北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊知識點總結(jié)及例題第一章直角三角形的邊角關(guān)系正切：在Rt△ABC中，銳角/A的對邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記作tanA，即NA的對邊tanA;NA的鄰邊tanA是一個完整的符號，它表示/A的正切，常省去角的符號2”；tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中/A的對邊與鄰邊的比；tanA不表示“tar乘以“A”tanA的值越大，梯子越陡，/A越大；2A越大，梯子越陡，tanA的值越大。例在Rt△ABC中,如果各邊長度都擴大為原來的2倍，那么銳角A的正弦值（）擴大2倍B.縮小2倍C.擴大4倍D.沒有變化正弦：在RQABC中，銳角2A的對邊與斜邊的比叫做2A的正弦，記作sinA，即NA的對邊皿—斜廠；1例在ABC中，若.C=90，sinA，AB=2，貝UABC的周長為2余弦：在RQABC中，銳角2A的鄰邊與斜邊的比叫做2A的余弦，記作COSA,即NA的鄰邊"—斜廠；例等腰三角形的底角為30°，底邊長為2,3，則腰長為（）4B.^.3C.2D.2、2一個銳角的正弦、余弦分別等于它的余角的余弦、正弦。30o45o60osinaCOSa

tanaABC中，/A,/Btana|tanB-、3|(2sinA-、.3)2=0，貝U△ABC^（）A.直角（不等腰）三角形B?等腰直角三角形C.等腰（不等邊）三角形D?等邊三角形當(dāng)從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角..當(dāng)從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角..在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。在厶ABC中，/C為直角，/A、/B、/C所對的邊分別為a、b、c,則有⑴三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2;（2）兩銳角的關(guān)系：/A+/B=90°;（3）邊與角之間的關(guān)系：1（4）面積公式：Sabchc（hc為C邊上的高）；例在厶ABC中,/C=90°，下列式子一定能成立的是（）A.a=csinBB.a=bcosBC.c=atanBD.a=btanA解直角三角形的幾種基本類型列表如下：-4—例ABC中，/C=90°,AC=2.5，/A的角平分線交BC于D,且AD=15，3則tanA的值為A、815B、.3C>—D、-533例已知，四邊形ABCD中,/ABC=/ADB=90°,AB=5,AD=3,BC=2.3,求四邊形ABCD勺面積S四邊形ABCDJ即BD時間t（秒）之如圖2,坡面與水平面的夾角叫做坡角.（或叫做坡比J即BD時間t（秒）之i=h=tanAl例一人乘雪橇沿坡度為1：3的斜坡滑下，滑下距離S（C間的關(guān)系為S=10t2t2,若滑動時間為4秒，則他下降的垂直高度為A、A、72米B、36米C、36.3米D、18、3米從某點的正北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3,OA、OB、OC的方位角分別為45°、135°、225

正北或正南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角.。如圖4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°,南偏東45°（東南方向）、南偏西為60°,北偏西60°（1）自變量的取值范圍是全體實數(shù)。（1）自變量的取值范圍是全體實數(shù)。（2）y=ax2（a=0）是二次函數(shù)的特例，此時常數(shù)b=c=0.（3）在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量白勺取值范圍.。二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條頂點在原點且關(guān)于y軸對稱的拋物線。［描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點、拋物線與x軸的交點等方面來描述。］函數(shù)的定義域是全體實數(shù)；拋物線的頂點在（0，0），對稱軸是y軸（或稱直線x=0）。當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當(dāng)av0時，拋物線開口向下，并且向下方無限伸展。函數(shù)的增減性：七代時』隨乂增大而減小；A、當(dāng)a>0時」葉亠古葉亠蘭0時,y隨x增大而增大..z'x蘭0時,y隨x增大而增大；B、當(dāng)av0時丿丄帖亠古、卡（x>0時,丫隨乂增大而減小.當(dāng)丨a|越大，拋物線開口越小；當(dāng)丨a丨越小，拋物線的開口越大。最大值或最小值：當(dāng)a>0，且x=0時函數(shù)有最小值，最小值是0;當(dāng)av0,且x=0時函數(shù)有最大值，最大值是0.二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條頂點在y軸上且關(guān)于y軸對稱的拋物線

二次函數(shù)y=ax2?c二次函數(shù)y=ax2?c的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向,|a快定拋物線的開口程度大小，c決定拋物線的頂點位置，即拋物線位置的高低。ax2bxc的圖象是以x—為對稱軸，頂點在（2a4.二次函數(shù)b2a，4ac-b24a的拋物線。（開口方向和大小由a來決定）5.二次函數(shù)y=ax2?bxc的圖象與y=ax25.二次函數(shù)y=ax2bxc的圖象可以由y=ax2的圖象平移得到，其步驟如下:將y=ax2bxc配方成y二a（x「h）2?k的形式；（其中h=-2ak=4^);4a把拋物線y=ax2向右（h>0）或向左（h<0）平移|h個單位，得到y(tǒng)=a（x-h）2的圖象；再把拋物線y=a（x-h）2向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個單位，便得到y(tǒng)二a（x-h）2?k的圖象。例將二次函數(shù)j=lS-2l+3配方成J=（l-j?）2+i的形式，則y=.例把拋物線yF:加"向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式是+\，則有（)A.，B.5=0,c=-15c.J3，匚3D.—，16.二次函數(shù)y=ax2?bx?c的性質(zhì):二次函數(shù)y二ax2?bx?c配方成y=a（xb）2仕打則2a4a①對稱軸：x=2a②頂點坐標：（—b，4ac-b2）2a4a③增減性：若a>0,則當(dāng)xv-直時，y隨x的增大而減??；2a當(dāng)x>-時，y隨x的增大而增大。2a若a<0若a<0，則當(dāng)xv_匕時,2ay隨x的增大而增大;當(dāng)X>_B時,2ay隨x的增大而減小。④最值：若a>0，則當(dāng)x=_當(dāng)X>_B時,2ay隨x的增大而減小。④最值：若a>0，則當(dāng)x=_衛(wèi)時,2ay最小4ac-b2h；若a<0，則當(dāng)X=_P時,2a4ac-b2y最大4a拋物線y「3的對稱軸是直線A.i2B.12二次函數(shù)y_-f|）'+2的最小值是（A.2B.2C.C.I1D.「ID.1二次函數(shù)、j.'.:的圖象如圖所示，若M二M+勿+cN二a-力+c，P2附*A.B.

D.A.B.

D.）“刈，<；，，，MM，：>:,:-:，:■:，P>9P>9P>9P<9二次函數(shù)的圖象如右圖，則點-'在（）A.第一象限B.第二象限第三象限D(zhuǎn).第四象限已知反比例函數(shù).?的圖象如右圖所示，則二次函數(shù)y於已知反比例函數(shù).?的圖象如右圖所示，則二次函數(shù)y於x:F的圖象大致為（）下面所示各圖是在同一直角坐標系內(nèi)，二次函數(shù)y加屮:皿與一次函數(shù)丿仇江的大致圖象，有且只有一個是正確的，正確的是（）畫二次函數(shù)y=ax2?bx?c的圖象：（五點法）2a，先找出頂點（一屯，込丄），畫出對稱軸x=2a，2a4a找出圖象上關(guān)于直線X二_衛(wèi)對稱的四個點（如與坐標的交點等）；2a把上述五點連成光滑的曲線。二次函數(shù)y二ax2，bxc的圖象（拋物線）與x軸的兩個交點的橫坐標Xi,X2是對應(yīng)一元二次方程ax2bx?c=0的兩個實數(shù)根拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：b2「4ac>0<===>拋物線與x軸有2個交點；b2-4ac=0<===>拋物線與x軸有1個交點；b-4ac<0<===>拋物線與x軸有0個交點（無交點）；TOC\o"1-5"\h\z例已知二次函數(shù)丫曲M，且右小，0加匚川，貝「定有（）A.於他刈B?爪犠0C.滬他訓(xùn)D.爪他w0例已知拋物線f—M+bw與x軸有兩個交點，那么一元二次方程d：=0的根的情況是.例已知拋物線y=aii+x+e與x軸交點的橫坐標為_1，貝憶+C=.第三章圓1.圓的定義：描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓.；固定的端點O叫做圓心；線段OA叫做半徑；以點O為圓心的圓，記作。O,讀作圓O'集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓.心，定長叫做圓的半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小,圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。2?點與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d,貝U點在圓上<===>d=r;點在圓內(nèi)<===>d<r;點在圓夕卜<===>d>r.例若OA的半徑為5,圓心A的坐標是(3,4)，點P的坐標是(5,8)，則點P的位置為()A、在OA內(nèi)B、在OA上C、在OA外D不能確定例若O0所在平面內(nèi)一點P到OO上的點的最大距離為a,最小距離為b(a>b),則此圓的半徑為()A口B.4c.山或口D.ab或a-b222圓的對稱性：與圓相關(guān)的概念：弦和直徑：弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦.。直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑?；?、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧.，簡稱弧，用符號“廠”表示，以CD為端點的弧記為“"「，讀作“圓弧CD或“弧CDo半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓..。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧.。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。)弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形.o同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角..弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距..圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎Φ牧踊?。上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論。定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等?例兩個同心圓的半徑分別為3cm和4cm,大圓的弦BC與小圓相切，則BC=__cm.例已知。O的半徑為2cm,弦AB長為2.3cm,則這條弦的中點到弦所對劣弧的中點的距離為()A1B2C3D4例如圖為直徑是52cm圓柱形油槽，裝入油后，油深CD為16cm,那么油面寬度AB=cm.圓周角和圓心角的關(guān)系：弧的概念：把頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的角都是C1°勺圓心角，相應(yīng)的整個圓也被等分成360份每一份同樣的弧叫1°弧.圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等，而不是角與弧相等.即不能寫成/AOB=P，,這是錯誤的.圓周角的定義：頂點在圓上并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑;例下面四個命題中，正確的一個是()A平分一條弦的直徑必垂直于這條弦B平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦C圓心角相等，圓心角所對的弧相等

D在一個圓中，平分一條弧和它所對弦的直線必經(jīng)過這個圓的圓心例如圖，△ABC內(nèi)接于。0,若/A=40°,則/OBC勺度數(shù)為()A.20°B.40°C.50°D.70°例如圖，小明同學(xué)設(shè)計了一個測量圓直徑的工具，標有刻度的尺子OAOB在O點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把O點靠在圓周上，讀得刻度OE=8個單位，OF=6個單位，貝U圓的直徑為()A.12個單位B.10個單位C.1個單位D.15個單位確定圓的條件：確定一個圓必須的具備兩個條件：圓心和半徑，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓，經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓，其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上.經(jīng)過三點作圓要分兩種情況經(jīng)過同一直線上的三點不能作圓?經(jīng)過不在同一直線上的三點，能且僅能作一個圓定理：不在同一直線上的三個點確定一個圓.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念：三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.三角形的外心的性質(zhì)：三角形外心到三頂點的距離相等.例平行四邊形的四個頂點在同一圓上，則該平行四邊形一定是()A、正方形B菱形C、矩形D、等腰梯形直線與圓的位置關(guān)系直線和圓相交、相切、相離的定義：相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線相切：直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線惟一的公共點做切點.相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離.直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：設(shè)。O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d;2020d<r<===>直線L和。0相交.d=r<===>直線L和。O相切.d>r<===>直線L和。0相離.（3）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線（4）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得如下結(jié)論：如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個?①垂直于切線；②過切點；③過圓心.（5）三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形?（6）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等?過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角?由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線：連接內(nèi)心和三角形的頂點，該線平分三角形的這個內(nèi)角?例下列四個命題中正確的是（）與圓有公共點的直線是該圓的切線垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線過圓直徑的端點，垂直于此直徑的直線是該圓的切線A、①②B②③C、③④D①④例過。0外一點P作。0的兩條切線PAPB,切點為A和B,若AB=8,AB的弦心距為3,則PA的長為（c25例如圖，P為。0外一點，PAPB分別切。0于A、B,CD切O0于點E,分別交PAPB于點CD,若PA=5則厶PCD勺周長為()A.5B.7C.8D.10圓和圓的位置關(guān)系.外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義?外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離?外切：兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切?這個惟一的公共點叫做切點?相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這個兩個圓相交?內(nèi)切：兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切?這個惟一的公共點叫做切點?內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一個特例.兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定：兩圓外離<===>d>R+r兩圓外切<===>d=R+r兩圓相交<===>R-r<d<R+r(R>r)兩圓內(nèi)切<===>d=R-r(R>r)兩圓內(nèi)含<===>d<R-r(R>r)相切兩圓的性質(zhì)：如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上.相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.例已知。O的半徑r為3cmoQ的半徑R為4cm兩圓的圓心距OQ為1cm則這兩圓的位置關(guān)系是()(A)相交(B)內(nèi)含(C)內(nèi)切(D)外切弧長及扇形的面積圓周長公式：圓周長C=2二R(R表示圓的半徑)弧長公式:弧長|=丄￡(R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù))180扇形定義：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.弓形定義：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.圓的面積公式.圓的面積S=恵R2(R表示圓的半徑)扇形的面積公式：2扇形的面積S扇形二出(R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù))360(7)弓形的面積公式：(1)當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時,S弓形-s扇形一s三角形(2)當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時,S弓形=S扇形'S三角形(3)當(dāng)弓形所含的弧是半圓時,0形12RS扇形2例如圖，一塊邊長為8cm的正三角形木板ABC在水平桌面上繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)至ABC的位置時，頂點C從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為(點ATOC\o"1-5"\h\zB、C在同一直線上)()A、16nB—nC、64冗D、—6n33例要修一段如上圖所示的圓弧形彎道，它的半徑是48m圓弧所對的圓心角是60°,那么這段彎道長m(保留n).例兩同心圓中，大圓的弦AB切小圓于C點，且AB=20cm則夾在兩圓間的圓環(huán)面積是cm2圓錐的有關(guān)概念：圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形,另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.

（2）圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算：圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點.如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長（扇形半徑）是I,底面圓周長（扇形弧長）為c,那么它的側(cè)面積是：例一個圓錐的底面半徑為3,高為4,則圓錐的側(cè)面積是。例圓錐的底面半徑為3cm側(cè)面展開圖是圓心角為120o的扇形，求圓錐的側(cè)面積。與圓有關(guān)的輔助線（1）如圓中有弦的條件，常作弦心距，或過弦的一端作半徑為輔助線