2023-2023學(xué)年江蘇省無(wú)錫市宜興市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．下面有4個(gè)汽車(chē)標(biāo)志圖案，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．下列各式中，正確的是（）A．=﹣2 B．=9 C．=±3 D．±=±33．如圖，∠CAB=∠DBA，再添加一個(gè)條件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠1=∠2 C．AD=BC D．∠C=∠D4．下列命題中，正確的是（）A．有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)B．到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上C．全等的兩個(gè)圖形一定成軸對(duì)稱(chēng)D．實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)5．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為a、b，且a、b滿(mǎn)足+（2a+3b﹣13）2=0，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或106．在下列長(zhǎng)度的各組線(xiàn)段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．3，5，9 B．1，，2 C．4，6，8 D．，，7．如圖，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線(xiàn)段BN的長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．58．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線(xiàn)，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，BE=BA，過(guò)E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④二、填空題9．的平方根是；的立方根是﹣；立方根等于本身的數(shù)為．10．若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根為2m﹣6與m+3，則m為；這個(gè)正數(shù)為．?dāng)?shù)a、b滿(mǎn)足，則=．11．（1）若等腰三角形有一外角為100°，則它的底角為度；（2）若直角三角形兩邊長(zhǎng)為3和4，則斜邊上的中線(xiàn)為．12．如圖，△OAD≌△OBC，且∠O=72°，∠C=20°，則∠AEB=°．13．如圖，a∥b，點(diǎn)A在直線(xiàn)a上，點(diǎn)C在直線(xiàn)b上，∠BAC=90°，AB=AC，若∠1=20°，則∠2的度數(shù)為．14．如圖，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，PB=3cm，則△POA的面積等于cm2．15．如圖，一圓柱高8cm，底面半徑為cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程是cm．16．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一點(diǎn)，將矩形ABCD沿CE折疊后，點(diǎn)B落在AD邊的F點(diǎn)，則BE的長(zhǎng)為．17．如圖，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC邊上的中線(xiàn)，F(xiàn)是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CF+EF的最小值為．18．如圖，在△ABC中，AD為∠CAB平分線(xiàn)，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15°，AF=2，則BF=．19．如圖，點(diǎn)P、Q是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿線(xiàn)段AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B出發(fā)，沿線(xiàn)段BC運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點(diǎn)M，在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則當(dāng)t=時(shí)，△PBQ為直角三角形．三、解答題20．（1）（2）（x+1）2﹣3=0（3）3x3+4=﹣20．21．已知5x﹣1的算術(shù)平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x﹣2y的平方根．22．已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，連接BD．求證：（1）△BAD≌△CAE；（2）試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明．23．如圖，方格紙上畫(huà)有AB、CD兩條線(xiàn)段，按下列要求作圖（不保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法）（1）請(qǐng)你在圖（1）中畫(huà)出線(xiàn)段AB關(guān)于CD所在直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)的圖形；（2）請(qǐng)你在圖（2）中添上一條線(xiàn)段，使圖中的3條線(xiàn)段組成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，請(qǐng)畫(huà)出所有情形．24．如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD=DE．（1）若∠BAE=40°，求∠C的度數(shù)；（2）若△ABC周長(zhǎng)13cm，AC=6cm，求DC長(zhǎng)．25．【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿(mǎn)著魅力．千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．【小試牛刀】把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a、b、c．顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：S梯形ABCD=，S△EBC=，S四邊形AECD=，則它們滿(mǎn)足的關(guān)系式為，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得到勾股定理．【知識(shí)運(yùn)用】（1）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線(xiàn)上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個(gè)村莊的距離為千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得PC=PD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離．【知識(shí)遷移】借助上面的思考過(guò)程與幾何模型，求代數(shù)式的最小值（0＜x＜16）26．在△ABC中，AB=17，BC=21，AC=10，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）求BC上的高；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ACP為等腰三角形？27．如圖，已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，在某一時(shí)刻也能夠使△BPD與△CPQ全等．（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC的三邊運(yùn)動(dòng)．求經(jīng)過(guò)多少秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，并寫(xiě)出第一次相遇點(diǎn)在△ABC的哪條邊上？2023-2023學(xué)年江蘇省無(wú)錫市宜興市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．下面有4個(gè)汽車(chē)標(biāo)志圖案，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)圖形．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念結(jié)合4個(gè)汽車(chē)標(biāo)志圖案的形狀求解．【解答】解：由軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念可知第1個(gè)，第2個(gè)，第3個(gè)都是軸對(duì)稱(chēng)圖形．第4個(gè)不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形．故是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有3個(gè)．故選C．2．下列各式中，正確的是（）A．=﹣2 B．=9 C．=±3 D．±=±3【考點(diǎn)】算術(shù)平方根．【分析】根據(jù)開(kāi)平方、完全平方，二次根式的化簡(jiǎn)的知識(shí)分別計(jì)算各選項(xiàng)，然后對(duì)比即可得出答案．【解答】解：A、=2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、=3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、=3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、=±3，故本選項(xiàng)正確；故選D．3．如圖，∠CAB=∠DBA，再添加一個(gè)條件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠1=∠2 C．AD=BC D．∠C=∠D【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判斷即可．【解答】解：A、∵AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=AB，∴根據(jù)SAS能推出△ABC≌△BAD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵∠CAB=∠DBA，AB=AB，∠1=∠2，∴根據(jù)ASA能推出△ABC≌△BAD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、根據(jù)AD=BC和已知不能推出△ABC≌△BAD，故本選項(xiàng)正確；D、∵∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AB=AB，∴根據(jù)AAS能推出△ABC≌△BAD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．4．下列命題中，正確的是（）A．有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)B．到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上C．全等的兩個(gè)圖形一定成軸對(duì)稱(chēng)D．實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)【考點(diǎn)】命題與定理．【分析】利用有關(guān)的性質(zhì)、定義及定理逐一判斷后即可得到正確的結(jié)論．【解答】解：A、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，故錯(cuò)誤；B、同一平面內(nèi)，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上，故錯(cuò)誤；C、全等的兩個(gè)圖形不一定成軸對(duì)稱(chēng)，故錯(cuò)誤；D、實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)，故正確；故選D．5．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為a、b，且a、b滿(mǎn)足+（2a+3b﹣13）2=0，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；解二元一次方程組；三角形三邊關(guān)系．【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，再分兩種情況確定第三邊的長(zhǎng)，從而得出三角形的周長(zhǎng)．【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，當(dāng)a為底時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為2，3，3，則周長(zhǎng)為8；當(dāng)b為底時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為2，2，3，則周長(zhǎng)為7；綜上所述此等腰三角形的周長(zhǎng)為7或8．故選：A．6．在下列長(zhǎng)度的各組線(xiàn)段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．3，5，9 B．1，，2 C．4，6，8 D．，，【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，就是直角三角形，沒(méi)有這種關(guān)系，就不是直角三角形．【解答】解：A、32+52≠92，故不是直角三角形，錯(cuò)誤；B、12+（）2=22，故是直角三角形，正確；C、42+62≠82，故不是直角三角形，錯(cuò)誤；D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，錯(cuò)誤．故選B．7．如圖，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線(xiàn)段BN的長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．5【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．【分析】設(shè)BN=x，則由折疊的性質(zhì)可得DN=AN=9﹣x，根據(jù)中點(diǎn)的定義可得BD=3，在Rt△BDN中，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：設(shè)BN=x，由折疊的性質(zhì)可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=3，在Rt△BDN中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故線(xiàn)段BN的長(zhǎng)為4．故選：C．8．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線(xiàn)，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，BE=BA，過(guò)E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】易證△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正確，再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可求得∠DAE=∠DCE，即③正確，根據(jù)③可求得④正確．【解答】解：①∵BD為△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠ABD=∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），…①正確；②∵BD為△ABC的角平分線(xiàn)，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，…②正確；③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE為等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC．…③正確；④過(guò)E作EG⊥BC于G點(diǎn)，∵E是BD上的點(diǎn)，∴EF=EG，∵在RT△BEG和RT△BEF中，，∴RT△BEG≌RT△BEF（HL），∴BG=BF，∵在RT△CEG和RT△AFE中，，∴RT△CEG≌RT△AFE（HL），∴AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF．…④正確．故選D．二、填空題9．的平方根是±2；﹣的立方根是﹣；立方根等于本身的數(shù)為0和±1．【考點(diǎn)】立方根；平方根．【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義逐個(gè)求出即可．【解答】解：的平方根是±2，﹣的立方根是﹣，立方根等于它本身的數(shù)是0和±1，故答案為：±2，﹣，0和±1．10．若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根為2m﹣6與m+3，則m為1；這個(gè)正數(shù)為16．?dāng)?shù)a、b滿(mǎn)足，則=1．【考點(diǎn)】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；平方根．【分析】根據(jù)平方根的概念列式求出m的值，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，2m﹣6+m+3=0，解得，m=1，m+3=4，則這個(gè)正數(shù)是16，a+2=0，b﹣4=0，解得，a=﹣2，b=4，則=1，故答案為：1；14；1．11．（1）若等腰三角形有一外角為100°，則它的底角為80或50度；（2）若直角三角形兩邊長(zhǎng)為3和4，則斜邊上的中線(xiàn)為2.5或2．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線(xiàn)；勾股定理．【分析】（1）等腰三角形的一個(gè)外角等于100°，則等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為80°，但已知沒(méi)有明確此角是頂角還是底角，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論．（2）分4是斜邊時(shí)和4是直角邊時(shí)，利用勾股定理列式求出斜邊，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半解答．【解答】解：（1）∵等腰三角形的一個(gè)外角等于100°，∴等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為80°，①當(dāng)80°為頂角時(shí)，其他兩角都為50°、50°，②當(dāng)80°為底角時(shí)，其他兩角為80°、20°，所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°．（2）4是斜邊時(shí)，此直角三角形斜邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)=×4=2，4是直角邊時(shí)，斜邊==5，此直角三角形斜邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)=×5=2.5，綜上所述，此直角三角形斜邊上的中線(xiàn)為2.5或2．故答案為：80或50；2.5或2．12．如圖，△OAD≌△OBC，且∠O=72°，∠C=20°，則∠AEB=112°．【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠C=∠D，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠C=∠D=20°，在△AOD中，∠CAE=∠D+∠O=20°+72°=92°，在△ACE中，∠AEB=∠C+∠CAE=20°+92°=112°．故答案為：112．13．如圖，a∥b，點(diǎn)A在直線(xiàn)a上，點(diǎn)C在直線(xiàn)b上，∠BAC=90°，AB=AC，若∠1=20°，則∠2的度數(shù)為65°．【考點(diǎn)】平行線(xiàn)的性質(zhì)；等腰直角三角形．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，求出∠ACM，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠2=∠ACM，代入求出即可．【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵∠1=20°，∴∠ACM=20°+45°=65°，∵直線(xiàn)a∥直線(xiàn)b，∴∠2=∠ACM=65°，故答案為：65°．14．如圖，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，PB=3cm，則△POA的面積等于12cm2．【考點(diǎn)】角平分線(xiàn)的性質(zhì)．【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)求出PD的長(zhǎng)，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D，∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB=3cm，∴PD=PB=3cm，∵OA=8cm，∴S△POA=OA?PD=×8×3=12cm2．故答案為：12．15．如圖，一圓柱高8cm，底面半徑為cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程是10cm．【考點(diǎn)】平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題．【分析】此題最直接的解法，就是將圓柱展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短解答．【解答】解：底面圓周長(zhǎng)為2πr，底面半圓弧長(zhǎng)為πr，即半圓弧長(zhǎng)為：×2π×=6（cm），展開(kāi)得：∵BC=8cm，AC=6cm，根據(jù)勾股定理得：AB==10（cm）．故答案為：10．16．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一點(diǎn)，將矩形ABCD沿CE折疊后，點(diǎn)B落在AD邊的F點(diǎn)，則BE的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．【分析】首先求出DF的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出AF的長(zhǎng)度；根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線(xiàn)段BE的方程即可解決問(wèn)題．【解答】解：由題意得：FC=BC=10，BE=EF（設(shè)為x）；∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D=90°，DC=BC=8，由勾股定理得：DF2=102﹣82=16，∴DF=4，AF=10﹣4=6；由勾股定理得：EF2=AE2+AF2，即x2=（8﹣x）2+62解得：x=，故該題答案為．17．如圖，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC邊上的中線(xiàn)，F(xiàn)是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CF+EF的最小值為．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】作E關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接CM交AD于F，連接EF，過(guò)C作CN⊥AB于N，根據(jù)三線(xiàn)合一定理求出BD的長(zhǎng)和AD⊥BC，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)三角形面積公式求出CN，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求出CF+EF=CM，根據(jù)垂線(xiàn)段最短得出CF+EF≥，即可得出答案．【解答】解：作E關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接CM交AD于F，連接EF，過(guò)C作CN⊥AB于N，∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴M在AB上，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==12，∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN，∴CN===，∵E關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，∴EF=FM，∴CF+EF=CF+FM=CM，根據(jù)垂線(xiàn)段最短得出：CM≥CN，即CF+EF≥，即CF+EF的最小值是，故答案為：．18．如圖，在△ABC中，AD為∠CAB平分線(xiàn)，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15°，AF=2，則BF=6．【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【分析】先由垂直的定義及三角形內(nèi)角和定理得出∠BDA=75°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠DAC=60°，再由角平分線(xiàn)定義求得∠BAD=60°，則∠FEA=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得到EF=2，再求出∠FBE=30°，進(jìn)而得出BF=EF=6．【解答】解：∠DBE=15°，∠BED=90°，∴∠BDA=75°，∵∠BDA=∠DAC+∠C，而∠C=15°，∴∠DAC=60°，∵AD為∠CAB平分線(xiàn)，∴∠BAD=∠DAC=60°，∵EF⊥AB于F，∴∠FEA=30°，∵AF=2，∴EF=2，∵∠FEB=60°，∴∠FBE=30°，∴BF=EF=6．故答案為6．19．如圖，點(diǎn)P、Q是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿線(xiàn)段AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B出發(fā)，沿線(xiàn)段BC運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點(diǎn)M，在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則當(dāng)t=秒或秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)．【分析】假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，因?yàn)椤螧=60°，所以PB=2BQ，即4﹣t=2t故可得出t的值，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，同理可得BQ=2BP，即t=2（4﹣t），由此兩種情況即可得出結(jié)論．【解答】解：假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，即4﹣t=2t，t=，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=，∴當(dāng)t=秒或秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．故答案為：秒或秒．三、解答題20．（1）（2）（x+1）2﹣3=0（3）3x3+4=﹣20．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；平方根；立方根；零指數(shù)冪．【分析】（1）直接利用絕對(duì)值以及二次根式和立方根的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)求出答案；（2）直接利用平方根的定義分析得出答案；（3）直接利用立方根的定義分析得出答案．【解答】解：（1）=3+﹣1+2﹣1=3+；（2）（x+1）2﹣3=0x+1=±，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；（3）3x3+4=﹣203x3=﹣24，則x3=﹣8，解得：x=﹣2．21．已知5x﹣1的算術(shù)平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x﹣2y的平方根．【考點(diǎn)】立方根；平方根；算術(shù)平方根．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義求出x、y的值，求出4x﹣2y的值，再根據(jù)平方根定義求出即可．【解答】解：∵5x﹣1的算術(shù)平方根為3，∴5x﹣1=9，∴x=2，∵4x+2y+1的立方根是1，∴4x+2y+1=1，∴y=﹣4，4x﹣2y=4×2﹣2×（﹣4）=16，∴4x﹣2y的平方根是±4．22．已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，連接BD．求證：（1）△BAD≌△CAE；（2）試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】要證（1）△BAD≌△CAE，現(xiàn)有AB=AC，AD=AE，需它們的夾角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易證得．（2）BD、CE有何特殊位置關(guān)系，從圖形上可看出是垂直關(guān)系，可向這方面努力．要證BD⊥CE，需證∠BDE=90°，需證∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．【解答】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE．證明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB=∠E．∵∠DAE=90°，∴∠E+∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．∴BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE．23．如圖，方格紙上畫(huà)有AB、CD兩條線(xiàn)段，按下列要求作圖（不保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法）（1）請(qǐng)你在圖（1）中畫(huà)出線(xiàn)段AB關(guān)于CD所在直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)的圖形；（2）請(qǐng)你在圖（2）中添上一條線(xiàn)段，使圖中的3條線(xiàn)段組成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，請(qǐng)畫(huà)出所有情形．【考點(diǎn)】作圖-軸對(duì)稱(chēng)變換．【分析】（1）做BO⊥CD于點(diǎn)O，并延長(zhǎng)到B′，使B′O=BO，連接AB即可；（2）軸對(duì)稱(chēng)圖形沿某條直線(xiàn)折疊后，直線(xiàn)兩旁的部分能完全重合．【解答】解：所作圖形如下所示：24．如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD=DE．（1）若∠BAE=40°，求∠C的度數(shù)；（2）若△ABC周長(zhǎng)13cm，AC=6cm，求DC長(zhǎng)．【考點(diǎn)】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)和等腰三角形性質(zhì)得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案；（2）根據(jù)已知能推出2DE+2EC=7cm，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，∴∠C=∠CAE，∵∠BAE=40°，∴∠AED=70°，∴∠C=∠AED=35°；（2）∵△ABC周長(zhǎng)13cm，AC=6cm，∴AB+BE+EC=7cm，即2DE+2EC=7cm，∴DE+EC=DC=3.5cm．25．【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿(mǎn)著魅力．千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．【小試牛刀】把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a、b、c．顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：S梯形ABCD=a（a+b），S△EBC=b（a﹣b），S四邊形AECD=c2，則它們滿(mǎn)足的關(guān)系式為a（a+b）=b（a﹣b）+c2，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得到勾股定理．【知識(shí)運(yùn)用】（1）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線(xiàn)上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個(gè)村莊的距離為41千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得PC=PD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離．【知識(shí)遷移】借助上面的思考過(guò)程與幾何模型，求代數(shù)式的最小值（0＜x＜16）【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【分析】【小試牛刀】根據(jù)三角形的面積和梯形的面積就可表示出．【知識(shí)運(yùn)用】（1）連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，根據(jù)AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，從而得到DE=AD﹣AE=24﹣16=8千米，利用勾股定理求得CD兩地之間的距離．（2）連接CD，作CD的垂直平分線(xiàn)角AB于P，P即為所求；設(shè)AP=x千米，則BP=（40﹣x）千米，分別在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通過(guò)PC=PD建立方程，解方程即可．【知識(shí)遷移】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)的求法即可求出．【解答】解：【小試牛刀】S梯形ABCD=a（a+b），S△EBC=b（a﹣b），S四邊形AECD=c2，它們滿(mǎn)足的關(guān)系式為：a（a+b）=b（a﹣b）+c2，答案為：a（a+b），b（a﹣b），c2，a（a+b）=b（a﹣b）+c2．【知識(shí)運(yùn)用】（1）如圖2①，連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴BC=AE，CE=AB，∴DE=AD﹣AE=25﹣16=9千米，∴CD===41（千米），∴兩個(gè)村莊相距41千米．故答案為：41．（2）如圖2②所示：設(shè)AP=x千米，則BP=（40﹣x）千米，在Rt△ADP中，DP2=AP2+AD2=x2+242，在Rt△BPC中，CP2=BP2+BC2=（40﹣x）2+162，∵PC=PD，∴x2+242=（40﹣x）2+162，解得x=16，即AP=16千米．【知識(shí)遷移】：如圖3，代數(shù)式+的最小值為：=20．26．在△ABC中，AB=17，BC=21，AC=10，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（