2023年湖南省永州市成考專升本高等數(shù)學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(50題)1.

2.函數(shù)f(x)=5x在區(qū)間[-1，1]上的最大值是A.A.-(1/5)B.0C.1/5D.5

3.

4.

5.（）。A.

B.

C.

D.

6.

7.微分方程y’-4y=0的特征根為（）A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

8.曲線y=x-3在點(1，1)處的切線斜率為()

A.-1B.-2C.-3D.-49.A.A.凹B.凸C.凹凸性不可確定D.單調(diào)減少10.當α＜x＜b時，f'(x)＜0，f'(x)＞0。則在區(qū)間(α，b)內(nèi)曲線段y=f(x)的圖形A.A.沿x軸正向下降且為凹B.沿x軸正向下降且為凸C.沿x軸正向上升且為凹D.沿x軸正向上升且為凸

11.

A.

B.1

C.2

D.＋∞

12.設方程y''-2y'-3y=f(x)有特解y*，則它的通解為A.y=C1e-x+C2e3x+y*

B.y=C1e-x+C2e3x

C.y=C1xe-x+C2e3x+y*

D.y=C1ex+C2e-3x+y*

13.

14.

15.在下列函數(shù)中，在指定區(qū)間為有界的是()。

A.f(x)=22z∈(一∞，0)

B.f(x)=lnxz∈(0，1)

C.

D.f(x)=x2x∈(0，+∞)

16.

17.A.A.

B.

C.

D.

18.設函數(shù)y=f(x)二階可導，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，則當△x>0時，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

19.

20.設z=y2x，則等于()．A.2xy2x-11

B.2y2x

C.y2xlny

D.2y2xlny

21.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是A.A.橢球面B.錐面C.柱面D.平面

22.

23.

24.

25.A.A.3B.1C.1/3D.0

26.

27.

A.-ex

B.-e-x

C.e-x

D.ex

28.A.A.e-x+CB.-e-x+CC.ex+CD.-ex+C29.二次積分等于()A.A.

B.

C.

D.

30.A.A.0

B.

C.

D.∞

31.

A.0

B.

C.1

D.

32.設f(x)在x=2處可導，且f'(2)=2，則等于()．A.A.1/2B.1C.2D.4

33.單位長度扭轉(zhuǎn)角θ與下列哪項無關()。

A.桿的長度B.扭矩C.材料性質(zhì)D.截面幾何性質(zhì)

34.

35.

36.點M(4，-3，5)到Ox軸的距離d=()A.A.

B.

C.

D.

37.下列等式成立的是（）。

A.

B.

C.

D.

38.

39.微分方程y"-y'=0的通解為()。A.

B.

C.

D.

40.

41.設在點x=1處連續(xù)，則a等于()。A.-1B.0C.1D.2

42.微分方程y''-2y'=x的特解應設為

A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+c

43.

44.設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，則曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍成的平面圖形的面積等于（）。A.

B.

C.

D.

45.A.A.2

B.

C.1

D.－2

46.

47.在特定工作領域內(nèi)運用技術、工具、方法等的能力稱為（）

A.人際技能B.技術技能C.概念技能D.以上都不正確

48.

49.

50.設區(qū)域，將二重積分在極坐標系下化為二次積分為()A.A.

B.

C.

D.

二、填空題(20題)51.52.53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.61.∫(x2-1)dx=________。62.63.

64.

65.

66.

67.

68.為使函數(shù)y=arcsin(u＋2)與u=｜x｜-2構成復合函數(shù)，則x所屬區(qū)間應為__________．

69.

70.冪級數(shù)的收斂半徑為______．三、計算題(20題)71.

72.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．73.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．74.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．75.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則76.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．77.

78.

79.

80.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

81.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．82.

83.

84.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

85.求曲線在點(1，3)處的切線方程．86.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．87.證明：88.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

89.求微分方程的通解．90.四、解答題(10題)91.92.

93.

94.計算，其中區(qū)域D滿足x2+y2≤1，x≥0，y≥0．

95.

96.

97.

98.99.設y=y(x)由方程y2-3xy+x3=1確定，求dy．100.五、高等數(shù)學(0題)101.微分方程xdy—ydx=0的通解是________。

六、解答題(0題)102.設y=x2ex，求y'。

參考答案

1.C

2.Df(x)=5x，f'(x)=5xln5＞0，可知f(x)在[-1，1]上單調(diào)增加，最大值為f(1)=5，所以選D。

3.A解析：

4.C

5.C

6.A

7.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根為2，-2，故選B．

8.C由導數(shù)的幾何意義知，若y=f(x)可導，則曲線在點(x0，f(x0))處必定存在切線，且該切線的斜率為f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲線y=x-3在點(1，1)處的切線斜率為-3，故選C。

9.A本題考查的知識點為利用二階導數(shù)符號判定曲線的凹凸性．

10.A由于在(α，b)內(nèi)f'(x)＜0，可知f(x)單調(diào)減少。由于f"(x)＞0，

可知曲線y=f'(x)在(α，b)內(nèi)為凹，因此選A。

11.C

12.A考慮對應的齊次方程y''-2y'-3y==0的通解.特征方程為r2-2r-3=0,所以r1=-1，r2=3，所以y''-2y'-3y==0的通解為，所以原方程的通解為y=C1e-x+C2e3x+y*.

13.D解析：

14.C

15.A∵0<2x<1x∈(一∞，0)∴f(x)=2x在區(qū)間(一∞，0)內(nèi)為有界函數(shù)。

16.A

17.D本題考查的知識點為偏導數(shù)的計算．

可知應選D．

18.B

19.B

20.D本題考查的知識點為偏導數(shù)的運算．

z=y2x，若求，則需將z認定為指數(shù)函數(shù)．從而有

可知應選D．

21.B

22.B

23.C解析：

24.D

25.A

26.D

27.C由可變上限積分求導公式有，因此選C．

28.B

29.A本題考查的知識點為交換二次積分的積分次序．

由所給二次積分限可知積分區(qū)域D的不等式表達式為：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其圖形如圖1-1所示．

交換積分次序，D可以表示為

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知應選A．

30.A本題考查的知識點為“有界變量與無窮小量的乘積為無窮小量”的性質(zhì)．這表明計算時應該注意問題中的所給條件．

31.A

32.B本題考查的知識點為導數(shù)在一點處的定義．

可知應選B．

33.A

34.C解析：

35.B解析：

36.B

37.C

38.D解析：

39.B本題考查的知識點為二階常系數(shù)齊次微分方程的求解。微分方程為y"-y'=0特征方程為r2-r=0特征根為r1=1，r2=0方程的通解為y=C1ex+c2可知應選B。

40.B

41.C本題考查的知識點為函數(shù)連續(xù)性的概念。

由于y為分段函數(shù)，x=1為其分段點。在x=1的兩側f(x)的表達式不同。因此討論y=f(x)在x=1處的連續(xù)性應該利用左連續(xù)與右連續(xù)的概念。由于

當x=1為y=f(x)的連續(xù)點時，應有存在，從而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此選C。

42.C本題考查了二階常系數(shù)微分方程的特解的知識點。

因f(x)=x為一次函數(shù),且特征方程為r2-2r=0,得特征根為r1=0,r2=2.于是特解應設為y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

43.C

44.C

45.C本題考查的知識點為函數(shù)連續(xù)性的概念．

46.D解析：

47.B解析：技術技能是指管理者掌握和熟悉特定專業(yè)領域中的過程、慣例、技術和工具的能力。

48.A

49.D

50.A本題考查的知識點為將二重積分化為極坐標系下的二次積分．

由于在極坐標系下積分區(qū)域D可以表示為

0≤θ≤π，0≤r≤a．

因此

故知應選A．

51.

52.1/3本題考查了定積分的知識點。

53.

54.

55.

56.2

57.2yex+x58.12dx+4dy．

本題考查的知識點為求函數(shù)在一點處的全微分．

59.

本題考查的知識點為二重積分的計算．

60.

61.62.本題考查的知識點為偏導數(shù)的運算。由于z=x2+3xy+2y2-y，可得

63.1/2本題考查的知識點為極限運算．

由于

64.2

65.e-6

66.

67.068.[-1，1

69.y-2=3(x-1)(或?qū)憺閥=3x-1)y-2=3(x-1)(或?qū)憺閥=3x-1)解析：70.0本題考查的知識點為冪級數(shù)的收斂半徑．

所給冪級數(shù)為不缺項情形

因此收斂半徑為0．71.由一階線性微分方程通解公式有

72.函數(shù)的定義域為

注意

73.由二重積分物理意義知

74.

75.由等價無窮小量的定義可知

76.

77.

則

78.

79.

80.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

81.

82.

83.

84.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％85.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

86.

列表：

說明

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.94.積分區(qū)域D如圖2-1所示．

解法1利用極坐標系．D可以表示為：

解法2利用直角坐標系．D可以表示為：

本題考查的知識點為計算二重積分；選擇積分次序或利用極坐標計算．

95.

96.

97.98.本題考查的知識點為兩個：定積分表示－個確定的數(shù)值；計算定積分．

這是解題的關鍵!為了能求出A，可考慮將左端也轉(zhuǎn)化為A的表達式，為此將上式兩端在[0，1]上取定積分，可得

得出A的方程，可解出A，從而求得f(x)．

本題是考生感到困難的題目，普遍感到無從下手，這是因為不會利用“定積分表示－個數(shù)值”的性質(zhì)．

這種解題思路可以推廣到極限、二重積分等問題中．

99.本題考查的知