第二節(jié)等差數(shù)列1．等差數(shù)列的相關(guān)問題(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第

項起，每一項與它的前一項的差都等于

，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的

．同一個常數(shù)公差2(2)等差中項在一個等差數(shù)列中，從第2項起每一項(有窮數(shù)列最后一項除外)都是它前一項與后一項的等差中項，即2an＝

(n∈N且n≥2)．a(chǎn)n－1＋an＋1三數(shù)成等差數(shù)列時，一般設為a－d，a，a＋d；四數(shù)成等差數(shù)列呢？【提示】設為a－d，a，a＋d，a＋2d或a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.(3)等差數(shù)列的單調(diào)性當d＞0時，{an}是

數(shù)列．當d＝0時，{an}是

．當d＜0時，{an}是

數(shù)列．遞增常數(shù)列遞減2．等差數(shù)列的通項公式及其前n項和Sn(1)等差數(shù)列的前n項和Sn是用

求得的．注意這種思想方法在數(shù)列求和中的應用．(2)等差數(shù)列的通項公式an＝

及前n項和公式Sn＝

＝

，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其三就能求另二．倒序相加法a1＋(n－1)d等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n、m∈N)．(2)若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，特別：若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.(3)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差數(shù)列，公差為kd.(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)數(shù)列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差數(shù)列，其中c、p、q均為常數(shù)，{bn}是等差數(shù)列．1．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d等于()A．1 C．2 D．3【解析】設{an}首項為a1，公差為d，則S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝6，a3＝a1＋2d＝4，∴a1＝0，d＝2.【答案】C【解析】

根據(jù)題意得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，∴a1＝1.又∵a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－.【答案】

B【答案】B4．設等差數(shù)列{am}的前n項和為Sm，若a5＝5a3，則＝______.【解析】

設等差數(shù)列的公差為d，首項為a1，【答案】

95．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6＝S3＝12，則{an}的通項an＝________.【答案】

2n

在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；【思考點撥】在等差數(shù)列中，五個重要的量，只要已知三個量，就可求出其他兩個量，其中a1和d是兩個最基本量，利用通項公式與前n項和公式，先求出a1和d. (1)證明等差數(shù)列的方法有定義法、通項公式法、等差中項法、前n項和法(前n項和公式的形式是不含常數(shù)項的二次函數(shù))，但最規(guī)范的方法為定義法．我們在證明等差數(shù)列時，一般就用定義法．(2)用定義證明等差數(shù)列時，常采用的兩個式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d的意義不同，后者必須加上“n≥2”，否則n＝1時，a0無定義． 1．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q為常數(shù))．(1)當p和q滿足什么條件時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列？(2)求證：對任意實數(shù)p和q，數(shù)列{an＋1－an}是等差數(shù)列．【解析】

(1)an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{an}是等差數(shù)列，則2pn＋p＋q應是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以只有2p＝0，即p＝0.故當p＝0時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列．(2)證明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p為一個常數(shù)．∴{an＋1－an}是等差數(shù)列．

在等差數(shù)列{an}中，(1)若a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15，求當n取何值時，Sn最大，并求出它的最大值；(2)若a1＜0，S9＝S12，則該數(shù)列前多少項的和最小？【解析】

(1)由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－.∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13，∴a13＝0.∵公差d＜0，a1＞0，∴a1，a2，…，a11，a12均為正數(shù)，而a14及以后各項均為負數(shù)．∴當n＝12或n＝13時，Sn有最大值為S12＝S13＝130. 等差數(shù)列前n項和最值問題除了用二次函數(shù)求解外，還可用下面的方法討論： 2．設等差數(shù)列{an}的首項a1及公差d都為整數(shù)，前n項和為Sn.(1)若a11＝0，S14＝98，求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的數(shù)列{an}的通項公式．【解析】

(1)由S14＝98得2a1＋13d＝14，又a11＝a1＋10d＝0，故解得d＝－2，a1＝20.因此，{an}的通項公式是an＝22－2n，又d∈Z，故d＝－1.④將④代入①②得10＜a1≤12.又a1∈Z，故a1＝11或a1＝12.所以，所有可能的數(shù)列{an}的通項公式是an＝12－n和an＝13－n.本節(jié)主要以考查通項公式、前n項和公式為主，同時考查等差數(shù)列的性質(zhì)，在計算中，常有一些方程思想，題型各種形式都有出現(xiàn)，其難度為中、低檔題．1．(2009年安徽卷)已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達到最大值的n是()A．21 B．20C．19 D．18【解析】

∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，∴99－105＝3d.∴d＝－2.又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.＝－(n－20)2＋400. ∴當n＝20時，Sn有最大值．【答案】B2．(2009年全國卷Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝______.【解析】

設