二項式定理專題常用公式一、二項式定理:=C0an+C1an-1bH \-Ckan-kbkH FCnbn

（neN*）等號右邊的多項式叫做（a+b）的二項展開式，其中各項的系數(shù)弋（k=0,1,2,3…n）叫做二項式系數(shù)。對二項式定理的理解：（1）二項展開式有n+1項（2）字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1到0；字母b按升冪排列，從第一項開始，次數(shù)由0逐項加1到n（3）二項式定理表示一個恒等式，對于任意的實數(shù)a,b，等式都成立，通過對a,b取不同的特殊值，可為某些問題的解決帶來方便。在定理中假設a=1，b=X，則（1+x1=CoXn+C1X Ckxn-k Cnxn（neN*）（4）要注意二項式定理的雙向功能：一方面可將二項式（a+bI展開，得到一個多項式；另一方面，也可將展開式合并成二項式（a+b\二、二項展開式的通項：tf1=Ckan-kbkv二項展開式的通項T=Ckan-kbk（k=0,1,2,3…n）是二項展開式的第k+1項，它體現(xiàn)了二項展開k-1 n式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定項（如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等）及其系數(shù)等方面有廣泛應用對通項T=Ckan-kbk（k=0,1,2,3…n）的理解：k-1 n（1）字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同（2）a與b的次數(shù)之和為n（3）在通項公式中共含有a,b,n,k,Tk討這5個元素，知道4個元素便可求第5個元素

例1.C1+3C2+9C3+…+3n-1Cn等于 （ ）4n-1D.4n-1D. 3A.4nB.3?4nC.--13例2.(1)求(1+2x)7的展開式的第四項的系數(shù) (2)求(x-1)9的展開式中x3的系數(shù)及二項x式系數(shù).三、二項展開式系數(shù)的性質：①對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即C0=Cn,C1=Cn-1,C2=Cn-2,…Ck=Cn-k,…nnnnnn nn②增減性與最大值：在二項式展開式中，二項式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大，即n偶數(shù)：(7k)=C：;nmaxnTOC\o"1-5"\h\zn-1 n+1如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并最大，即C〃=C2=C2nmaxn n③二項展開式的各項二項數(shù)的和等于2n，令a=1,b=1即C0+C1+…+Cn=(1+1)n=2n;nn n④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，令a=1,b=-1即Co+C2+…=C1+C3+…=2n-1例題：寫出(x-y)11的展開式中：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)項的系數(shù)絕對值最大的項；(3)項的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項；(4)二項式系數(shù)的和；

(5)各項系數(shù)的和四、多項式的展開式及展開式中的特定項(1)求多項式(〃/a2++an)n的展開式，可以把其中幾項結合轉化為二項式，再利用二項式定理展開。例題：求多項式(x2+--2)3的展開式X2(2)求二項式之間四則運算所組成的式子展開式中的特定項，可以先寫出各個二項式的通項再分析。例題：求(1+X)2.(1-X)5的展開式中X3的系數(shù)例題：(1)如果在，江+

(例題：(1)如果在，江+

(的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項。節(jié)-2的展開式的常數(shù)項。

J【思維點撥】求展開式中某一特定的項的問題時，常用通項公式，用待定系數(shù)法確定k五、展開式的系數(shù)和求展開式的系數(shù)和關鍵是給字母賦值，賦值的選擇則根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來定例題：已知（1-2x）7=a+ax+ax2+…+ax7，求。：a+a+…+a； （2）a+a+a+a； （3）IaI+1aI+???+IaI.六、二項式定理的應用：1、二項式定理還應用與以下幾方面：（1）進行近似計算（2）證明某些整除性問題或求余數(shù)（3）證明有關的等式和不等式。如證明：2n>2n（n>3,neN）取2〃=G+1）的展開式中的四項即可。2、各種問題的常用處理方法（1）近似計算的處理方法當n不是很大，|x|比較小時可以用展開式的前幾項求（1+x）n的近似值。例題：（1.05）6的計算結果精確到0.01的近似值是 （ ）A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34（2）整除性問題或求余數(shù)的處理方法①解決這類問題，必須構造一個與題目條件有關的二項式②用二項式定理處理整除問題，通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)的倍數(shù)與某數(shù)k的和或差的形式，再利用二項式定理展開，這里的k通常為±1,若k為其他數(shù)，則需對冪的底數(shù)k再次構造和或差的形式再展開，只考慮后面（或者是某項）一、二項就可以了③要注意余數(shù)的范圍，對給定的整數(shù)a,b（b豐0）,有確定的一對整數(shù)g和r，滿足a=bq+r,

其中b為除數(shù)，其中b為除數(shù)，r為余數(shù)，rehb1利用二項式定理展開變形后，若剩余部分是負數(shù)，要注意轉換成正數(shù)例題：求201363除以7所得的余數(shù)TOC\o"1-5"\h\z例題：若n為奇數(shù)，則7n+C17n-1+C27n-2+ +Cn-17被9除得的余數(shù)是( )n n nA.0B.2 C.7 D.8例題：當neN且n>1,求證2<(1+1)n<3n【思維點撥】這類是二項式定理的應用問題，它的取舍根據(jù)題目而定綜合測試一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.TOC\o"1-5"\h\z.在（..、3）（的展開式中，x6的系數(shù)為 （ ）A..27C6 B.27C4 C.—9c6 D.9c44-10 10 10 10.已知a+b>0,b=4a,Q+b%的展開式按a的降冪排列，其中第n項與第n+1項相等，那么正整數(shù)n等于 （ ）A.4 B.9 C.10 D.11.已知（R+-X）n的展開式的第三項與第二項的系數(shù)的比為11：2,則n是（ ）3a2A.10 B.11 C.12 D.134.5310被8除的余數(shù)是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.7. （1.05）6的計算結果精確到0.01的近似值是 （ ）A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34.二項式12.77+；了（ncN）的展開式中，前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則此展開式有理項的項數(shù)是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.4.設（3x3+x2）n展開式的各項系數(shù)之和為3其二項式系數(shù)之和為h,若t+h=272,則展開式的x2項的系數(shù)是 （ ）A.1 B.1 C.2 D.32.在（1+x-x2）6的展開式中x5的系數(shù)為 （ ）A.4 B.5 C.6 D.7.（正+q1）n展開式中所有奇數(shù)項系數(shù)之和等于1024,則所有項的系數(shù)中最大的值是（ ）A.330 B.462 C.680 D.790X4的系數(shù)為.(￡+1)4(X-1)X4的系數(shù)為TOC\o"1-5"\h\zA.-40B.10 C.40 D.45.二項式（1+sinx）n的展開式中，末尾兩項的系數(shù)之和為7,且系數(shù)最大的一項的值為5,2則x在［0,2n］內的值為 （ ）兀 兀 兀 5兀 小兀 2兀 兀 5兀A.一或 B.一或一 C.或一 D. 或一6 3 6 6 3 3 3 6.在（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展開式中，含X4項的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n-5的（ ）A.第2項B.第11項 C.第20項 D.第24項二、填空題：本大題滿分16分，每小題4分，各題只要求直接寫出結果..（X2--1）9展開式中X9的系數(shù)是 .2x若L+粗）=a°+aix+…+a4x4，則Q。+a2+）-1+ 的值為.若（X3+X-2）n的展開式中只有第6項的系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是.對于二項式（1-x）1999，有下列四個命題：①展開式中\(zhòng)。。。=-c19y1000x999;②展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和是1；③展開式中系數(shù)最大的項是第1000項和第1001項；④當x=2000時，（1-x）1999除以2000的余數(shù)是1.其中正確命題的序號是.（把你認為正確的命題序號都填上）三、解答題：本大題滿分74分.（12分）若（0+X）n展開式中第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列.6：'X（1）求n的值；（2）此展開式中是否有常數(shù)項，為什么？（12分）已知（1+2x）n的展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于37,求展式中二項式系4數(shù)最大的項的系數(shù).（12分）是否存在等差數(shù)列｛a｝,使aC0+aC1+aC2+…+aCn=n.2n對任意neN*都n 1n2n3n n+1n成立？若存在，求出數(shù)列｛a｝的通項公式；若不存在，請說明理由.n（12分）某地現(xiàn)有耕地100000畝，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增加率為1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝）？（12分）設f（x）=（1+x）m+（1+x）n（m、neN），若其展開式中，關于x的一次項系數(shù)為11,試問：m、n取何值時，f（x）的展開式中含x2項的系數(shù)取最小值，并求出這個最小值.TOC\o"1-5"\h\z(14分)規(guī)定Cm='__1)(%—