第7課時空間距離1．點到直線、平面的距離(1)由點向直線作

，這點與垂足間的距離是點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線段．(2)從平面外一點引這個平面的

，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離．(3)(B)點面距離的向量公式平面α的法向量為n，點P是平面α外一點，點M為平面α內(nèi)任意一點，則點P到平面α的距離d就是在向量n方向射影的絕對值，即d＝

.垂線垂線2．直線和平面、平面和平面的距離(1)一條直線和一個平面平行，這條直線上

到這個平面的距離叫做這條直線和平面的距離．作用：直線和平面的距離的定義將線面距轉(zhuǎn)化為點面距，也給出了求直線到平面的距離的方法．(2)兩個平行平面的公垂線和公垂線段：和兩個平行平面同時垂直的直線叫做兩個平行平面的

，它夾在這兩個平行平面間的部分，叫做兩個平行平面的

．任一點公垂線公垂線段(3)兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線段的

叫做兩個平行平面的距離．(4)夾在兩個平行平面間的平行線段

．(5)(B)線面、面面距離的向量公式平面α∥直線l，平面α的法向量為n，點M∈α、P∈l，平面α與直線l間的距離d就是在向量n方向上射影的絕對值，即d＝

.平面α∥平面β，平面α的法向量為n，點M∈α，P∈β，平面α與平面β間的距離d就是在向量n方向上射影的絕對值，即d＝

.長度相等3．異面直線的距離(1)異面直線的公垂線和兩條異面直線都

的直線叫做兩條異面直線的公垂線．兩條直線互相垂直，它們可能相交，也可能是異面直線，因此和兩條異面直線都垂直的直線有無數(shù)條(它們彼此互相平行)，但是和兩條異面直線都垂直且相交的直線卻有且只有一條．(2)兩條異面直線的距離兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的

的長度叫做兩條異面直線的距離．(B)異面直線的距離的向量公式設(shè)向量n與兩條異面直線a、b都垂直，M∈a、P∈b，則兩異面直線a、b間的距離d就是在向量n方向射影的絕對值，即d＝

.垂直且相交公垂線段1．已知平面α∥平面β，直線mα，直線nβ，點A∈m，點B∈n，記點A、B之間的距離為a，點A到直線n的距離為b，直線m和n的距離為c，則(

)A．c≤b≤a

B．c≤a≤bC．a(chǎn)≤c≤bD．b≤c≤a答案：

A2．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為1.線段A1D1的中點M到AB的距離為(

)答案：C3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到BC的距離是(

)答案：

D4．在邊長為a正方體ABCD－A1B1C1D1中，則異面直線，AB與A1D的距離為________．答案：5．如圖，已知點E是棱長為2的正方體AC1的棱長AA1的中點，則點A到平面EBD的距離等于________．答案：求異面直線的距離，利用定義法，一般應(yīng)先找出兩異面直線的公垂線段，再通過解三角形求解．

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O、M分別是BD1、AA1的中點．(1)求證：MO是異面直線AA1和BD1的公垂線；(2)求異面直線AA1與BD1所成的角的余弦值；(3)若正方體的棱長為a，求異面直線AA1與BD1的距離．解析：(1)連結(jié)OA、OA1.O點是BD1的中點，所以O(shè)是正方體的中心，所以O(shè)A＝OA1.又M為AA1的中點，即OM是線段AA1的垂直平分線，故OM⊥AA1，連結(jié)MD1，BM，則可得MB＝MD1，同理由O點為BD1的中點知MO⊥BD1，即MO是異面直線AA1和BD1的公垂線．(2)由于AA1∥BB1，所以∠B1BD1就是異面直線AA1與BD1所成的角．連結(jié)B1D1，在Rt△BB1D1中[變式訓(xùn)練]

1.設(shè)PA垂直于Rt△ABC所在的平面α，∠BAC＝90°，PB、PC分別與α成45°和30°角，PA＝2，則PA與BC的距離是________；點P到BC的距離是________．答案：一般找出(或作出)過此點與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)，過該點作出平面的垂線，進(jìn)而計算；也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離；有時直接利用已知點求距離比較困難時，可以把點到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，從而“轉(zhuǎn)移”到另一點上去求“點到平面的距離”．(2009·江西卷)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N.(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直線CD與平面ACM所成的角的大?。?3)求點N到平面ACM的距離．解析：方法一：(1)證明：依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，則AM⊥MC.又因為PA⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥AM.所以AM⊥平面PCD.所以平面ABM⊥平面PCD.(2)由(1)知，AM⊥PD，又PA＝AD，則M是PD的中點，方法二：(1)同方法一．(2)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)：設(shè)平面ACM的一個法向量n＝(x，y，z)，[變式訓(xùn)練]

2.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，D、E分別為棱AB、BC的中點，M為棱AA1上的點，二面角M－DE－A為30°.(1)證明：A1B1⊥C1D；(2)求MA的長，并求點C到平面MDE的距離．解析：

(1)證明：如圖，連結(jié)CD.∵AC＝BC，D為AB的中點，∴AB⊥CD，又C1C⊥平面ABC，∴AB⊥C1D，又A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D.(2)過點A作CE的平行線，交ED的延長線于F，連接MF.∵D、E分別是AB、BC的中點，∴DE∥AC，又AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE，∵M(jìn)A⊥平面ABC，∴MF⊥DE，∴∠MFA為二面角M－DE－A的平面角，∠MFA＝30°，此兩類題目實質(zhì)是相同的，都是轉(zhuǎn)化成點到平面的距離來求解，求距離的一般步驟是：“一作”：即先作出表示距離的線段；“二證”：即證明所作的線段符合題目的要求，為所求線段；“三計算”：即將所求線段放置在三角形中，通過正、余弦定理解三角形求取或利用等積法求?。?/p>

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝AC＝BC＝2，D、E、F分別是AB、AA1、CC1的中點，P是CD上的點．(1)求證：直線PE∥平面A1BF；(2)求直線PE與平面A1BF的距離．解析：(1)證明：如圖，連結(jié)DE、CE，(2)由(1)可知，直線PE與平面A1BF的距離等于兩平行平面EDC與A1BF的距離，即點A1到平面EDC的距離，亦點A到平面EDC的距離，設(shè)點A到平面EDC的距離為h，又CD⊥AB，面A1ABB1⊥面ABC，且平面A1ABB1∩面ABC＝AB.∴CD⊥面A1ABB1，∴CD⊥ED，即△CED為直角三角形．由VA－EDC＝VE－CAD，[變式訓(xùn)練]

3.如圖所示，在三棱錐ABC－A1B1C1中，AB＝，BC＝CA＝AA1＝1，A1點在底面ABC上的射影為O點．(1)O點與B點能否重合？試證明你的結(jié)論．(2)若O在AC上，求BB1與側(cè)面AC1的距離．解析：(1)不能．∵若點O與點B重合，則△A1BA為直角三角形，并且A1A為斜邊，而由已知AB＝，AA1＝1，即AA1<AB，這是不可能的．(2)∵A1O⊥平面ABC，BC平面ABC，∴A1O⊥BC.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC，而A1O與AC是平面ACC1A1內(nèi)兩相交直線，∴BC⊥平面ACC1A1.又∵BB1∥平面ACC1A1，∴BB1與側(cè)面ACC1A1的距離即為BC＝1.1．點到平面的距離是有關(guān)距離問題的重點，它主要由兩種方法求得：(1)用定義，直接作出這段距離，經(jīng)論證再計算．(2)轉(zhuǎn)化為錐體的高，用三棱錐體積公式求點到平面的距離．2．用向量方法求點到面的距離一般用下列方法：(1)找出點在平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為兩點間的距離；(2)找出平面的一個單位法向量，通過向量在單位法向量上的射影的長度來求．3．求距離的一般步驟：“一作”：即先作出表示距離的線段(要符合作圖規(guī)則，避免隨意性)；“二證”：即證明所作的線段符合題目的要求，為所求線段(證明要符合邏輯且推理正確)；“三計算”：即將所求線段放置在三角形中，通過正、余弦定理解三角形求取或利用等積法求取．4．求解距離問題要注意運用化歸與轉(zhuǎn)化思想：面面距離→線面距離→點面距離→點點距離．通過對近三年高考試題的統(tǒng)計分析，有以下的命題規(guī)律：1．考查熱點：點面距．2．考查形式：選擇、填空、解答題均可出現(xiàn)，常在解答題中的第二問出現(xiàn)，難度中等．3．考查角度：一是對點面距、線面距、面面距的考查，其中點面距是核心．二是對異面直線距離的考查，此考點日益淡化，只要求給出公垂線的情況，因此不必過深的研究．4．命題趨勢：通過對空間距離的計算，加強轉(zhuǎn)化思想的考查．(12分)(2010·重慶卷)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，點E是棱PB的中點．(1)求直線AD與平面PBC的距離；(2)若AD＝，求二面角A－EC－D的平面角的余弦值．規(guī)范解答：方法一：(1)如圖，在矩形ABCD中，AD∥BC，從而AD∥平面PBC，故直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離.1分因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA＝AB知△PAB為等腰直角三角形，又點E是棱PB的中點，故AE⊥PB.3分又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE.4分從而AE⊥平面PBC，故AE之長即為直線AD與平面PBC的距離.5分(2)過點D作DF⊥CE，交CE于F，過點F作FG⊥CE，交AC于G，則∠DFG為所求的二面角的平面角.7分由(1)知BC⊥平