廣東省高考試題廣東省高考試題廣東省高考試題2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）本試題共4頁(yè)，21小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必用黑色自己的鋼筆或署名筆將自己的姓名、和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)，填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷種類（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2、選擇題每題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑。如需變動(dòng)，用橡皮擦潔凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3、非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或署名筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定地區(qū)內(nèi)相應(yīng)位置上；如需變動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求做大的答案無(wú)效。4、作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再做答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效。5、考生必須保持答題卡得整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參照公式：柱體的體積公式VSh，其中S為柱體的底面積，h為柱體的高.一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，滿分40分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)切合題目要求的。1.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)56i=()i(A)65i(B)65i(C)i(D)i【解析】選D56i(56i)i65i，應(yīng)選D.依題意：2ii2．設(shè)會(huì)合U{1,2,3,4,5,6},M{1,2,4}；則CUM()(A)U(B){1,3,5}(C){,,}(D){,,}【解析】選CCUM{,,}3.若向量BA(2,3),CA(4,7)；則BC()(A)(2,4)(B)(2,4)(C)(,)(D)(,)【解析】選ABCBACA(2,4)4.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,)上為增函數(shù)的是()(A)yln(x2)(B)yx1(C)y()x(D)yxx【解析】選Ayln(x2)區(qū)間(0,)上為增函數(shù)，yx1區(qū)間(0,)上為減函數(shù)y()x區(qū)間(0,)上為減函數(shù)，yx區(qū)間(1,)上為增函數(shù)xy25.已知變量x,y知足拘束條件xy4，則z3xy的最大值為()xy1(A)12(B)11(C)(D)【解析】選B拘束條件對(duì)應(yīng)ABC邊際及內(nèi)的地區(qū)：A(2,2),B(3,2),C(5,3)22則z3xy[8,11]6.某幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為()(A)12(B)45(C)(D)【解析】選C幾何體是圓柱與圓錐疊加而成它的體積為V2513232573523從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的概率是()(A)4(B)1(C)(D)9D3【解析】選①個(gè)位數(shù)為1,3,5,7,9時(shí)，十位數(shù)為2,4,6,8，個(gè)位數(shù)為0,2,4,6,8時(shí)，十位數(shù)為1,3,5,7,9，共45個(gè)②個(gè)位數(shù)為0時(shí)，十位數(shù)為1,3,5,7,9，共5個(gè)別個(gè)位數(shù)為0的概率是514598..對(duì)隨意兩個(gè)非零的平面向量和，定義；若平面向量a,b知足ab0，a與b的夾角(0,)，且ab,ba都在會(huì)合nnZ}中，則ab()42(A)1(B)1(C)(D)2【解析】選Caba0,bab0(ab)(ba)cos2(1,1)coscosba2ab,ba都在會(huì)合nnZ}中得：(ab)(ba)n1n2(n1,n2N*)ab3242二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每題5分，滿分30分。(一）必做題（9-13題）9.不等式x2x1的解集為_____【解析】解集為_____(,1]2原不等式x2或2x0x01(x2)x1或,解得x,x2x1x2x1210.(x21)6的展開式中x3的系數(shù)為______。（用數(shù)字作答）x【解析】系數(shù)為______20(x21)6的展開式中第k1項(xiàng)為Tk1C6kxkx2(6k)C6kx123k(k0,1,2,,6)x3得：x3的系數(shù)為C63令123k3k2011.已知遞增的等差數(shù)列{an}知足a11,a3a224，則an_____【解析】an_____2n1a11,a3a22412d(1d)24d2an2n112.曲線yx3x3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為【解析】切線方程為2xy10yx3x3y3x21kyx12切線方程為y32(x1)即2xy1013.履行如圖2所示的程序框圖，若輸入n的值為8，則輸出s的值為【解析】輸出s的值為8S1248i2468k1234（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為xt和C2:x2cos(是參數(shù)），它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_______.C1:(t是參數(shù)）y2sinyt【解析】它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_______(1,1)C1:y2x(y0),C2:x2y22解得：交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)15.(幾何證明選講選做題）如圖3，圓O的半徑為1,A,B,C是圓周上的三點(diǎn)，知足，ABC30，過點(diǎn)A做圓O的切線與OC的延伸線交于點(diǎn)P，則PA_____【解析】PA_____3連結(jié)OA，得AOC2ABC60AC1,PACABC30APC30PC1PA2PO2OA23PA3三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟。(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)2cos(x)(0,xR)的最小正周期為106（1）求的值；（2）設(shè),[0,2]，f(55)6,f(55)16；求cos()的值356172101【解析】（1）T55633,cos4（2）f(5)cos(2)sin35555f(55)16cos8,sin156171717cos()coscossinsin483151351751785(本小題滿分13分)某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻次散布直方圖如圖4所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。1）求圖中x的值；2）從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選用2人，該2人中成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)希望?！窘馕觥浚?）0.0061030.01100.05410x101x0.018（2）成績(jī)不低于80分的學(xué)生有(0.0180.006)105012人，其中成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的人數(shù)為0.0610503隨機(jī)變量可取0,1,2P(C926,P(1)C91C319C3210)11C2,P(0)22C222C2121212E61911022221122答：（1）x0.018（2）的數(shù)學(xué)希望為

1218.(本小題滿分13分)如下圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC平面BDE。（1）證明：BD平面PAC；（2）若PA1,AD2，求二面角BPCA的正切值；【解析】（1）PC平面BDE，BD面BDEBDPCPA平面ABCD，BD面ABCDBDPA又PAPCPBD面PAC（2）ACBDO由（1）得：BDACABAD，PA1,AD2AB2，PC平面BDEBFPC,OFPCBFO是二面角BPCA的平面角在PBC中，PB5,BC2,PC3PBC90BEBPBC25PC3在RtBOF中，BO2,OEBF2BO22tanBFOBO3得：二面角BPCA的正切值為33OF19.(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，知足2Snan12n11(nN*)，且a1,a25,a3成等差數(shù)列。（1）求a1的值；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有1113a1a2an2【解析】（1）2Snan12n11,2Sn1an22n21相減得：an23an12n12S1a23a22a13,a33a246a113a1,a25,a3成等差數(shù)列a1a32(a25)a11（2）a11,a25得an13an2n對(duì)nN*均建立an13an2nan12n13(an2n)得：an2n3(an12n1)32(an22n2)3n1(a12)an3n2n（3）當(dāng)n1時(shí)，13a112當(dāng)n2時(shí)，(3)n(3)223n22nan2n1122an2n11111111113a1a2an22232n22n2由上式得：對(duì)一切正整數(shù)n，有1113a1a2an220.(本小題滿分14分)222xOy中，已知橢圓C:x2y21(ab0)的離心率e在平面直角坐標(biāo)系，且橢圓C上的ab3點(diǎn)到Q(0,2)的距離的最大值為3；（1）求橢圓C的方程；（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M(m,n)使得直線l:mxny1與圓O:x2y21相交于不同的兩點(diǎn)A,B，且AOB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的AOB的面積；若不存在，請(qǐng)說明原因?！窘馕觥浚?）設(shè)ca2b2由ec2c22a2，所以b2a2c21a2a333設(shè)P(x,y)是橢圓C上隨意一點(diǎn)，則x2y222y222a2b21，所以xa(1b2)a3y|PQ|x2(y2)2a23y2(y2)22(y1)2a26當(dāng)b1時(shí)，當(dāng)y1時(shí)，|PQ|有最大值a263，可得a3，所以b1,c2當(dāng)b1時(shí)，PQa263b263不合題意故橢圓C的方程為：x2y213（2）AOB中，OAOB1，SAOB1OAOBsinAOB1221，當(dāng)且僅當(dāng)AOB90時(shí)，SAOB有最大值2AOB90時(shí)，點(diǎn)O到直線AB的距離為d22d21n22m2n222m22又m23n23m23,n21，此時(shí)點(diǎn)M(6,2)222221.（本小題滿分14分）設(shè)a1，會(huì)合A{xR|x0}，B{xR|2x23(1a)x6a0}，DAB。（1）求會(huì)合D（用區(qū)間表示）（2）求函數(shù)f(x)2x33(1a)x26ax在D內(nèi)的極值點(diǎn)。【解析】（1）關(guān)于方程2x23(1a)x6a0鑒別式9(1a)248a3(a3)(3a1)因?yàn)閍1，所以a30①當(dāng)1a10，此時(shí)BR，所以DA；時(shí)，13②當(dāng)a0，此時(shí)B{x|x1}，所以D(0,1)(1,)；時(shí)，31時(shí)，0，設(shè)方程23(1a)x6a0的兩根為x1,x2且x1x2，則當(dāng)a2x33(1a)3(a3)(3a1)3(1a)3(a3)(3a1)x14，x24B{x|xx1或xx2}③當(dāng)0a1時(shí)，x1x23(1a)0，x1x23a0，所以x10,x2032此時(shí)，D(x,x1)(x2,)3(1a)3(a3)(3a1)3(1a)3(a3)(3a1))(0,4)(4,④當(dāng)a0時(shí)，x1x23a0，所以x10,x20此時(shí)，D(x2,)3(1a)3(a3)(3a1))(4,（2）f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)，a1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,1]上為減函數(shù)，在區(qū)間(,a]和[1,)上為增函數(shù)①x1是極點(diǎn)1B1a13②xa是極點(diǎn)aA,aB0a1得：a0時(shí)，函數(shù)無(wú)f(x)極值點(diǎn)，01時(shí)，函數(shù)f(x