即將輸入序列通過一個(gè)由沖激響應(yīng)和頻率響應(yīng)描述的低通濾波器。理想情況下，該頻率響應(yīng)滿足條件:

2023/1/17四、整數(shù)倍抽取該濾波器的輸出是，如下式所示：2023/1/17四、整數(shù)倍抽取對(duì)其以因子D下采樣得到即說明：雖然上的濾波操作是線性并且是時(shí)不變的，但是與濾波組合的下采樣操作產(chǎn)生一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)。假定由生成，注意到除非是D的倍數(shù)，否則無法從得到。因此，

上的所有線性操作（下采樣后的線形濾波）是時(shí)變的。

（怎樣證明？課后作業(yè)?。?023/1/17四、整數(shù)倍抽取輸出序列的的頻率特性可以通過的譜和輸入序列的譜的相關(guān)來獲得。先定義一個(gè)新序列：顯然可視為乘上周期為D的序列得到的序列，如圖11.2.2所示。的離散傅立葉級(jí)數(shù)表示為:而

2023/1/17四、整數(shù)倍抽取2023/1/17四、整數(shù)倍抽取對(duì)輸出序列進(jìn)行變換：

注意：最后一步是由的前提推出的，進(jìn)一步推導(dǎo)得：2023/1/17四、整數(shù)倍抽取通過在單位圓上計(jì)算，我們得到輸出信號(hào)的頻譜。由于的采樣率為，即頻率分量，記為歸一化頻率,單位為rad，與采樣率有關(guān)，

由于得即

可見，通過下采樣過程，頻率區(qū)間擴(kuò)展到相應(yīng)的頻率區(qū)間2023/1/17四、整數(shù)倍取2023/1/17四、整數(shù)倍抽取譜可以通過在單位圓上計(jì)算得到：

利用適當(dāng)?shù)臑V波器可以消除混疊,因此上式中除了首項(xiàng)外都變成零。對(duì)于，得序列、和的譜如圖11.2.3所示。2023/1/17四、整數(shù)倍抽取2023/1/17五、以因子I內(nèi)插將采樣率增加到I倍,可以通過在信號(hào)的兩個(gè)連續(xù)值之間內(nèi)插I-1個(gè)樣本來實(shí)現(xiàn)。這一內(nèi)插過程可以有許多方式實(shí)現(xiàn)。本節(jié)介紹一種保持信號(hào)序列x（n）的譜形狀不變的方式。2023/1/17五、以因子I內(nèi)插令v（m）表示采樣率為的序列，可以通過在x（n）的兩個(gè)連續(xù)值之間插入I-1個(gè)零得到。于是該序列的z變換為2023/1/17五、以因子I內(nèi)插V（m）相應(yīng)的譜可以通過V（m）在單位圓上的取值計(jì)算得到。即其中，表示新采樣率的頻率變量即2023/1/17五、以因子I內(nèi)插采樣率間的關(guān)系為，所以頻率變量間的關(guān)系為

和

的譜如圖11.3.1所示，其譜是輸入信號(hào)的譜的I次周期性重復(fù)折疊。2023/1/17五、以因子I內(nèi)插

2023/1/17五、以因子I內(nèi)插

鏡像頻率濾除由于只有在時(shí)的頻率成分才是需要的，故應(yīng)該將在以上的鏡像去掉，可通過如下理想低通濾波器：

其中，是對(duì)輸出序列進(jìn)行適當(dāng)歸一化的放縮因子。因此，輸出譜為2023/1/17五、以因子I內(nèi)插

縮放因子的選取令滿足條件：

則時(shí)，得：由于則因此，時(shí)得到所