《向量的減法運算》教學(xué)設(shè)計【教學(xué)目標(biāo)】1.理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量減法的意義．2.掌握向量減法的運算及其幾何意義，能熟練地進(jìn)行向量的加減運算．3.能將向量的減法運算轉(zhuǎn)化為向量的加法運算．4.通過向量的加法運算推出向量減法的三角形法則，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).【教學(xué)重點】掌握向量減法的運算及其幾何意義【教學(xué)難點】理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量減法的意義．【課時安排】1課時新知初探1．相反向量與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作--a.(1)規(guī)定：零向量的相反向量仍是仍是0；(2)－(－a)＝a；(3)a＋(－a)＝-a+a＝0；(4)若a與b互為相反向量，則a＝，b＝，a＋b＝0.思考1：方向相反的兩個向量是否互為相反向量？提示：不是，不只方向相反而且要長度相等是向量的向量才是相反向量，規(guī)定零向量的相反向量是它本身.2．向量的減法(1)定義：a－b＝a＋，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.(2)幾何意義：以O(shè)為起點，作向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，則＝a－b，如圖所示，即a－b可表示從向量b的終點指向向量a的終點的向量．口訣：同起點，連終點，箭頭指向被減思考2向量a-b能否轉(zhuǎn)化向量的和應(yīng)用加法法則進(jìn)行運算.提示：可以.將a-b可化為a+（-b）對a與b的相反向量的和利用平行四邊形法則或三角形法則即可作出.小試牛刀1、設(shè)b是a的相反向量，則下列說法錯誤的有________．①a與b的長度必相等；②a∥b；③a與b一定不相等；④a是b的相反向量．③【解析】因為0的相反向量是0，故③不正確2.若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是()A．eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(OF,\s\up15(→))＋eq\o(OE,\s\up15(→))B．eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(OF,\s\up15(→))－eq\o(OE,\s\up15(→))C．eq\o(EF,\s\up15(→))＝－eq\o(OF,\s\up15(→))＋eq\o(OE,\s\up15(→))D．eq\o(EF,\s\up15(→))＝－eq\o(OF,\s\up15(→))－eq\o(OE,\s\up15(→))B【解析】因為O，E，F(xiàn)三點不共線，則在△OEF中，由向量減法的幾何意義，得eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(OF,\s\up15(→))－eq\o(OE,\s\up15(→))，3.在平行四邊形ABCD中，向量eq\o(AB,\s\up15(→))的相反向量為________．答案：eq\o(BA,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))4.在△ABC中，D是BC的中點，設(shè)eq\o(AB,\s\up12(→))＝c，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，eq\o(BD,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝d，則d－a＝________.C【解析】d－a＝d＋(－a)＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DB,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＝c.例題講授【例1】如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.[解]解法一：如圖①，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up15(→))＝c，則eq\o(CB,\s\up15(→))＝a＋b－c.解法二：如圖②，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋b，再作eq\o(BC,\s\up15(→))＝－c，連接OC，則eq\o(OC,\s\up15(→))＝a＋b－c.方法總結(jié)求作兩個向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量.當(dāng)堂練習(xí)1如圖所示，在正五邊形ABCDE中，求作向量解：延長AC到Q，使CQ=AC則[思路點撥]按照向量加法和減法的運算法則進(jìn)行化簡，進(jìn)行減法運算時，必須保證兩個向量的起點相同．解:⑴原式=⑵解法一(統(tǒng)一成加法)：(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→)))－(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＝0.解法二(利用eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(BA,\s\up15(→)))：(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→)))－(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→)))－eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝0.解法三(利用eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→)))：設(shè)O是平面內(nèi)任意一點，則(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→)))－(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝(eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→)))－(eq\o(OD,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→)))－(eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→)))＋(eq\o(OD,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→)))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OD,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝0.方法總結(jié)向量加減法運算的基本方法(1)利用相反向量統(tǒng)一成加法(相當(dāng)于向量求和)；(2)運用減法公式eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))(正用或逆用均可)；(3)運用輔助點法，利用向量的定義將所有向量轉(zhuǎn)化為以其中一確定點為起點的向量，使問題轉(zhuǎn)化為有共同起點的向量問題．當(dāng)堂練習(xí)2下列各式中不能化簡為eq\o(AD,\s\up12(→))的是()A．(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(DC,\s\up12(→)))－eq\o(CB,\s\up12(→))B．eq\o(AD,\s\up12(→))－(eq\o(CD,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→)))C．－(eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(MC,\s\up12(→)))－(eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(BM,\s\up12(→)))D．－eq\o(BM,\s\up12(→))－eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→))D【解析】選項A中，(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(DC,\s\up12(→)))－eq\o(CB,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))；選項B中，eq\o(AD,\s\up12(→))－(eq\o(CD,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→)))＝eq\o(AD,\s\up12(→))－0eq\a\vs4\al(＝)eq\o(AD,\s\up12(→))；選項C中，－(eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(MC,\s\up12(→)))－(eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(BM,\s\up12(→)))＝－eq\o(CB,\s\up12(→))－eq\o(MC,\s\up12(→))－eq\o(DA,\s\up12(→))－eq\o(BM,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CM,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→))＝(eq\o(MB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CM,\s\up12(→)))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→)).【例3】如圖所示，解答下列各題：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up15(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up15(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up15(→))；(4)用c，d表示eq\o(EC,\s\up15(→)).[解](1)eq\o(DB,\s\up15(→))＝eq\o(DE,\s\up15(→))＋eq\o(EA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝d＋e＋a＝a＋d＋e.(2)eq\o(DB,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))＝－eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up15(→))＝eq\o(EA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝a＋b＋e.(4)eq\o(EC,\s\up15(→))＝－eq\o(CE,\s\up15(→))＝－(eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DE,\s\up15(→)))＝－c－d.方法總結(jié)(1)解決此類問題要充分利用平面幾何知識，靈活運用平行四邊形法則和三角形法則．(2)表示向量時要考慮以下問題：它是某個平行四邊形的對角線嗎？是否可以找到由起點到終點的恰當(dāng)途徑？它的起點和終點是否是兩個有共同起點的向量的終點？(3)必要時可以直接用向量求和的多邊形法則.當(dāng)堂練習(xí)3如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，eq\o(AE,\s\up15(→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→)).解：因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(AE,\s\up15(→))＝c，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝b－a＋c.探究:已知向量a，b，那么|a|－|b|與|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系？OBA圖3：反向BO向量a，b不共線OBA圖3：反向BO圖3：反向BO向量a，b同向圖3：反向BOAAOOAB圖3：反向BO（3）向量a，b反向OAB圖3：反向BO例3.已知菱形ABCD的邊長為2，則向量eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))的模為_____；|eq\o(AC,\s\up12(→))|的范圍是______．【思路點撥】畫出平行四邊形數(shù)形結(jié)合求解．【解析】因為eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))，又|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝2，所以|eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))|＝|eq\o