第六章雙變量模型：假設(shè)檢驗(yàn)本章目的：介紹如何檢驗(yàn)樣本回歸直線對(duì)總體回歸函數(shù)的擬合程度要求：掌握古典線性回歸模型的基本假定；OLS估計(jì)量方差、標(biāo)準(zhǔn)差的含義；回歸標(biāo)準(zhǔn)差的含義、高斯---馬爾柯夫定理的內(nèi)容；會(huì)運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件得到回歸方程。教學(xué)時(shí)數(shù)：6學(xué)時(shí)第一節(jié)至第五節(jié)：3學(xué)時(shí)第一節(jié)介紹古典線性回歸模型的基本假定及含義1、誤差項(xiàng)均值為零 E(u.)=02、誤差項(xiàng)同方差 Var(Uj)=b23、誤差項(xiàng)無(wú)自相關(guān) Cov(Uj,u.)=04、 解釋變量與誤差項(xiàng)不相關(guān)CoV(X.,u.)=0i,j=1,2,3.....,閏 11第二節(jié)OLS估計(jì)量的期望值(均值)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差1、 OLS估計(jì)量是隨機(jī)變量對(duì)于回歸模型丫廣8]+82*+*_ _參數(shù)的OLS估計(jì)量為"1=\一"2x乙Xy“2=ZX2'由于u是隨機(jī)變量，Y是隨機(jī)變量u與非隨機(jī)變量X的代數(shù)和，則Y也是隨機(jī)變量。由OLS估計(jì)量的表達(dá)式可以看出聽(tīng)、b2是Y的線性函數(shù)，所以b「b2也是隨機(jī)變量。2、 OLS估計(jì)量的期望值E(b1)=B]，E(b2)=B2可見(jiàn)b「b2分別為B1、B2無(wú)偏估計(jì)量。3、 OLS估計(jì)量的方差方差量度隨機(jī)變量與其平均值的偏離程度，OLS估計(jì)量的方差與觀測(cè)值及隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差有關(guān)系var(b)=^XLq2 。=.'varb)1nZz2 b1 1var(b2)=z^~ q=Jvarb)4、由于我們通常不知道誤差的生成過(guò)程，當(dāng)然也不知道誤差項(xiàng)的方差，通常使用殘差信息來(lái)估計(jì)誤差的方差Q2=」 且E(Q2)=q2n一25、我們用樣本信息、殘差信息來(lái)估計(jì)OLS估計(jì)量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差如下se(b)=se(b)=var(bse(b)=se(b)=1 nZx2ivar(b)=Z^~*i6、計(jì)算Widget教科書(shū)需求函數(shù)中參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差第三節(jié)OLS估計(jì)量的性質(zhì)1、高斯---馬爾柯夫定理如果滿足古典線性回歸模型的基本假定，OLS估計(jì)量是最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量。高斯---馬爾柯夫定理包含三個(gè)層次含義

（1） 線性性：b「b2是Y的線性函數(shù)（2） 無(wú)偏性：E（b1）=B],E（b2）=B2，E（。2）=。2（3） 有效性（最小方差性）：OLS估計(jì)量的方差是所有無(wú)偏估計(jì)量中方差最小的。3、蒙特卡羅試驗(yàn)（隨機(jī)模擬試驗(yàn)Simulation）演示OLS估計(jì)量的無(wú)偏性蒙特卡羅試驗(yàn)又稱為隨機(jī)模擬試驗(yàn)，經(jīng)常被用來(lái)研究一個(gè)未知的隨機(jī)過(guò)程的概率分布，這里該方法被用來(lái)演示OLS估計(jì)量的無(wú)偏性，請(qǐng)查看隨機(jī)模擬（蒙特卡羅）試驗(yàn)一一OLS估計(jì)量的無(wú)偏性專題。第四節(jié)OLS估計(jì)量的抽樣分布為了研究OLS估計(jì)量的抽樣分布，增加一條古典假定假定u~N（0，b2）i則b]?N（B]，bb），b2?N（B2，bb）請(qǐng)查看隨機(jī)模擬（蒙特卡羅）試驗(yàn)一一OLS估計(jì)量的抽樣分布第五節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)提出問(wèn)題：由于得不到總體數(shù)據(jù)，當(dāng)然也得不到總體回歸函數(shù)的參數(shù)的值。當(dāng)我們用樣本數(shù)據(jù)得到參數(shù)的樣本估計(jì)值時(shí)，由于存在抽樣誤差，我們不知道這個(gè)樣本估計(jì)值與總體參數(shù)的差異，所以我們必須檢驗(yàn)得到的樣本估計(jì)值對(duì)總體參數(shù)的代表性。檢驗(yàn)的方法就是假設(shè)檢驗(yàn)法。由于我們事先不知道總體參數(shù)的值，一般地，我們檢驗(yàn)總體參數(shù)是否為某一確定值，不妨設(shè)為B*。為此，對(duì)于一元回歸Y.=B]+B2X.+u.設(shè)定一個(gè)零假設(shè)（也稱原假設(shè)或原假說(shuō)）H0：B2=B*，含義為總體參數(shù)值為B*；備擇假設(shè)為H]：B2豐B*，含義為總體參數(shù)值不等于B*。看我們是否有充分的證據(jù)拒絕或接受這一假設(shè)。特別地：如果檢驗(yàn)解釋變量對(duì)被解釋變量是否有解釋作用，設(shè)定一個(gè)零假設(shè)（也稱原假設(shè)或原假說(shuō)）H0：B2=0，含義為假設(shè)X對(duì)Y沒(méi)有解釋作用；備擇假設(shè)為B2更0，含義為X對(duì)Y有解釋作用。1、 置信區(qū)間法構(gòu)造總體參數(shù)B295%的置信區(qū)間，這個(gè)區(qū)間稱為的接受區(qū)域，即：B*如果位于接受區(qū)域，我們就接受零假設(shè)；置信區(qū)間之外稱為B2的拒絕區(qū)域，即：B*如果位于拒絕區(qū)域，我們就拒絕零假設(shè)。2、 顯著性檢驗(yàn)法（以t檢驗(yàn)為例）H0：B2=B*，H]：B2豐B*取定顯著水平a，查表得到ta/2（n-2）（對(duì)于多元回歸，自由度為n-k，k為參數(shù)個(gè)數(shù)）計(jì)算t=史二B*的值se（b）Id>t&/2拒絕零假設(shè)（通常稱為統(tǒng)計(jì)顯著），/<ta/2接受零假設(shè)。3、置信區(qū)間法與顯著性檢驗(yàn)法假設(shè)檢驗(yàn)法的關(guān)系--等價(jià)我們以t檢驗(yàn)（即參數(shù)顯著性檢驗(yàn)）為例說(shuō)明。需要注意，此處提供的不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，只是舉例說(shuō)明，以幫助同學(xué)們理解這兩種假設(shè)檢驗(yàn)方法的關(guān)系。如果我們計(jì)算的t統(tǒng)計(jì)量的值是不顯著的，則-1 <t=—B*<t。解不等式得a/2se（b）a”到B*e[b-tse（b）,b-tse（b）]，即B*在接受區(qū)域中，我們接受零假設(shè)。2a/2 2 2a/2 2反之，如果B*在接受區(qū)域中，則b-tse（b）<B*<b-t se（b），即：2a/2 2 2a/2 2-ta/2<t=^T^B-<t-ta/2<t=^T^B-<t，se(b)a/2|t|<t ，a/2于是，我們接受零假設(shè)。24、檢驗(yàn)教科書(shū)的需求量模型參數(shù)的顯著性5、運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)原理檢驗(yàn)b2的顯著性為n-2的X2分布。H0為n-2的X2分布。H0：節(jié)=1.5,(n-2)b2H1：節(jié)豐1.58x1.1939—^5——=6.3675<X2)=15.5 (直信水平=0.05)我們不能拒絕H0：b2=,即認(rèn)為樣本估計(jì)值1.1939與真實(shí)值1.5沒(méi)有顯著差別。第六節(jié)至第九節(jié)：3學(xué)時(shí)第六節(jié)擬和優(yōu)度的檢驗(yàn)：判定系數(shù)r21、離差分解我們有恒等式 Y-Y=(Y-Y)+(Y-Y)TOC\o"1-5"\h\zi i ii兩邊平方并求和：￡(Y—y)2=E(Y—y)2+E(Y—Y)2+2￡(Y—y)(y—Y)i i ii i ii由正規(guī)方程中￡eX=0和￡e=0- -V 一(Y—Y)(Y—Y)=￡e(b+bX—Y)

i ii i1 2i=b￡e+b￡eX—Y￡e=01i2ii i于是有：￡(Y—Y)2=￡(Y—Y)2+￡(Y—Y)2i i ii￡(Y—Y)2稱為總離差平方和，記為TSSE- ——一，一、一、一(Y—Y)2稱為回歸平方和，記為ESSi￡(Y—Y)2稱為殘差平方和，記為RSSii總離差平方和=回歸平方和+殘差平方和說(shuō)明總離差可以分解為兩個(gè)部分：一部分歸于回歸直線，一部分歸于隨機(jī)因素定義ESS

r2= TSS來(lái)量度回歸線的擬和優(yōu)度。r2表示回歸線對(duì)樣本點(diǎn)的解釋程度，0<r2<10應(yīng)注意：如果回歸中沒(méi)有截距項(xiàng)，不可能有￡e.=0，也就得不到離差分解公式，所以我們定義的r2=理只對(duì)有截距項(xiàng)的回歸有效。對(duì)沒(méi)有截距項(xiàng)的回歸的擬和優(yōu)度的TSS判斷應(yīng)使用其它方法，同學(xué)們可以參考《經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)》(古亞拉提著，中國(guó)人民大學(xué)出版社，1998年)的相應(yīng)內(nèi)容。2、 教科書(shū)需求量例子中的r23、 判定系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系對(duì)于一元回歸，判定系數(shù)是相關(guān)系數(shù)的平方。第七節(jié)常見(jiàn)回歸結(jié)果的報(bào)告以教科書(shū)需求量為例Y=49.667—2.1576Xi ise=(0.7464)(0.1203)t=(66.542)(—17.935)r2=0.9757，d.f.=8這樣根據(jù)給出的信息可以判斷參數(shù)是否統(tǒng)計(jì)顯著(一般約定參數(shù)統(tǒng)計(jì)顯著的含義為參數(shù)顯著不為零)第八節(jié)正態(tài)性檢驗(yàn)1、 我們可以通過(guò)殘差的頻度直方圖直觀地檢驗(yàn)2、 JB統(tǒng)計(jì)量JB=勺S2+絲二也］6 4JB漸進(jìn)地服從x、,n為樣本容量，S為偏度，K峰度。正態(tài)分布變量，偏度為0,峰度為3。JB檢驗(yàn)只對(duì)大樣本有效，一般認(rèn)為30個(gè)樣本以上為大樣本。H0：誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，H1：誤差項(xiàng)不服從正態(tài)分布如果JB>x2臨界值，拒絕原假設(shè)，得到結(jié)論誤差項(xiàng)不服從正態(tài)分布；否則，就接受原假設(shè)，得到結(jié)論誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布。第九節(jié)回歸分析軟件介紹個(gè)人計(jì)算機(jī)的普及使我們可以利用計(jì)算機(jī)軟件來(lái)處理回歸問(wèn)題。常用的軟件有：EVIEWS,SASS,SPSS,MINITAB等。同學(xué)們可以利用任何一種自己喜歡的工具來(lái)完成回歸工作。第十節(jié)實(shí)例：美國(guó)進(jìn)口支出1、 目的：研究美國(guó)進(jìn)口消費(fèi)品支出與個(gè)人可支配收入的關(guān)系2、 理論依據(jù)：凱恩斯的消費(fèi)理論表明，個(gè)人消費(fèi)支出與可支配收入正相關(guān)。對(duì)進(jìn)口消費(fèi)品支出是總消費(fèi)品支出的一部分，可以認(rèn)為進(jìn)口消費(fèi)品支出與可支配收入正相關(guān)。我們利用1968-1987年的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究（1982年不變價(jià)）。3、 理論模型：Yi=B1+B2Xi+ui丫=進(jìn)口消費(fèi)品支出（億美元）X=個(gè)人可支配收入（億美元）B2的經(jīng)濟(jì)含義：進(jìn)口消費(fèi)品的邊際消費(fèi)傾向，應(yīng)該有0<B2<1B1的經(jīng)濟(jì)含義：如果從理論上講，B］應(yīng)表示收入為零時(shí)的對(duì)進(jìn)口商品的消費(fèi)量，B1這時(shí)應(yīng)該為零。但從我們所取得數(shù)據(jù)中可以看出，我們只收集了個(gè)人可支配收入不低于1552億元的數(shù)據(jù)，所以我們利用這組數(shù)據(jù)得到的截距項(xiàng)只能是一個(gè)數(shù)值，沒(méi)有什么經(jīng)濟(jì)意義。4、數(shù)據(jù)與回歸結(jié)果美國(guó)進(jìn)口商品支出Y與/'人可支配收入X單位：億美元XYXY19681,551.3135.719782,167.4274.119691,599.8144.619792,212.6277.919701,668.1150.919802,214.3253.619711,728.4166.219812,248.6258.719721,797.4190.719822,261.5249.519731,916.3218.219832,331.9282.219741,896.9211.819842,469.8351.119751,931.7187.919852,542.8367.919762,001.0229.919862,640.9412.319772,066.6259.419872,686.3439.0Eviews回歸結(jié)果（Eviews是英文軟件，為了同學(xué)們學(xué)習(xí)方便，特意在每行下加注中文翻譯）DependentVariable:Y因變量：YMethod:LeastSquares方法：最小二乘法Date:03/22/02Time:19:44日期：03/22/02時(shí)間：19:44Sample:19681987樣本區(qū)間：1968--1987Includedobservations:20回歸中包括觀察值個(gè)數(shù)：20VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.變量系數(shù)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值t統(tǒng)計(jì)量的值雙尾概率值X0.2452310.01475916.615750C-261.091431.3266-8.3344950R-squared0.938793Meandependentvar253.08R2因變量的均值A(chǔ)djustedR-squared0.935392S.D.dependentvar85.78792R2因變量的標(biāo)準(zhǔn)差S.E.ofregression21.80559Akaikeinfocriterion9.096849i . Ze2回歸標(biāo)準(zhǔn)差Q= 1n一2AIC準(zhǔn)則Sumsquaredresid8558.709Schwarzcriterion9.196423殘差平方和Ze2Schwarz準(zhǔn)則Loglikelihood-88.96849F-statistic276.0832對(duì)數(shù)似然值F--統(tǒng)計(jì)值Durbin-Watsonstat0.595073Prob(F-statistic)0DW統(tǒng)計(jì)量概率值Y=-261.09+0.24523Xse=(31.327)(0.0148)t=(-8.334)(16.599)P=(0.0000)(0.0000)r2=0.9387d.f=185、對(duì)回歸結(jié)果的解釋與我們預(yù)期的相同，進(jìn)口支出與可支配收入正相關(guān)。斜率0.245表示可支配收入每增加一億元，對(duì)進(jìn)口商品的支出平均來(lái)說(shuō)增加0.245億元，即進(jìn)口商品的邊際消費(fèi)傾向?yàn)?.245。截距項(xiàng)沒(méi)有意義。r2值為0.9387,說(shuō)明該模型解釋了進(jìn)口商品需求變化的93.87%，可見(jiàn)該模型很好地?cái)M和了實(shí)際數(shù)據(jù)。6、回歸結(jié)果的顯著性檢驗(yàn)我們關(guān)心可支配收入對(duì)進(jìn)口商品支出的變動(dòng)是否真的有影響，為此建立零假設(shè)：真實(shí)斜率為零，由回歸結(jié)果可以看到t值為16.615,相應(yīng)的p值為0.00＜顯著水平5%，所以我們拒絕原假設(shè)。即認(rèn)為可支配收入確實(shí)對(duì)進(jìn)口商品支出的變動(dòng)有影響。大家還可以運(yùn)用置信區(qū)間法或顯著檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)，會(huì)得到相同的結(jié)論。7、誤差正態(tài)性檢驗(yàn)我們從下圖中Eviews殘差頻度直方圖中可以看出殘差近似正態(tài)分布。下面我們使用JB統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)誤差是否服從正態(tài)分布。運(yùn)用JB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)要求大樣本數(shù)據(jù)，一般認(rèn)為樣本容量大于30的樣本為大樣本。雖然本例中樣本容量為20，不適合使用JB檢驗(yàn)法，此處只是為了使同學(xué)們實(shí)踐一下如何使用JB統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)誤差的正態(tài)性。H0：誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，H］：誤差項(xiàng)不服從正態(tài)分布JB?X2，z25%置信水平的臨界值為5.99(2) (2)由于X2=0.71＜臨界值5.99，我們不能拒絕原假設(shè)，我們接受誤差服從正態(tài)分布的假設(shè)。如果我們不使用臨界值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，從Eviews給出JB統(tǒng)計(jì)值及其對(duì)應(yīng)的p值可以看到p＞5%，由此可以判斷出我們不能拒絕原假設(shè)，從而得到結(jié)論誤差服從正態(tài)分布。應(yīng)該注意到，如果誤差項(xiàng)不服從正態(tài)分布，回歸參數(shù)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量t=b2-B*的se(b)抽樣分布就不是t分布、r2的抽樣分布也不是F分布，當(dāng)然我們就不能使用t檢驗(yàn)進(jìn)行參數(shù)顯著性檢驗(yàn)，也不能使用F檢驗(yàn)進(jìn)行總體顯著性檢驗(yàn)?；貧w方程誤差正態(tài)性檢驗(yàn)的操作：在Eviews的方程輸出窗口中—?View-^ ResidualTes^^ NormalityTest第十一節(jié)預(yù)測(cè)Series:ResidualsSample19681987Observations20Mean1.05E-13Median4.547345Maximum41.32676Minimum-43.99901Std.Dev.第十一節(jié)預(yù)測(cè)Series:ResidualsSample19681987Observations20Mean1.05E-13Median4.547345Maximum41.32676Minimum-43.99901Std.Dev.21.22400Skewness-0.439647Kurtosis2.718693Jarque-Bera0.710243Probability0.7010881、點(diǎn)預(yù)測(cè)給定解釋變量的值，根據(jù)回歸模型得到對(duì)應(yīng)的被解釋變量期望值的預(yù)測(cè)值。表示為:X=X,利用得到的模型計(jì)算E(YIX)的估計(jì)量Y=E(Y1X)0 0 0 0以本節(jié)中美國(guó)進(jìn)口消費(fèi)品支出與個(gè)人可支配收入關(guān)系模型為例。假定 1998年的X0=2800億美元，估計(jì)1998年對(duì)進(jìn)口商品的需求Y1998=-261.09+0.24523x2800=425.56億美元根據(jù)得到的預(yù)測(cè)值，我們可以認(rèn)為1998年美國(guó)居民對(duì)進(jìn)口商品的支出在425.56億美兀左右。2、區(qū)間預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)理論證明了在古典假定下，寸服從正態(tài)分布，其均值、方差分別為:

0.八- .E(Y)=E(Y|X)=0 一Var(Y)=b2B+BX0 1 2 01 (X-X)2—+ 0 n Xx2i」Y-Y由于b2未知，我們用無(wú)偏估計(jì)量S2代替，則_次服從自由度為n-k的t分布，Se(Y)0k為模型中參數(shù)個(gè)數(shù)。我們建立與X0相關(guān)的真實(shí)總體均值E(Y|X0)的一個(gè)100(1-a)%的置信區(qū)間如下：Y-Se(Y)t<E(Y|X)<Y+Se(Y)t0 0a 0 0 0a2 2即蒞-Se(Y)t,Y+Se(Y)t]0 0a0 0a2a-這個(gè)置信區(qū)間稱為區(qū)2間預(yù)測(cè)。由Y的方差表達(dá)式可以看出0就越寬、預(yù)測(cè)誤差越大。因此，X0與X差異越大，匕的方差就越大，從而置信區(qū)間當(dāng)我們利用回歸線預(yù)測(cè)因變量的均值時(shí)，需要格外小心。同學(xué)們可以利用本節(jié)例子求出1998年對(duì)進(jìn)口商品支出的95%置信區(qū)間。第十二節(jié)實(shí)例：人均消費(fèi)支出與人均可支配收入下表給出了美國(guó)1980-1995年間人均消費(fèi)支出與人均可支配收入數(shù)據(jù)，我們利用Eviews回歸的結(jié)果如下：美國(guó)1980年--1995年人均消費(fèi)支出與人均可支配收入美元，1992年不變價(jià)PCEPDPI人均消費(fèi)支出人均可支配收入13,21614,81313,24515,00913,27014,99913,82915,27714,41516,25214,95416,59715,40916,98115,74017,10616,21117,62116,43017,80116,53217,94116,24917,75616,52018,06216,80918,07817,15918,33017,40018,799DependentVariable:PCEMethod:Leas