報班地址：天明路校區(qū)——鄭州市農(nóng)業(yè)路與天明路怡豐新都匯8號樓1單元425室；電話：0371—6038526263582627558196211551619042518039226897高等數(shù)學第14頁（共15頁）報班地址：龍子湖校區(qū)——鄭東新區(qū)龍子湖北路與博學路交叉口向南200米學府廣場B座13樓電話：0371—5581962015638117707150361028972012年河南省普通高等學校選拔優(yōu)秀?？飘厴I(yè)生進入本科階段學習考試高等數(shù)學答案及解析一、選擇題（每小題2分，共60分）1．答案：C.【解析】：.選C.2．答案：B.【解析】：A、D為非奇非偶函數(shù)，B為偶函數(shù)，C為奇函數(shù)。選B.3．答案：D.【解析】：時，.選D.4．答案：D.【解析】：處沒有定義，顯然是間斷點；又時的極限不存在，故是第二類間斷點。選D.5．答案：C.【解析】：函數(shù)的定義域為，，顯然是連續(xù)的；又，因此在該點處不可導。選C.6．答案：A.【解析】：易知，且，.故不存在。選A.7．答案：B.【解析】：根據(jù)復合函數(shù)求導法則可知：.選B.8．答案：B.【解析】：根據(jù)水平漸近線的求法可知：當時，，即時的一條水平漸近線，選B.9．答案：D.【解析】：對兩邊同時求微分有：，所以.選D.10．答案：B【解析】：易知，，，故.選B.11．答案：D.【解析】：令，則有，即函數(shù)在定義域內是單調遞增的，故最多只有一個實根。選D.12．答案：A.【解析】：B、C的等式右邊缺少常數(shù)C，D選項是求微分的，等式右邊缺少dx.選A.13．答案：C.【解析】：的一個原函數(shù)為，那么所有的原函數(shù)就是.所以.選C.14．答案：B.【解析】：因為，所以，又，故..選B.15．答案：B.【解析】：本題是變下限積分的題。利用公式可知.選B.16．答案：C.【解析】：.選C.17．答案：D.【解析】：A選項中，故發(fā)散；B選項中根據(jù)結論，當時發(fā)散，本題中，故發(fā)散；C選項中根據(jù)結論，當時發(fā)散，本題中，故發(fā)散；D選項中，故收斂。選D.18．答案：A.【解析】：最高階導數(shù)是二階導數(shù)，并且不是線性的。選A.19．答案：B.【解析】：這是可分離變量的方程。有，兩邊同時積分有，即.選B.20．答案：D.【解析】：對空間的任意一個向量有，現(xiàn)有，從而解得，所以為或.選D.21．答案：B.【解析】：直線的方向向量為，平面的法向量為，且，直線上的點不在平面內，所以故該直線和平面平行。選B.22．答案：C.【解析】：根據(jù)旋轉曲面方程的特點，有兩個平方項的系數(shù)相同，故選C.23．答案：B.【解析】：.選B.24．答案：A.【解析】：可微可以退出偏導數(shù)存在，但是僅有偏導數(shù)存在退不出可微，故是充分而非必要條件。選A.25．答案：C.【解析】：.選C.26．答案：B.【解析】：由，可知.選B.27．答案：A.【解析】：A選項中一般項趨于，故發(fā)散；B、C選項是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茨定理，故收斂；D選項根據(jù)結論中時收斂，本題中，故收斂。選A.28．答案：C.【解析】：該級數(shù)的中心點是2，又在點處條件收斂，所以可以確定收斂區(qū)間為.故在，處收斂。選C.29．答案：C.【解析】：，，且有，因此該積分與積分路徑無關。令該積分沿直線上點到積分，可有.選C.30．答案：A.【解析】：積分區(qū)域可寫為：，在圖象中表示為1121xy由此可知，積分區(qū)域還可表示為.因此積分可表示為.選A.二、填空題（每小題2分，共20分）31．答案：.【解析】：，，因此.答案：.【解析】：，.答案：0.【解析】：因為極值點是或者不存在的點，現(xiàn)已知函數(shù)在點處可導，所以.34．答案：.【解析】：，.令，可得，此時；并且當時，；當時，.因此拐點為.答案：.【解析】：36．答案：.【解析】：原方程對應的齊次線性微分方程為，可解得.用常數(shù)變易法，可求得非齊次線性微分方程的通解為.將代入有.所以對應的特解為.37．答案：1.【解析】：，，，故向量在向量上的投影.38．答案：-1.【解析】：令.則有，所以.由于時，.代入可知.39．答案：.【解析】：，而積分區(qū)域表示的是以為圓心，2為半徑的圓，所以，即.40．答案：發(fā)散.【解析】：，由比較判別法的極限形式可知，級數(shù)和有相同的斂散性，故正項級數(shù)是發(fā)散的。三、計算題（每小題5分，共50分）41．求極限．【解析】：原式．42．已知參數(shù)方程（為參數(shù)），求．【解析】：因為所以．43．求不定積分．【解析】：令，則，且于是原式．44．求．【解析】：原式．45．求微分方程的通解．【解析】：原方程的特征方程為特征方程的根為所以原方程的通解為．46．求函數(shù)的極值．【解析】：由解得駐點又對于駐點，因為所以，于是點不是函數(shù)的極值點．對于駐點有于是所以函數(shù)在點處取極大值為．47．求過點且與直線平行的直線方程．【解析】：因為所求直線平行于直線所以所求直線的方向向量為由直線的點向式方程可得，所求的直線方程為．48．求函數(shù)的全微分．【解析】：由于所以．49．計算，其中為圓環(huán)：．【解析】：在極坐標系下，區(qū)域（如第49題圖所示）可以表示為所以．50．求冪級數(shù)的收斂域．【解析】：因為所以原級數(shù)的收斂半徑為也就是，當，即時，原級數(shù)收斂．當時，原級數(shù)為是交錯級數(shù)且滿足，，所以它是收斂的；當時，原級數(shù)為，這是一個的級數(shù)，所以它是發(fā)散的；所以，原級數(shù)的收斂域為．四、應用題（每小題6分，共12分）51．求函數(shù)在時的最大值，并從數(shù)列，，，，，，中選出最大的一項（已知）．【解析】：因為令，解得唯一駐點．又因為在區(qū)間內，嚴格單調增加；在區(qū)間內，嚴格單調減少；而又在區(qū)間連續(xù)，所以在處取最大值．已知，由上知于是數(shù)列的第三項是此數(shù)列中最大的一項．52．過點作曲線的切線，該切線與此曲線及軸圍成一平面圖形．試求平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積．【解析】：設切線與曲線相切于點（如第52題圖所示），第52題圖由于則切線方程為因為切線經(jīng)過點，所以將代