定積分概念求解第一頁，共五十七頁，2022年，8月28日abxyo原型（求曲邊梯形的面積）一、抽象定積分概念現(xiàn)實(shí)原型第二頁，共五十七頁，2022年，8月28日面積怎么求？元素法ππ第三頁，共五十七頁，2022年，8月28日利用元素法的思想求解曲邊梯形的面積時(shí)，可概括“分割-取近似-求和-取極限”的步驟.將曲邊梯形的底，即[a,b]進(jìn)行分割(用垂直于x軸的直線).第一步分割；曲邊梯形的面積的解決思路：abxyo第四頁，共五十七頁，2022年，8月28日取出典型小區(qū)域，用矩形面積近似曲邊梯形面積.第二步取近似；abxyo用矩形面積近似小曲邊梯形面積底典型小區(qū)域面積第五頁，共五十七頁，2022年，8月28日abxyo第三步求和；矩形面積和與曲邊梯形面積不相等有誤差將每個(gè)小曲邊梯形的面積都用矩形近似，并將所有的小矩形面積加起來.第六頁，共五十七頁，2022年，8月28日第四步取極限.當(dāng)對曲邊梯形底的分割越來越細(xì)時(shí)，矩形面積之和越近似于曲邊梯形面積.abxyo第七頁，共五十七頁，2022年，8月28日第八頁，共五十七頁，2022年，8月28日二、定積分的定義定義以直代曲求和第九頁，共五十七頁，2022年，8月28日被積函數(shù)被積表達(dá)式積分上限積分下限積分變量積分和取極限第十頁，共五十七頁，2022年，8月28日注意：第十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值定積分的幾何意義第十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日幾何意義第十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日例1解第十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日π第十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理三、定積分的性質(zhì)定理第十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日補(bǔ)充：不論的相對位置如何,上式總成立.定理（積分區(qū)間的可加性）abcSacScbS第十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理πππ第十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日對定積分的補(bǔ)充規(guī)定:第十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日第二十頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理（保序性）推論（保號性）第二十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理（有界性）第二十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日例2解ππππππππ.π第二十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日第二十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理（絕對值不等式）用保序性證得第二十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理（積分中值定理）積分中值公式的幾何解釋第二十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日定積分的計(jì)算第二十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日定積分計(jì)算如何計(jì)算定積分？

定義很復(fù)雜，直接計(jì)算很困難.需要轉(zhuǎn)換新的思路.

根據(jù)幾何意義，圖不好畫第二十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理牛頓-萊布尼茨公式微積分基本定理第二十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日微積分基本公式表明：求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題注意第三十頁，共五十七頁，2022年，8月28日例1求

解提示與分析：ππππ先看成不定積分問題，求出原函數(shù).第三十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日例2例如第三十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日第三十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日問題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令第一換元法第三十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日第三十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日考慮到底該令哪個(gè)式子為u第三十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日第三十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日一定要換積分上、下限第三十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日第一換元（湊微分）法常用的幾種配元形式:

第三十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日第四十頁，共五十七頁，2022年，8月28日解例4計(jì)算第四十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日說明:使用第一換元法的關(guān)鍵在于將化為觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論形式不同.第四十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日例5計(jì)算解一π提示與分析：用湊微分法求解.ππππ解二ππππ第四十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日解三第四十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日第一類換元法難求

易求第二換元積分法第二類換元法難求

易求第四十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日

定積分的第二換元積分法第四十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日應(yīng)用換元公式時(shí)要注意:第四十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日第二換元法第四十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日例7計(jì)算解令πππ如何去掉根式？三角代換π第四十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日ππππππππ第五十頁，共五十七頁，2022年，8月28日第五十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日=0解例8計(jì)算ππππππ第五十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日解例9計(jì)算第五十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日1求2求

練習(xí)

第五十四頁，共五