2.3拋物線的簡單幾何性質(zhì).FM.－－拋物線標準方程1、拋物線的定義：一、溫故知新標準方程

圖形

焦點

準線xyoF..xyFo.yxoF.xoyF2、拋物線的標準方程：范圍1、由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍為拋物線在y軸的右側(cè)，當x的值增大時，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。二、探索新知如何研究拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)?對稱性2、關(guān)于x軸對稱即點(x,-y)

也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對稱.則(-y)2=2px若點(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，頂點3、

定義：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點。y2=2px(p>0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線y2=2px(p>0)的頂點（0，0）.注:這與橢圓有四個頂點不同。4、開口方向P(x,y)拋物線y2=2px（p>0）的開口方向向右。+X，x軸正半軸，向右-X，x軸負半軸，向左+y，y軸正半軸，向上-y，y軸負半軸，向下離心率5、P(x,y)

拋物線上的點與焦點的距離和它到準線的距離之比，叫做拋物線的離心率。

由定義知，拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.xyOFABy2=2px2p過焦點而垂直于對稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑，利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p通徑6、2p越大，拋物線張口越大.思考：拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑。|PF|=x0+p/2焦半徑公式：焦半徑7、xyOFP方程圖形范圍對稱性頂點焦半徑

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO關(guān)于x軸對稱

關(guān)于x軸對稱

關(guān)于y軸對稱

關(guān)于y軸對稱（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）分析:直線與拋物線有一個公共點的情況有兩種情形：一種是直線平行于拋物線的對稱軸；另一種是直線與拋物線相切．例1已知拋物線的方程為y2=4x

,直線l過定點P(-2,1),斜率為k

,k為何值時,直線與拋物線y2=4x:⑴只有一個公共點;⑵有兩個公共點;⑶沒有公共點?分析:直線與拋物線有兩個公共點時△>0分析:直線與拋物線沒有公共點時△<0注:在方程中,二次項系數(shù)含有k,所以要對k進行討論作圖要點:畫出直線與拋物線只有一個公共點時的情形,觀察直線繞點P轉(zhuǎn)動的情形132過點且與拋物線只有一個公共點的直線的條數(shù)過點1過點2過點33條2條1條xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.y2=4x解法一:由已知得拋物線的焦點為F(1,0),所以直線AB的方程為y=x-1xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.y2=4x解法二:由題意可知,ABFA1B1H

ABFA1B1H同理

lFAxyBB1pp1A1通徑就是過焦點且垂直于x軸的線段長為2p即為的最小值A(chǔ)xyOBF2F1AxyOBF2F1(2)過拋物線的焦點做傾斜角為的直線L,設(shè)L交拋物線于A,B兩點,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.例2、(1)過拋物線的焦點,作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長為

.思考：通徑是拋物線的焦點弦中最短的弦嗎？FAxyBFFyOxBA例6、過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D,求證:直線DB平行于拋物線的對稱軸.xOyFABD2、已知拋物線y=x2,動弦AB的長為2，求AB中點縱坐標的最小值.1、在拋物線y2=64x上求一點，使它到直線Ｌ：4x+3y+46=0的距離最短，并求此距離.3、已知拋物線y2=2x,過Q(2,1)作直線于拋物線交于A、B，求AB中點的軌跡方程.探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面都是拋物鏡面。拋物鏡面：拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。燈泡放在拋物線的焦點位置上，通過鏡面反射就變成了平行光束，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的設(shè)計原理。平行光線射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都經(jīng)過拋物線的焦點，這就是太陽灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)。例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深40cm，求拋物線的標準方程和焦點位置。xyO(40,30)解:所在平面內(nèi)建立直角坐標系,使反射鏡的頂點與原點重合,x軸垂直于燈口直徑.在探照燈的軸截面設(shè)拋物線的標準方程為:y2=2px由條件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=故所求拋物線的標準方程為:y2=x,焦點為(,0)24l例3:圖中是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米.水下降1米后，水面寬多少？xoAy若在水面上有一寬為2米,高為1.6米的船只，能否安全通過拱橋？思考題2BA（2,－2）x2=－2yB（1，y）y=－0.5B到水面的距離為1.5米不能安全通過y=－3代入得例題3歸納:

(1)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),它也可以無限延伸

(2)拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;(3)拋物線只有一個頂點,一個焦點,一條準線；

(4)拋物線的離心率e是確定的為１,⑸拋物線的通徑為2P,2p越大,拋物線的張口越大.

因為拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（２，），解:所以設(shè)方程為：又因為點M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標準方程為：

例１：已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（２，），求它的標準方程.三、典例精析

（1）已知點A（-2，3）與拋物線的焦點的距離是5，則P

=

。

（2）拋物線的弦AB垂直x軸，若|AB|=，則焦點到AB的距離為

。42（3）已知直線x-y=2與拋物線交于A、B兩點，那么線段AB的中點坐標是

。

四、課堂練習5.點A的坐標為(3，1)，若P是拋物線上的一動點，F(xiàn)是拋物線的焦點，則|PA|+|PF|的最小值為()(A)3(B)4(C)5(D)6

4、求滿足下列條件的拋物線的標準方程：(1)焦點在直線x-2y-4=0上.(2)焦點在軸x上且截直線2x-y+1=0所得的弦長為6、已知Q(4,0)，P為拋物線上任一點，則|PQ|的最小值為()A.B.