第五章特征值與特征或向量1.理解特征值與特征向量的概念與性質(zhì)，2.理解相似矩陣的概念與性質(zhì)，一、大綱要求會(huì)判定矩陣是否會(huì)求特征值與特征向量.相似于對(duì)角形，并求與之相似的對(duì)角陣.3.理解向量?jī)?nèi)積、長(zhǎng)度、夾角、正交矩陣的概念，會(huì)將線性無(wú)關(guān)的向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化.4.知道實(shí)對(duì)稱矩陣一定相似于對(duì)角形，并會(huì)求正交矩陣，使之相似于對(duì)角陣.二、補(bǔ)充例題解例求出正交矩陣使為對(duì)角陣.或都往第一列加故A的特征值為當(dāng)時(shí),解方程得基礎(chǔ)解系單位化當(dāng)時(shí),解方程得基礎(chǔ)解系單位化當(dāng)時(shí)解方程得基礎(chǔ)解系已經(jīng)是正交向量組單位化為正交矩陣為正交矩陣設(shè),求解A是實(shí)對(duì)稱矩陣,

所以A相似于對(duì)角陣?yán)蔄的特征值為解方程得基礎(chǔ)解系解方程得基礎(chǔ)解系單位化單位化使為可逆矩陣得基礎(chǔ)解系法1使為正交矩陣法2單位化試用施密特正交化方法把列向量組正交化

解令例為正交矩陣設(shè)3階矩陣A的特征多項(xiàng)式

解則A的整數(shù)特征值可能是哪些？所以A的整數(shù)特征值可能是易驗(yàn)證所以1是A的整數(shù)特征值。它們有的A的特征值嗎？解方法1方法2證設(shè)

證證1證2齊次方程組只有零解，設(shè)A是奇數(shù)階正交矩陣,且detA=1.證明：1是A的特征值.證或分析所以1是A的特征值.設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A滿足證明A+3I是正交矩陣。

證明所以A+3I是正交矩陣。設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值是1，1，-2屬于特征值-2的特征向量是求矩陣A。

解設(shè)矩陣A的屬于特征值1的特征向量為因?yàn)閷儆诓煌卣髦档奶卣飨蛄空换A(chǔ)解系為令則A的特征向量對(duì)應(yīng)的特征值-2，1，1設(shè)

3階矩陣A

與3維向量

X,使：

分析設(shè)

3階矩陣A

與3維向量

X,使：

解設(shè)

3階矩陣A

與3維向量

X,使：

法1設(shè)

3階矩陣A

與3維向量

X,使：

法2已知的特征向量，解是矩陣求A,并證明A的任一特征向量均能由設(shè)所對(duì)應(yīng)的特征值線性表出。即解得并證明A的任一特征向量均能由ξ線性表出。所以是A的三重特征值因?yàn)榻夥匠探M所以基礎(chǔ)解系含有1個(gè)向量所以基礎(chǔ)解系含有1個(gè)向量的特征向量，是矩陣基礎(chǔ)解系線性表出。所以A的任一特征向量均能由A能對(duì)角化嗎？不能！是的一個(gè)解求k設(shè)X所對(duì)應(yīng)的特征值為特征向量，練一練解即練一練解練一練設(shè)A是3階矩陣,A－１的特征值是1,2