第九章直線、平面、簡單幾何體1題型4共點(diǎn)問題第二課時234

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1A的中點(diǎn)，求證：CE，D1F，DA三線共點(diǎn).

證明：因?yàn)镋是AB的

中點(diǎn)，F(xiàn)是A1A的中點(diǎn)，連

結(jié)A1B.則EF∥A1B，所以

EF∥D1C且EF=

D1C，故四邊形ECD1F是梯形，兩腰CE，D1F相交，設(shè)其交點(diǎn)為P.5

則P∈CE，又CE平面ABCD，所以P∈平面ABCD.同理，P∈平面

ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，根據(jù)公理3知，P∈AD，所以CE，

D1F，DA三線共點(diǎn).62.在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、AD、CD邊上的點(diǎn)，且EF和GH相交于P點(diǎn)，求證：A、C、P三點(diǎn)共線.題型5共線問題7

證明：依據(jù)題意，A、B、C為不共線三點(diǎn)，由這三點(diǎn)確定一個平面.因?yàn)镋、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，所以E、F在平面ABC內(nèi)，從而直線EF在平面ABC內(nèi).因?yàn)辄c(diǎn)P在直線EF上，所以點(diǎn)P在平面ABC內(nèi).同理，點(diǎn)P在平面ACD內(nèi).8所以點(diǎn)P是平面ABC和平面ACD的一個公共點(diǎn).因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD=AC，所以點(diǎn)P在直線AC上，即A、C、P三點(diǎn)共線.

點(diǎn)評：證多點(diǎn)共線問題，一般先取過兩點(diǎn)的直線，然后證其他點(diǎn)在這條直線上；也可證明這些點(diǎn)均在兩個平面的交線上.9

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，

對角線A1C與平面BDC1相交于O點(diǎn)，直線

AC和BD相交于點(diǎn)M.

求證：C1、O、M三點(diǎn)共線.10

證明：因?yàn)锳A1∥CC1，所以AA1和CC1確定一個平面.顯然，C1、O、M三點(diǎn)都在平面AA1C1C內(nèi).又C1、O、M三點(diǎn)都在平面BC1D內(nèi)，所以C1、O、M三點(diǎn)在平面AA1C1C和平面BC1D的交線上，即三點(diǎn)共線.113.已知三條直線a、b、c兩兩互相平行，且分別與直線l相交于A、B、C三點(diǎn)，證明：四條直線l、a、b、c共面.

證明：因?yàn)閍∥b，b∥c，故設(shè)由a、b確定的平面為α，由b、c確定的平面為β.因?yàn)閘∩a=A，l∩b=B，而A∈α，B∈α，所以l∩α.同理，l∩β.題型6共面問題12

點(diǎn)評：證明直線共面通常的方法是：①由其中兩條直線確定一個平面，再證明其余的直線都在此平面內(nèi)(納入法)；②過某些直線作多個平面，然后證明這些平面重合(重合法)；③也可利用共面向量定理來證明.

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求證：兩兩相交且不通過同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).

證明：(1)若a、b、c三線共點(diǎn)P，但點(diǎn)Pd，由d和其外一點(diǎn)可確定一個平面α.又a∩d=A,所以點(diǎn)A∈α,所以直線aα.同理可證：b、cα,所以a、b、c、d共面.14(2)若a、b、c、d兩兩相交但不過同一點(diǎn),因?yàn)閍∩b=Q,所以a與b可確定一個平面β.又c∩b=E,所以E∈β,同理c∩a=F,所以F∈β,所以直線c上有兩點(diǎn)E、F在β內(nèi),所以cβ.同理可證：dβ,故a、b、c、d共面.由(1)(2)知：兩兩相交且不通過同一點(diǎn)的四條直線必共面.15

對于空間五個不同的點(diǎn)，若任意四點(diǎn)都是共面的，求證：這五個點(diǎn)必共面.

證明：設(shè)五個點(diǎn)分別為A、B、C、D、E，且A、B、C、D四點(diǎn)在平面α內(nèi)，A、B、C、E四點(diǎn)在平面β內(nèi).(1)若A、B、C三點(diǎn)不共線，則平面α、β有三個不共線的公共點(diǎn)，所以α與β重合，從而五點(diǎn)共面.(2)若A、B、C三點(diǎn)共線，設(shè)所在直線為l.依據(jù)題意，A、B、D、E四點(diǎn)共面，則直線l在這個平面內(nèi)，從而C點(diǎn)也在該平面內(nèi)，故有五點(diǎn)共面.16

1.證明若干個點(diǎn)共線，常轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)都是某兩個平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理2，這些點(diǎn)都在這兩個平面的交線上，從而共線.2.證明若干條直線共點(diǎn)與證明若干個點(diǎn)共線是同一類問題，都可以轉(zhuǎn)化為證明“點(diǎn)在直線上”(兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上).17