2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)導(dǎo)數(shù)解密36專題q專題17 單變量不含參不等式證明方法之虛設(shè)零點(diǎn)含答案_第1頁(yè)
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．解析(1)由f(x)＝xlnx，x＞0，得f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,e)．當(dāng)x∈(0，eq\f(1,e))時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(eq\f(1,e)，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．①當(dāng)0＜t＜eq\f(1,e)＜t＋2，即0＜t＜eq\f(1,e)時(shí)，f(x)min＝f(eq\f(1,e))＝－eq\f(1,e)；②當(dāng)eq\f(1,e)≤t＜t＋2，即t≥eq\f(1,e)時(shí)，f(x)在[t，t＋2]上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(t)＝tlnt．所以f(x)min＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0＜t＜\f(1,e)，,tlnt，t≥\f(1,e)．))(2)問(wèn)題等價(jià)于證明xlnx＞eq\f(x,ex)－eq\f(2,e)(x∈(0，＋∞))．由(1)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－eq\f(1,e)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,e)時(shí)取到．設(shè)m(x)＝eq\f(x,ex)－eq\f(2,e)(x∈(0，＋∞))，則m′(x)＝eq\f(1－x,ex)，由m′(x)＜0得x＞1時(shí)，m(x)為減函數(shù)，由m′(x)＞0得0＜x＜1時(shí)，m(x)為增函數(shù)，易知m(x)max＝m(1)＝－eq\f(1,e)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取到．從而對(duì)一切x∈(0，＋∞)，xlnx≥－eq\f(1,e)≥eq\f(x,ex)－eq\f(2,e)，兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)取到，即證對(duì)一切x∈(0，＋

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