機器人學戰(zhàn)強北京航空航天大學機器人研究所第四章、機器人靜力學第四章、機器人靜力學機器人與外界接觸會有力和力矩的作用，如靈巧手抓取雞蛋時；雙足機器人上下樓梯時。問題1：各關節(jié)的驅動力（廣義力）與末端的作用力之間的關系？？問題

本章主要討論機器人在靜止狀態(tài)下的受力分析和平衡關系。17.6m如果外界的作用力太大，如機器人抓持的物體太重，則機器人操作臂會發(fā)生變形。問題2：外界作用力與操作臂各連桿變形之間的關系？？4.1連桿的受力和平衡方程機器人是由連桿和關節(jié)（低副機構）組成，這里將機器人的連桿當成剛體，以其中一個連桿為對象對其進行靜力分析，連桿i及其相鄰連桿之間的作用力和作用力矩關系如下圖。：連桿i-1作用在連桿i上的力；：連桿i-1作用在連桿i上的力矩；：連桿i的重力，作用在質心上；：連桿i上的質心位置；{i＋1}{i}MifimigMi+1fi+1-fi+1-Mi+1連桿i處于平衡態(tài)時，受合力為零，力矩平衡方程為：表示坐標系{i+1}的原點相對于坐標系{i}的表示；{i}Mifimig-fi+1-Mi+1{i＋1}Mi+1fi+1（4-1）（4-2）在坐標系{i}中，以為支點，力平衡方程為通常需要根據(jù)末端連桿上的外界作用力和力矩，依次計算出每個連桿上的受力情況，從末端連桿遞推到基座。如果忽略掉連桿本身的重量，上兩式可寫成反向迭代的形式將表示在其所在的坐標系{i+1}中采用旋轉矩陣寫成靜力從一連桿向另一連桿傳遞的形式根據(jù)此式可進一步求出每關節(jié)的驅動力和力矩！若不考慮關節(jié)中的摩擦，旋轉關節(jié)除了繞轉軸的扭矩外，其余各方向的力和力矩都由機械構件承受，為保持連桿平衡，i關節(jié)驅動力矩應等于對于移動關節(jié)，除了沿Z軸方向的力之外，其余方向的力和力矩都由機械構件承受，關節(jié)驅動力為例：2自由度平面機器人末端對外施加的作用力為F3，求各關節(jié)驅動力矩。X3Y3F3連桿2連桿1X2X1Y2Y1l2l1X3Y3F3連桿2連桿1X2X1Y2Y1l2l1將外界作用力從坐標系{2}表示轉換到基坐標系{0}中力雅可比力雅可比剛好是運動學雅可比矩陣的轉置力雅可比XY12l1l24.2等效關節(jié)力和力雅可比將操作臂末端所受到的力和力矩組成六維矢量將各關節(jié)驅動力矩組成n維矢量將關節(jié)驅動力矩看成操作臂驅動裝置的輸入，末端產生的廣義力作為操作臂的輸出。采用虛功原理推導它們之間的關系。令各關節(jié)的虛位移為，末端的虛位移為D。終端廣義力矢量虛位移是滿足機械系統(tǒng)的幾何約束條件的無限小位移。各關節(jié)所做的虛功之和為末端操作器所做的虛功為根據(jù)虛功原理，操作臂平衡情況下，由任意虛位移產生的虛功和為零。即關節(jié)空間虛位移產生的虛功等于操作空間虛位移產生的虛功.由于？上式表明：不考慮關節(jié)之間的摩擦力，在外力F的作用下，操作臂平衡的條件是關節(jié)力矩滿足上式。注意：如果雅可比J不滿秩，則末端操作器在某些方向上處于失控，不能施加所需的力和力矩，即沿這些方向的廣義力可隨意變化，而不會對關節(jié)力矩的大小產生影響。力雅可比力雅可比是運動雅可比的轉置F連桿2連桿1雅可比J不滿秩奇異狀態(tài)如右圖所示的平面兩桿機器人處于近奇異狀態(tài)，則此時可以很小的關節(jié)力矩克服非常大的外界作用力。4.3微分運動與靜力傳播的對偶性由力雅可比和運動雅可比之間的關系可知操作臂的靜力傳遞關系和速度傳遞關系緊密相關。J映射零空間N(J)操作速度空間關節(jié)速度空間值域空間J的值域空間表示關節(jié)運動能產生的全部操作速度的集合J映射N(J)零空間值域空間JTN(JT)值域空間零空間靜力映射是從m維矢量空間向n維關節(jié)空間的映射；因此關節(jié)力矩矢量總是由末端操作力F唯一確定。但對于給定的關節(jié)力矩，與之平衡的末端操作力不一定存在。速度：靜力：J映射N(J)零空間值域空間JTN(JT)值域空間零空間零空間：代表不需要任何關節(jié)驅動力矩而能承受的所有末端操作力的集合；這時末端操作力完全由操作臂機構本身承受。值域空間：代表操作力能平衡的所有關節(jié)力矩矢量的集合。N(JT)S1S3S4S2速度：靜力：J映射N(J)零空間值域空間JTN(JT)值域空間零空間S1S3S4S2根據(jù)線性代數(shù)：零空間N(J)是值域空間在Rn的正交補，即對于任何非空的n維矢量則S1:N(J)在Rn的正交補S3:R(JT)在Rn的正交補這意味著在不產生末端操作速度的這些關節(jié)速度方向上，關節(jié)力矩不能被末端操作力所平衡。為了保持操作臂末端靜止不動，在零空間的關節(jié)力矩矢量必須為零。在操作空間中，值域空間是零空間N(JT)的正交補。不能由關節(jié)運動驅動產生的這些操作運動方向正是不需關節(jié)力矩平衡的末端操作力的方向。反之，當外力作用方向沿著末端操作器能夠運動的方向時，外力完全可以由關節(jié)力矩來平衡。J映射N(J)零空間值域空間JTN(JT)值域空間零空間S1S3S4S2運動學和靜力學的對偶性4.4力與力矩的坐標變換利用靜力和瞬時運動的對偶關系，可以把靜力學問題歸結為相應的微分運動問題來研究。J映射N(J)零空間值域空間JTN(JT)值域空間零空間S1S3S4S2運動學和靜力學的對偶性假設6維廣義力矢量力和力矩的坐標變換與微分運動坐標變換之間同樣存在對偶關系利用虛功原理推導從坐標系{B}的描述變換到{A}中的描述坐標系{A}中的虛位移、作用力坐標系{B}中的虛位移、作用力根據(jù)虛功原理：外力和等效力所做的虛功之和為零，可得：由微分運動的坐標變換公式兩坐標系的微運動變換反對稱矩陣將上式轉置得從坐標系{B}的描述變換到坐標系{A}中的描述為：兩坐標系的力和力矩變換公式例：腕力傳感器測出手腕上的六維廣義力，計算工具頂端的作用力令坐標系{W}到坐標系{T}的齊次變換矩陣為根據(jù)靜力傳遞的關系XTYTZTZTYWXW則工具端的廣義力為：4.5靜力學的逆問題關節(jié)力和外界作用力之間的關系：J：可能不是方陣，也可能沒有逆F=？F的值不確定Dim(F)<Dim(τ)|J|!=0(最小二乘法)主要應用：由關節(jié)力矩確定操作臂的負荷量。4.6剛度和柔度操作臂在外力作用下會產生變形，變形大小與操作臂剛度和作用力的大小有關。操作臂的剛度影響它的動態(tài)特性和定位精度。操作臂變形的部位：連桿連桿支撐關節(jié)驅動裝置對于細長桿的操作臂，如CANADAARM，連桿變形是主因；對于工業(yè)機器人，變形的主因是傳動、減速裝置和伺服驅動系統(tǒng)關節(jié)i的各個變形的主因都可用剛度描述，為簡便，可將驅動系統(tǒng)的剛度用彈簧系數(shù)ki表示，即關節(jié)力矩/靜態(tài)誤差力矩附加變形假設連桿是剛性的，推導關節(jié)剛度和操作臂末端剛度之關系：假設D是基系下末端變形關節(jié)i的等效剛度操作臂末端的柔度矩陣：表示操作力F和產生末端變形D之間的線性關系如果J是方陣且滿秩，則C是可逆的末端剛度矩陣A、當J退化時，C不可逆，則剛度至少在一個方向上變?yōu)闊o窮大，操作力作用在這些方向上不會產生任何關節(jié)力矩，也不會產生變形。結論：B、操作臂末端的剛度和柔度矩陣取決于各關節(jié)的剛度和雅可比矩陣，與操作臂的形位有關。操作臂末端的變形與形位和作用力的方向都有關。F連桿2連桿1如圖所示的平面機器人，末端柔度矩陣為：為求出單位作用力引起的極大變形和極小變形的數(shù)值和方向，令利用拉格朗日乘子λ，定義拉格朗日函數(shù)相對極值的必要條件為拉格朗日乘子λ就是平方柔度矩陣C2的特征值解平方柔度矩陣C2的特征方程得最大和最小特征值為注意：因每個關節(jié)剛度為正，兩特征值