☆第10頁共10頁2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試〔新課標II卷〕理科數(shù)學本試卷4頁，23小題，總分值150分．考試用時120分鐘．一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．〔〕A．B．C．D．1．【解析】，應選D．2．集合，那么中元素的個數(shù)為〔〕A．9B．8C．5D．42．【解析】，元素的個數(shù)為9，應選A．3．函數(shù)的圖像大致為〔〕A．O11O11xyO11xyC．O11O11xyO11xy3．【解析】，即為奇函數(shù)，排除A；由排除D；由排除C，應選B．4．向量滿足，，那么〔〕A．4B．3C．2D．04．【解析】，應選B．5．雙曲線的離心率為，那么其漸近線方程為〔〕A．B．C．D．5．【解析】離心率，所以，漸近線方程為，應選A．6．在中，，，，那么〔〕A．B．C．D．輸出是否結束開始輸出是否結束開始由余弦定理得，應選A．7．為計算，設計了右側的程序框圖，那么在空白框中應填入〔〕A．B．C．D．7．【解析】依題意可知空白框中應填入．第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；；第50次循環(huán)：，結束循環(huán)得，所以選B．8．我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜測的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜測是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和〞，如，在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是〔〕A．B．C．D．8．【解析】不超過的素數(shù)有：，共10個．從中選取兩個不同的數(shù)，其和等于的有：與、與、與，共3對．那么所求概率為，應選C．9．在長方體中，，，那么異面直線與所成角的余弦值為〔〕A．B．C．D．D1AD1ABCDA1C1B1xyz那么，，，，所以，，那么，應選C．10．假設在上是減函數(shù)，那么的最大值是〔〕A．B．C．D．10．【解析】因為在區(qū)間上是減函數(shù)，所以的最大值是，應選A．11．是定義域為的奇函數(shù)，滿足．假設，那么〔〕A．B．C．D．11．【解析】因為，所以，那么，的最小正周期為．又，，，，所以，選C．12．是橢圓的左、右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，那么的離心率為〔〕A．B．C．D．12．【解析】如圖，因為為等腰三角形，且，所以，那么的坐標為，故，化簡得，所以離心率，應選D．AAxyPF2F1O二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分．13．曲線在點處的切線方程為．13．【解析】，那么曲線在點處的切線方程為．14．假設滿足約束條件，那么的最大值為．xABCO－35y14．【解析】可行域為xABCO－35y15．，，那么．15．【解析】，，那么，即．16．圓錐的頂點為，母線所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為，假設的面積為，那么該圓錐的側面積為．ASBO16．【解析】如下圖，因為，所以ASBO，所以．又與圓錐底面所成角為，即，那么底面圓的半徑，圓錐的側面積．三、解答題：共70分．解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．〔一〕必考題：共60分．17．〔12分〕記為等差數(shù)列的前項和，，．〔1〕求的通項公式；〔2〕求，并求的最小值．17．【解析】〔1〕設等差數(shù)列的公差為，那么由，得，所以，即的通項公式為；〔2〕由〔1〕知，因為，所以時，的最小值為．18．〔12分〕下列圖是某地區(qū)2000年至2023年環(huán)境根底設施投資額〔單位：億元〕的折線圖．0020402402202001801601401201008060投資額20002001200220032004200520062007202320232023202320232023202320232023年份14192535374242475356122129148171184209220為了預測該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型，根據2000年至2023年的數(shù)據〔時間變量的值依次為〕建立模型①：；根據2023年至2023年的數(shù)據〔時間變量的值依次為〕建立模型②：．〔1〕分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設施投資額的預測值；〔2〕你認為哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．18．【解析】〔1〕將代入模型①：〔億元〕，所以根據模型①得該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設施投資額的預測值為億元；將代入模型②：〔億元〕，所以根據模型②得該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設施投資額的預測值為億元．〔2〕模型②得到的預測值更可靠．理由如下：答案一：從折現(xiàn)圖可以看出，2023年至2023年的數(shù)據對應的點并沒有緊密地均分分布在回歸直線的上下，2023年至2023年的環(huán)境根底設施投資額出現(xiàn)了明顯的大幅度增加，這說明模型①不能很好的反響環(huán)境根底設施投資額呈線性增長．而2023年至2023年的數(shù)據對應的點緊密的分布在回歸直線的附近，這說明模型②能更好地反響環(huán)境根底設施投資額呈線性增長，所以模型②得到的預測值更可靠．答案二：從計算結果來看，相對于2023年的環(huán)境根底設施投資額為220億元，利用模型①得到的該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設施投資額的預測值為億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設施投資額的預測值為億元的增幅明顯更合理，所以模型②得到的預測值更可靠．19．〔12分〕設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于兩點，．〔1〕求的方程；〔2〕求過點且與的準線相切的圓的方程．xFOABy－119．【解析】〔1〕焦點為xFOABy－1聯(lián)立方程組，得，令，那么，．根據拋物線的定義得，即，解得〔舍去〕，所以的方程為；〔2〕設弦的中點為，由〔1〕知，所以的坐標為，那么弦的垂直平分線為，令所求圓的圓心為，半徑為，根據垂徑定理得，由圓與準線相切得，解得或．那么所求圓的方程為：或20．〔12分〕如圖，在三棱錐中，，，為的中點．〔1〕證明：平面；PABCMO〔2〕假設點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．PABCMO20．【解析】〔1〕證明：連接，，為的中點，，，，即，，又，那么，即，PABCMOxyPABCMOxyz〔2〕由〔1〕知兩兩互相垂直，以為坐標原點建立如下圖的空間直角坐標系，那么，，，，，，令，．那么，，令平面的法向量為，由，取，得易知平面的一個法向量為，所以，解得〔舍去〕，即，因為，所以與平面所成角的正弦值為．21．〔12分〕函數(shù)．〔1〕假設，證明：當時，；〔2〕假設在只有一個零點，求．21．【解析】〔1〕方法1：欲證明當時，，即證明．令，那么，那么為增函數(shù)，，得證．方法2：時，，那么，令，那么，時，，為減函數(shù)，時，，為增函數(shù)，所以，即當時，，為增函數(shù)，所以，因此，時，．〔2〕方法1：假設在只有一個零點，那么方程只有一個實數(shù)根．令，等價于函數(shù)的圖像與直線只有一個公共點．又，時，，為減函數(shù)，時，，為增函數(shù)，所以，時，時．那么時，在只有一個零點．方法2：假設在只有一個零點，那么方程只有一個實數(shù)根．令，等價于函數(shù)的圖像與直線只有一個公共點．當直線與曲線相切時，設切點為，又，那么，此時．x1Oy2又當時，，x1Oy2時，，為增函數(shù)，所以，且時，時．根據與的圖像可知，時，函數(shù)的圖像與直線只有一個公共點，即在只有一個零點．〔二〕選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，那么按所做的第一題計分．22．[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]〔10分〕在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)〔1〕求和的直角坐標方程；〔2〕假設曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率．22．【解析】〔1〕消去參數(shù)，得的直角坐標方程為；消去參數(shù)，得的直角坐標方程為；〔的直角坐標方程也可寫成：或．〕〔2〕方法1：將的參數(shù)方程：為參數(shù)代入得：，即，由韋達定理得，