第2課時(shí)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)1．掌握函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的周期、單一性及最值的求法．(要點(diǎn))2．理解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱性．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)閱讀教材P53～P55“練習(xí)3”以上部分，達(dá)成以下問(wèn)題．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)定義域R值域[－A，A]周期2πT＝ωπ對(duì)稱軸方程由ωx＋φ＝kπ＋2(k∈Z)求得對(duì)稱中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得遞加區(qū)間由ππ單一性2kπ－2≤ωx＋φ≤2kπ＋2(k∈Z)求得；遞減區(qū)間由π3π(∈求得≤ωx＋φ≤2kπ＋Z)2kπ＋22k判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)1π11(1)函數(shù)y＝2sin2x－6，x∈R的值域?yàn)椋?，2.()11(2)函數(shù)y＝2sin3x－12的周期為4π.()(3)函數(shù)y＝6sin2x－ππ.()4，x∈R的一個(gè)對(duì)稱中心為，08ππ(4)函數(shù)y＝3sin2x＋6，x∈R的一條對(duì)稱軸為x＝6.()2π【分析】由y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)，故(1)(3)(4)均正確．(2)中，T＝1＝6π，3因此(2)錯(cuò)．【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√[懷疑·手記](méi)預(yù)習(xí)達(dá)成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”商討溝通：疑問(wèn)1：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑問(wèn)2：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑問(wèn)3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小組合作型]函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的最值問(wèn)題求函數(shù)y＝2sin2x＋ππ4，x∈0，2的值域．π【出色點(diǎn)撥】將2x＋4看作整體u，利用y＝sinu的圖像可求．π【自主解答】∵0≤x≤2，ππ5π∴0≤2x≤π，∴4≤2x＋4≤4，2π∴－2≤sin2x＋4≤1，∴－1≤

π2sin2x＋4≤

2，即－1≤y≤

2，∴函數(shù)

y＝

π2sin2x＋4，x∈

π0，2的值域?yàn)閇－1，2]．求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步驟：(1)換元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范圍；(2)作出y＝sinu(注意u的取值范圍)的圖像；(3)聯(lián)合圖像求出值域．[再練一題]1．已知函數(shù)

πf(x)＝asin2x＋3＋1(a>0)的定義域?yàn)?/p>

7ππR，當(dāng)－12≤x≤－12時(shí)，f(x)的最大值為

2，求

a的值.7ππ【解】因?yàn)椋?2≤x≤－12.7ππ所以－6≤2x≤－6，5πππ即－6≤2x＋3≤6.1聯(lián)合函數(shù)圖像知f(x)max＝2a＋1，1所以2a＋1＝2，即a＝2.y＝Asin(ωx＋φ)的單一區(qū)間設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的圖像的一條對(duì)稱軸是直線xπ＝8.(1)求φ；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單一遞加區(qū)間；(3)畫出函數(shù)y＝f(x)在[0，π]上的圖像．【出色點(diǎn)撥】由已知條件、聯(lián)合圖像，易求得φ，而后視2x＋φ為一個(gè)整體，求出單一區(qū)間．π【自主解答】(1)∵x＝8是函數(shù)y＝f(x)的圖像的對(duì)稱軸，π∴sin×＋φ＝±1，28ππ∴4＋φ＝kπ＋2(k∈Z)．∵－π<φ<0，3π∴φ＝－4.由知，φ＝－3π3ππ3ππ(2)(1)44.2kπ－242π5(k∈Z)，∴kπ＋8≤x≤kπ＋8π(k∈Z)，3ππ5π∴函數(shù)y＝sin2x－4的單一遞加區(qū)間為kπ＋8，kπ＋8，k∈Z.3π(3)依據(jù)y＝sin2x－4，列表以下：x0π3π5π7ππ8888y2－10102－2－2故函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖像以下圖：1．由已知條件確立y＝Asin(ωx＋φ)的分析式時(shí)，應(yīng)注意利用函數(shù)的性質(zhì)確立它的參數(shù)．2．求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單一區(qū)間時(shí)，常視ωx＋φ為一個(gè)整體，經(jīng)過(guò)y＝sinx的單一區(qū)間，求得函數(shù)的單一區(qū)間．[再練一題]3π2．求函數(shù)y＝sin4－2x的單一區(qū)間．【解】∵y＝sin

3π4－2x

＝－sin2x－

3π4，3π∴原函數(shù)的單一區(qū)間與y＝sin2x－4的單一區(qū)間相反．π3ππ由－2＋2kπ≤2x－4≤2＋2kπ(k∈Z)，得π5π8＋kπ≤x≤8＋kπ(k∈Z)．即原函數(shù)的單一減區(qū)間為π5π∈，Z)88(kπ3π3π由2＋2kπ≤2x－4≤2＋2kπ(k∈Z)，得原函數(shù)的單一增區(qū)間為5π9π∈．Z)88(k即函數(shù)＝3π－π2x的單一減區(qū)間是＋kπ，5π＋π(k∈Z)，ysin488k單一增區(qū)間是5π＋kπ，9π＋kπ∈Z)．88(k[研究共研型]函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的綜合應(yīng)用研究1函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸各有什么特色？【提示】對(duì)稱中心為圖像與x軸的交點(diǎn)；對(duì)稱軸為過(guò)其圖像最高點(diǎn)或最低點(diǎn)與x軸垂直的直線．π研究2y＝sinωx＋2是偶函數(shù)嗎？【提示】是．因?yàn)?/p>

sin

πωx＋2＝cosωx.所以y＝sin

πωx＋2是偶函數(shù)．研究3函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像對(duì)于點(diǎn)(x0,0)成中心對(duì)稱意味著什么？【提示】意味著圖像過(guò)點(diǎn)(x0,0)，即點(diǎn)的坐標(biāo)合適函數(shù)分析式．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖像對(duì)于點(diǎn)

M

3π4，0

對(duì)稱，且在區(qū)間

π0，2上是單一函數(shù)，求φ和ω的值．【出色點(diǎn)撥】依據(jù)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心的特色成立方程求解．【自主解答】由f(x)是偶函數(shù)，得f(－x)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的圖像對(duì)于y軸對(duì)稱，∴f(x)在x＝0時(shí)獲得最值，即sinφ＝±1.π依題設(shè)0≤φ≤π，解得φ＝2.3ππ4k2由f(x)的圖像對(duì)于點(diǎn)M對(duì)稱，可知sin4ω＋2＝0，解得ω＝3－3，k∈Z.π又f(x)在0，2上是單一函數(shù)，2π∴T≥π，即ω≥π，∴ω≤2.又ω>0，∴當(dāng)

k＝1時(shí)，ω＝23；當(dāng)

k＝2時(shí)，ω＝2，π2∴φ＝2，ω＝2或ω＝3.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)的應(yīng)用1．應(yīng)用范圍函數(shù)的單一性、最值、奇偶性、圖像的對(duì)稱性等方面都有表現(xiàn)和考察．2．解決的方法求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的周期、單一區(qū)間、最值、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心問(wèn)題，都可令ωx＋φ＝u，套用y＝sinu的一系列性質(zhì)順利解決．[再練一題]．若函數(shù)＝ωx＋φA>0，ω>0，0<φ<πyAsin(3)2點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)之差為3π，又圖像過(guò)(0，2)，求函數(shù)的分析式及單一區(qū)間．【解】∵函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的最大值為2，其相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)之差為3π，∴A＝2，T＝3π，∴2π1，＝6π，∴ω＝2ω31y＝2sin3x＋φ.π又∵函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(0，2)，0<φ<2，π∴2sinφ＝2，∴φ＝4，1π∴函數(shù)分析式為y＝2sin3x＋4.πππ由－＋2kπ≤1＋≤＋2kπ，23x42得－9π＋6kπ≤x≤3π＋6kπ(k∈Z)，4493所以單一增區(qū)間為－4π＋6kπ，4π＋6kπ(k∈Z)．π1π3π由2＋2kπ≤3x＋4≤2＋2kπ(k∈Z)，得3154π＋6kπ≤x≤4π＋6kπ(k∈Z)，所以單一減區(qū)間為3π＋6kπ，15π＋6kπ∈Z)．44(k[建立·系統(tǒng)]．函數(shù)y＝2sin2x＋π＋2的最大值為()16A．2B．4C．3D．5π【分析】因?yàn)閤∈R，∴－1≤sin2x＋6≤1，∴y≤2＋2＝4.【答案】Bπ2．函數(shù)f(x)＝sinx－4的圖像的一條對(duì)稱軸是()ππA．x＝4B．x＝2ππC．x＝－4D．x＝－2ππ，【分析】由x－＝＋kπ，得x＝kπ＋3π(∈Z)424k令k＝－1，得x＝－π4.【答案】Cπ2，當(dāng)x3．已知函數(shù)y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在一個(gè)周期內(nèi)當(dāng)x＝12時(shí)有最大值7π＝12時(shí)有最小值－2，則ω＝________.7πππT＝2×12－122【分析】由題意知＝π，所以ω＝T＝2.【答案】2．＝π2sin3x－的圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離是________.4y412ππ【分析】由函數(shù)圖像知兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為半個(gè)周期，即·＝.233π【答案】3π5．求函數(shù)y＝2sin4－x的單一減區(qū)間．πππ【解】y＝2sin4－x＝－2sinx－4，所以其單一減區(qū)間為y＝2sinx－4的增區(qū)間，ππππ3由2kπ－2≤x－4≤2kπ＋2(k∈Z)，得2kπ－4≤x≤2kπ＋4π(k∈Z)，ππ3π所以函數(shù)y＝2sin4－x的單一減區(qū)間為2kπ－4，2kπ＋4(k∈Z)．我還有這些不足：(1)_________________________________________