定積分概念求解第一頁，共五十七頁，2022年，8月28日abxyo原型（求曲邊梯形的面積）一、抽象定積分概念現(xiàn)實原型第二頁，共五十七頁，2022年，8月28日面積怎么求？元素法ππ第三頁，共五十七頁，2022年，8月28日利用元素法的思想求解曲邊梯形的面積時，可概括“分割-取近似-求和-取極限”的步驟.將曲邊梯形的底，即[a,b]進(jìn)行分割(用垂直于x軸的直線).第一步分割；曲邊梯形的面積的解決思路：abxyo第四頁，共五十七頁，2022年，8月28日取出典型小區(qū)域，用矩形面積近似曲邊梯形面積.第二步取近似；abxyo用矩形面積近似小曲邊梯形面積底典型小區(qū)域面積第五頁，共五十七頁，2022年，8月28日abxyo第三步求和；矩形面積和與曲邊梯形面積不相等有誤差將每個小曲邊梯形的面積都用矩形近似，并將所有的小矩形面積加起來.第六頁，共五十七頁，2022年，8月28日第四步取極限.當(dāng)對曲邊梯形底的分割越來越細(xì)時，矩形面積之和越近似于曲邊梯形面積.abxyo第七頁，共五十七頁，2022年，8月28日第八頁，共五十七頁，2022年，8月28日二、定積分的定義定義以直代曲求和第九頁，共五十七頁，2022年，8月28日被積函數(shù)被積表達(dá)式積分上限積分下限積分變量積分和取極限第十頁，共五十七頁，2022年，8月28日注意：第十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值定積分的幾何意義第十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日幾何意義第十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日例1解第十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日π第十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理三、定積分的性質(zhì)定理第十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日補(bǔ)充：不論的相對位置如何,上式總成立.定理（積分區(qū)間的可加性）abcSacScbS第十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理πππ第十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日對定積分的補(bǔ)充規(guī)定:第十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日第二十頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理（保序性）推論（保號性）第二十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理（有界性）第二十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日例2解ππππππππ.π第二十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日第二十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理（絕對值不等式）用保序性證得第二十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理（積分中值定理）積分中值公式的幾何解釋第二十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日定積分的計算第二十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日定積分計算如何計算定積分？

定義很復(fù)雜，直接計算很困難.需要轉(zhuǎn)換新的思路.

根據(jù)幾何意義，圖不好畫第二十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理牛頓-萊布尼茨公式微積分基本定理第二十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日微積分基本公式表明：求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題注意第三十頁，共五十七頁，2022年，8月28日例1求

解提示與分析：ππππ先看成不定積分問題，求出原函數(shù).第三十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日例2例如第三十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日第三十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日問題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令第一換元法第三十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日第三十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日考慮到底該令哪個式子為u第三十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日第三十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日一定要換積分上、下限第三十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日第一換元（湊微分）法常用的幾種配元形式:

第三十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日第四十頁，共五十七頁，2022年，8月28日解例4計算第四十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日說明:使用第一換元法的關(guān)鍵在于將化為觀察重點不同，所得結(jié)論形式不同.第四十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日例5計算解一π提示與分析：用湊微分法求解.ππππ解二ππππ第四十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日解三第四十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日第一類換元法難求

易求第二換元積分法第二類換元法難求

易求第四十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日

定積分的第二換元積分法第四十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日應(yīng)用換元公式時要注意:第四十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日第二換元法第四十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日例7計算解令πππ如何去掉根式？三角代換π第四十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日ππππππππ第五十頁，共五十七頁，2022年，8月28日第五十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日=0解例8計算ππππππ第五十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日解例9計算第五十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日1求2求

練習(xí)

第五十四頁，共五