數(shù)學(xué)中的符號化思想方法

第一節(jié)

數(shù)學(xué)符號概述

1、符號的產(chǎn)生源于“給予意義”的行為。

例如“葉落知秋”，于是飄落的一片黃葉成為秋天的

符號。

2、符號已深入到人類生活的方方面面。

著名語言學(xué)家皮埃爾.吉羅說“我們生活在符號之

間”。

3、符號包括“符號形式”（能指）和“符號內(nèi)容”（所

指）兩個方面。

例如：形式：⊙、≌、△；

內(nèi)容：圓、全等于和三角形。

“沒有形式的內(nèi)容或”沒有“內(nèi)容的形式”都不是符號。一、符號是人們約定用來指稱一定對象的標(biāo)志物，是用以表達(dá)和交換思想的工具。

二、數(shù)學(xué)符號是傳播數(shù)學(xué)思想的媒介。數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)符號化系統(tǒng)=數(shù)學(xué)符號的特征：

1、物質(zhì)性：以一定的物質(zhì)形式為背景，可感知。

2、抽象性：數(shù)學(xué)符號是一種抽象化了的的思想材料。3、精確性：數(shù)學(xué)主要依靠嚴(yán)格的推理來演繹證明”，

意義不能含糊不清。

4、規(guī)范性：具有相對的穩(wěn)定性，便于交流。

5、開放性：數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)隨著數(shù)學(xué)自身的發(fā)展不斷

完善。第二節(jié)、數(shù)學(xué)符號簡史

關(guān)數(shù)學(xué)發(fā)展史可以追溯到古希臘時代，至今已有3000年歷史，數(shù)學(xué)符號的發(fā)展時間只有400余年，而大多數(shù)數(shù)學(xué)符號的歷史甚至不到400年。數(shù)學(xué)符號發(fā)展的400余年，大致可以分為五個階段。一、建立自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的符號體系。1、人類早期的記數(shù)方法。

實(shí)物記數(shù)、結(jié)繩記數(shù)、刻痕記數(shù)、用身體某個部分來表示數(shù)。2、早期的文明產(chǎn)生了各自的記數(shù)符號。如：數(shù)字符號0——9用的是印度.阿拉伯?dāng)?shù)碼；古埃及人用象形文字記數(shù)，但不知道位值記數(shù)；古巴比倫人有位值思想，但沒有適當(dāng)?shù)牧闾?；古代中國人用算籌記數(shù)，形成了較完善的記數(shù)方法；3、1450年，活版印刷的發(fā)明促進(jìn)了記數(shù)符號的規(guī)范化?，F(xiàn)行的10進(jìn)制記數(shù)法和數(shù)字符號才于16世紀(jì)以后的歐洲通行。4、位值制記數(shù)法是人類智慧的結(jié)晶。

中美洲的瑪雅人用二十進(jìn)制；

古代中國人用過十六進(jìn)制，最早用十進(jìn)制；

古巴比倫人用六十進(jìn)制；5、“0”表示“零，最早于公元4世紀(jì)左右產(chǎn)生于中印邊界一帶”。完善的“0”符號的出現(xiàn)。形成了完整的位值記數(shù)法；完成了自然數(shù)的符號系統(tǒng)6、分?jǐn)?shù)是在運(yùn)算過程中產(chǎn)生的，表示兩個整數(shù)的商。二、建立代數(shù)符號體系。

代數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵是要建立一套有效的符號系統(tǒng)。

1、古代的代數(shù)基本上都用文辭或縮寫的形式表示。

如：“x2+10x=39”在阿拉伯人阿爾.花拉子模的《代

數(shù)學(xué)》中說成“一個數(shù)的平方及其根的十倍等于39”2、符號代數(shù)到16世紀(jì)才開始在西歐出現(xiàn)，17世紀(jì)開

始流行。3、韋達(dá)對多項(xiàng)式進(jìn)行了改進(jìn)。在韋達(dá)那里，“Acubus+AplanuminA3aequaturDsolido”就是現(xiàn)在的“A3+3BA=D”4、笛卡爾是提出用字母表后面的字母“x、y、z”表

示已知數(shù)，用前面的字母“a、b、c”表示已知數(shù)。５、萊布尼茲創(chuàng)造了點(diǎn)乘號“.”；拉恩使用了除號“÷”；奧特里德用了“×”，加號“＋”和減號“－”開始是作為“超過”和“不足”引入的；代數(shù)符號到１７世紀(jì)基本完善三、與微積分學(xué)的產(chǎn)生相聯(lián)系的符號的發(fā)展。

微積分是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的——是人類精神上的偉大勝利。１、牛頓和萊布尼茲最偉大的功績是將兩上看似貌不相關(guān)

的的問題聯(lián)系起來，一個是求積問題，一個切線問題，形成了“牛頓——萊布尼茲公式”２、牛頓和萊布尼各茲引進(jìn)了一些導(dǎo)數(shù)、微分、積

分等有關(guān)符號。

如：牛頓把“d”拉長，用作微分符號；萊布尼茲把“s”拉長為∫，用作只分記號；３、微積分符號的建立克服了對極限、連續(xù)等一系列重要概念描述的含糊不清，大力推動了微積分的發(fā)展。三、集合論和數(shù)理邏輯符號在數(shù)學(xué)中的發(fā)展和滲透。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，集合論已構(gòu)成全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它的概念和方法幾乎滲透到數(shù)學(xué)的各個分支乃到其它學(xué)科。１、集合論和數(shù)理邏輯符號逐步向數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展和滲透。

如:集合符號A、B、C；并集∪;交集∩;屬于∈;2、集合論和數(shù)理邏輯符號的引入使數(shù)學(xué)語言更加簡便;第三節(jié)、符號對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。

數(shù)學(xué)的發(fā)展推動了數(shù)學(xué)符號的發(fā)展，同時數(shù)學(xué)符號的發(fā)展又促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

“數(shù)學(xué)的一切進(jìn)步都是對引入符號的反應(yīng)”；

數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)方法論有密切關(guān)系所以數(shù)學(xué)中的符號化思想受到數(shù)學(xué)方法論研究的格外重視。一、符號對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。１、歐洲在阿拉伯?dāng)?shù)字輸入以前，使用羅馬數(shù)碼，由于不

是進(jìn)位制的，一個簡單的數(shù)要寫成一長串，使得做加減

法已經(jīng)困難，會乘除就可稱專家了。

如：“235×4”要寫成

CCCCCCCC

XXXXXXXXXXXX

YYYY

DCCD

CXX

XX

再進(jìn)一步合并為“DCCCCXL”2、中國長期不用阿拉伯?dāng)?shù)字，是因?yàn)榕c算籌式數(shù)碼計數(shù)法相比，阿拉伯?dāng)?shù)定并無明顯優(yōu)勢。但是，遲遲不用阿拉伯?dāng)?shù)字，對我國數(shù)學(xué)發(fā)展有一定影響。3、微積分的發(fā)展史也是數(shù)學(xué)符號的發(fā)展史；

“數(shù)學(xué)分析的語言，是所有數(shù)學(xué)語言中最完善的語言”。4、牛頓是微積分發(fā)明的先行者（早萊布尼茲10年），但萊布尼茲較早（3年）公布成果，其原因是萊布尼茲使用的符號更為優(yōu)越。以上例子說明：數(shù)學(xué)符號的發(fā)展對數(shù)學(xué)本身發(fā)展的推動作用——形式對本質(zhì)的反作用。一、數(shù)學(xué)符號導(dǎo)致新數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生。

數(shù)學(xué)符號不僅影響了數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，同時也導(dǎo)致新的數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生。1、韋達(dá)用字母表示數(shù)，使得代數(shù)能夠逐漸成為一門正式的學(xué)科而獨(dú)立出來。2、坐標(biāo)體系的建立和用“x”“y”表示變元，直接促進(jìn)了解析幾何學(xué)的發(fā)展。3、數(shù)學(xué)符號與傳統(tǒng)邏輯相結(jié)合，促使了數(shù)理邏輯的誕生。。4、布爾試圖把初等代數(shù)與形式邏輯相結(jié)合，通過語言的符號化來達(dá)到邏輯的嚴(yán)格化，即邏輯的代數(shù)化；龐加萊試圖使數(shù)學(xué)邏輯化，把數(shù)學(xué)大廈建立在一個統(tǒng)一的基礎(chǔ)之上。但是，羅素悖論的發(fā)現(xiàn)終止了這兩項(xiàng)努力和希望。5、意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾提出：

（1）不采用自然語言，采用符號語言；

（2）把數(shù)學(xué)推理寫成符號公式；其實(shí)質(zhì)是：

（1）每一數(shù)學(xué)理論只包含少數(shù)幾個原始概念，可以用原始符號來代表；

（2）每一數(shù)學(xué)理論只包含少數(shù)幾條原始命題，可以用符號寫出的公式來表述；

（3）數(shù)學(xué)理論的邏輯展開，完全變成符號公式的數(shù)學(xué)推演。現(xiàn)今所沿用的數(shù)理邏輯記號大體上是由皮亞諾確定的。符號化思想數(shù)學(xué)是符號加邏輯掌握系統(tǒng)、完整的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)語言定律法則公式……符號是數(shù)學(xué)語言的基本詞匯由符號構(gòu)成構(gòu)成了數(shù)學(xué)語言的基本語法規(guī)則文字圖式符號數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)模型三種形態(tài)文字語言：●有時無法準(zhǔn)確描述數(shù)學(xué)概念?！裼袝r因漢語語義的豐富性，容易產(chǎn)生岐義?！裼袝r因翻譯的原因，在漢語中找不到合適的字詞進(jìn)行表述?！裼袝r因缺乏形象支持，更使概念變得抽象難懂。且用詞量較大，缺乏簡潔性。符號語言：當(dāng)給予符號特定的、統(tǒng)一的含義后，使得其更具簡潔性，也更便于表述與交流。圖式語言：既是圖形，也是符號。故同時具備了形象性與抽象性的特點(diǎn)，更具有簡潔性。數(shù)學(xué)語言的發(fā)展更傾向于圖式與符號符號化思想對數(shù)學(xué)發(fā)展起的作用

⒈以約定的語言規(guī)范的形式表達(dá)與交流促進(jìn)發(fā)展⒉以濃縮形式進(jìn)行數(shù)學(xué)思維速度加快,排除語言含糊不清,更清晰準(zhǔn)確.⒊在數(shù)學(xué)發(fā)展中質(zhì)的作用，建立新理論符號化在教材中體現(xiàn)

⒈符號化對教師的要求重視符號教學(xué)搞懂教材中數(shù)學(xué)符號含義和實(shí)質(zhì)。⒉常用符號：元素符號，運(yùn)算符號，關(guān)系符號，結(jié)合符號，約定符號。⒊數(shù)學(xué)符號教學(xué)應(yīng)注意：使學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)符號含義和性質(zhì)重視規(guī)范書寫符號化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透

⒈變元思想（）□代替變元符號x，有一定的取值范圍。⒉用字母表示數(shù)的思想：更深刻的發(fā)掘規(guī)律，更準(zhǔn)確簡捷地表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律。字母可以表示任何數(shù)，無窮多個數(shù)。⒊列方程解應(yīng)用題思想：代數(shù)設(shè)想：未知數(shù)與已知數(shù)同時參與計算代數(shù)翻譯：解代數(shù)方程：常用數(shù)學(xué)符號的分類

1.元素符號。（1）阿拉伯?dāng)?shù)字：1、2、3、4、……（2）表示數(shù)的字母：一般是用拉丁字母前面的字母表示已知數(shù)，如a、b、c、……用后面的字母表示未知數(shù)，如x、y、……（3）表示常數(shù)的字母。如π。（4）表示幾何形體的。如線段用AB，表示角用∠，2.運(yùn)算符號。常用的運(yùn)算符號有“+”、“-”、“×”、“÷”。3.關(guān)系符號。表示數(shù)、式、圖形等之間的關(guān)系的符號叫做關(guān)系符號。常用的關(guān)系符號有：“=”等號，“≈”近似等號；不等號“＜”（小于號）、“＞”（大于號）；表示直線、平面之間的平行或垂直關(guān)系的符號有“∥”、“⊥”4.結(jié)合符號。表示某些數(shù)先結(jié)合而后運(yùn)算的。如圓括號（），方括號［］，花括號｛｝，括線——等。5.約定符號。規(guī)定某種符號表示某種特定含義的符號為約定符號。比如“∵”表示因?yàn)?，“∴”表示所以?.性質(zhì)符號。表示數(shù)或形的性質(zhì)的符號叫性質(zhì)符號。比如“+”是正號，“-”是負(fù)號等。符號感的含義