山東省濟(jì)寧市兗州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為（） A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角． 【分析】先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)B，得到的銳角∠A1BC1就是異面直線所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可． 【解答】解．如圖，連接BC1，A1C1， ∠A1BC1是異面直線A1B與AD1所成的角， 設(shè)AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a， ∠A1BC1的余弦值為， 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了異面直線及其所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題． 2.已知集合A={x|y=}，B={y|y=x2+1}，則A∪cRB=()

A．?

B．R

C．[1，+∞)

D．[10，+∞)參考答案：B3.已知球的表面積為64π，則它的體積為（）A．16π B．π C．36π D．π參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)球的表面積公式求出球的半徑，然后計(jì)算球的體積即可．【解答】解：設(shè)球的半徑為r，∵球的表面積為64π，∴4πr2=64π，即r2=16，解得r=4，∴球的體積為=．故選B．4.在約束條件下，當(dāng)3≤s≤5時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值的變化范圍是（）A．[6，15]B．[7，15]C．[6，8]D．[7，8]參考答案：D略5.（5分）設(shè)a=tan35°，b=cos55°，c=sin23°，則（） A． a＞b＞c B． b＞c＞a C． c＞b＞a D． c＞a＞b參考答案：A考點(diǎn)： 正弦函數(shù)的圖象．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．解答： 由誘導(dǎo)公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知sin35°＞sin23°，即b＞c，而a=tan35°=＞sin35°=b，∴a＞b＞c，故選：A點(diǎn)評(píng)： 本題考查三角函數(shù)值大小的比較，涉及誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．6.太原市某時(shí)段100輛汽車通過祥云橋時(shí)，時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速在[30，40]的汽車約有（）A．30輛 B．35輛 C．40輛 D．50輛參考答案：A【考點(diǎn)】B8：頻率分布直方圖．【分析】由已知中的頻率分布直方圖為100輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖，我們可得到樣本容量，再由圖中分析出時(shí)速在[30，40]的頻率，即可得到該組數(shù)據(jù)的頻數(shù)，進(jìn)而得到答案．【解答】解：由已知可得樣本容量為100，又∵數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為0.03×10=0.3∴時(shí)速在[30，40]的汽車大約有100×0.3=30，故選：A．7.（5分）垂直于同一條直線的兩條直線一定（） A． 平行 B． 相交 C． 異面 D． 以上都有可能參考答案：D考點(diǎn)： 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題： 分類討論．分析： 根據(jù)在同一平面內(nèi)兩直線平行或相交，在空間內(nèi)兩直線平行、相交或異面判斷．解答： 分兩種情況：①在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行；②在空間內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線可以平行、相交或異面．故選D點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查在空間內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系．8.某校甲、乙兩位學(xué)生在連續(xù)5次的月考中，成績(jī)（均為整數(shù)）統(tǒng)計(jì)如下莖葉圖所示，其中一個(gè)數(shù)字被墨跡污染了，則甲的平均成績(jī)不超過乙的平均成績(jī)的概率是

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B9.設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C10.過直線y=2x上一點(diǎn)P作圓M：的兩條切線l1，l2，A，B為切點(diǎn)，當(dāng)直線l1，l2關(guān)于直線y=2x對(duì)稱時(shí)，則∠APB等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點(diǎn)】J7：圓的切線方程．【分析】連接PM、AM，根據(jù)圓的性質(zhì)和軸對(duì)稱知識(shí)，得當(dāng)切線l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱時(shí)，直線l⊥PM，且PM平分∠APB．因此計(jì)算出圓的半徑和點(diǎn)M到直線l的距離，在Rt△PAM中利用三角函數(shù)定義算出∠APM的度數(shù)，從而得到∠APB的度數(shù)．【解答】解：連接PM、AM，可得當(dāng)切線l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱時(shí)，直線l⊥PM，且射線PM恰好是∠APB的平分線，∵圓M的方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2=，∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（3，2），半徑r=，點(diǎn)M到直線l：2x﹣y=0的距離為PM==，由PA切圓M于A，得Rt△PAM中，sin∠APM==，得∠APM=30°，∴∠APB=2∠APM=60°．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，在D點(diǎn)測(cè)得塔在北偏東30°方向，然后向正西方向前進(jìn)10米到達(dá)C，測(cè)得此時(shí)塔在北偏東60°方向．并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB=米．參考答案：30【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】在△BCD中，由正弦定理，求得BC，在Rt△ABC中，求AB．【解答】解：由題意，∠BCD=30°，∠BDC=120°，CD=10m，在△BCD中，由正弦定理得BC=?10=10m．在Rt△ABC中，AB=BCtan60°=30m．故答案為：30．12.已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿足an2=S2n﹣1（n∈N+）．若不等式≤對(duì)任意的n∈N+恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】通過在an2=S2n﹣1中令n=1、2，計(jì)算可知數(shù)列的通項(xiàng)an=2n﹣1，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求f（n）=的最小值，對(duì)n的值分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．【解答】解：∵an2=S2n﹣1，∴a12=S1=a1，又∵an≠0，∴a1=1，又∵a22=S3=3a2，∴a2=3或a2=0（舍），∴數(shù)列{an}的公差d=a2﹣a1=3﹣1=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴不等式≤對(duì)任意的n∈N+恒成立，即不等式≤對(duì)任意的n∈N+恒成立，∴λ小于等于f（n）=的最小值，①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f（n）==n﹣﹣隨著n的增大而增大，∴此時(shí)f（n）min=f（1）=1﹣4﹣=；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f（n）==n++＞，∴此時(shí)f（n）min＞＞；綜合①、②可知λ≤，故答案為：．13.已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是__________．參考答案：解：己知的定義域是，由，得，所以的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?4.已知等腰三角形底角的余弦值為，則頂角的余弦值是．參考答案：

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】設(shè)底角為a，則頂角為π﹣2a，由已知cosa，結(jié)合sin2α+cos2α=1，求出sina，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求出sin（π﹣2a），進(jìn)一步求出頂角的余弦值得答案．【解答】解：設(shè)底角為a，則頂角為π﹣2a，由已知cosa=，又sin2α+cos2α=1，得sina=（由于a＜舍去sina=﹣），∴sin（π﹣2a）=sin2a=2sinacosa=．∴cos（π﹣2a）=．則頂角的余弦值是：．故答案為：．15.已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則a的取值范圍是

。參考答案：略16.求函數(shù)的定義域．參考答案：[2，3）∪（3，+∞）．【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】該函數(shù)的定義域是需要根式和含0次冪項(xiàng)都有意義的x的取值構(gòu)成的集合．【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則需解得：x≥2，且x≠3，所以原函數(shù)的定義域?yàn)閇2，3）∪（3，+∞）．故答案為[2，3）∪（3，+∞）．17.函數(shù)的值域?yàn)開__

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．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(12分)根據(jù)以下算法的程序，畫出其相應(yīng)的算法程圖，并指明該算法的目的及輸出結(jié)果.n=1S=0Do

S=S+n

n=n+1LoopwhileS2010輸出n-1參考答案：該算法程序如下：19.如圖，在直三棱柱中，，且．（Ⅰ)求證：平面⊥平面；（Ⅱ)若分別為是和的中點(diǎn)，求證：‖平面．參考答案：（I）證明：在直三棱柱中，有平.

∴，又，

∴為正方形，∴．又BC1⊥A1C，且

∴A1C⊥平面ABC1，而面則平面ABC1⊥平面（II）方法一：取中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)D，，∥

即平面∥平面， 則有∥平面方法二：A1C交AC1于G點(diǎn)連BG，，則有DE∥BG，即∥平面ABC1．略20.(本小題滿分12分)揚(yáng)州某公司生產(chǎn)的新產(chǎn)品的成本是2元/件，售價(jià)是3元/件，年銷售量為10萬件，為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是x(萬元)時(shí)，產(chǎn)品的銷售量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：x…12…5…y…1.51.8…1.5…(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果利潤(rùn)＝銷售總額－成本費(fèi)－廣告費(fèi)，試寫出年利潤(rùn)S(萬元)與廣告費(fèi)x(萬元)的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)廣告費(fèi)x為多少萬元時(shí)，年利潤(rùn)S最大．參考答案：(1)由于y是x的二次函數(shù)，所以可設(shè)函數(shù)的解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(x≥0)；由于點(diǎn)(1,1.5)、(2,1.8)、(5,1.5)在函數(shù)圖象上，所以所以所求函數(shù)的解析式為．(2)當(dāng)投入廣告費(fèi)x萬元時(shí)，產(chǎn)品的銷量是10y萬件，成本2元/件，售價(jià)3元/件，每件獲得利潤(rùn)1元，共獲利10y(3－2)＝10y萬元，由題意得＝－x2＋5x＋10＝－(x－)2＋(x≥0)．當(dāng)x＝時(shí)，Smax＝.即當(dāng)投入2.5萬元廣告費(fèi)時(shí)，年利潤(rùn)最大．21.（13分）利用已學(xué)知識(shí)證明：（1）sinθ+sinφ=2sincos；（2）已知△ABC的外接圓的半徑為2，內(nèi)角A，B，C滿足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，求△ABC的面積．參考答案：考點(diǎn)： 三角函數(shù)恒等式的證明；三角函數(shù)的和差化積公式．專題： 三角函數(shù)的求值；解三角形．分析： （1）由于θ=（+），φ=（﹣）即可證明；（2）化簡(jiǎn)可得，由已知