概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)模擬試題一、填空題（兩組選一組）(A)1、已知P(A|B)=0.3,P(B|A)=0.4,P(A|B)=0.7,則

P(A∪B)=______P(A|B)+P(A|B)=0.3+0.7=1故A、B獨(dú)立，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)=P(A|B)=0.3,

P(B)=P(B|A)=0.4,P(AB)=P(A)P(B)=0.12P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.4-0.12=0.580.582、設(shè)X～U[1,3],Y～P(2),且X與Y獨(dú)立,則D(X-Y-3)=______2.3333、一間宿舍內(nèi)住有6個(gè)同學(xué)，求他們之中恰好有4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率為_______。沒有任何人的生日在同一個(gè)月份的概率為_______???4、設(shè)X1,X2,…,X5是總體X~N(0,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)

k=_____時(shí)，(4.412,5.588)5、設(shè)由來自總體X~N(a,0.92)容量為9的樣本，樣本均值X=5，則參數(shù)a的置信度為0.95的置信區(qū)間為____________?故P(AB)=P(A)P(B)=P(AB)=P(A)P(B)因而P(A)=P(B)又P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(A)][1-P(B)]=[1-P(A)]2=1/9P(A)=2/31、設(shè)事件A與B獨(dú)立，A與B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生且B不發(fā)生的概率與B發(fā)生且A不發(fā)生的概率相等，則A發(fā)生的概率為：______

2/3因事件A與B獨(dú)立，所以A與B，A與B，A與B都相互獨(dú)立。(B)2、設(shè)隨機(jī)變量X~B(2，p)、Y~B(1，p)，若P{X≥1}=5/9，則p=_____。若X與Y獨(dú)立，則Z=max(X,Y)的分布律：__________1/3Z0

1

2P8/27

16/273/27；因P{X≥1}=5/9，所以P{X=0}=4/9即(1-p)2=4/9XY01pi.

0

8/27

4/27

4/9

18/274/274/9

22/27

1/271/9

p.j2/3

1/33、袋中有a只白球、b只紅球，大小相同，每次取一球(不放回)，第k(1≤k<a+b)次取到紅球的概率為_________.根據(jù)抽簽原理，不論先抽還是后抽，概率相同，所以理解為第一次抽中紅球，故為4、設(shè)X~N(0，1)，X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本，若Y=X12+X22+…+Xn2，則EY=________，DY=_______n2n5、設(shè)X1，X2，…,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本，已知EX=μ，DX=8，試用切比雪夫不等式估計(jì)P(|X-μ|<4)≥_______1-1/(2n)二、選擇題（兩組選一組）C2、則（）A3、設(shè)隨機(jī)變量，且滿足P(X1X2=0)=1，則P(X1=X2)=()(A)0;(B)1/4;(C)1/2;(D)1A(A)1、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，且P(X≥c)=P(X≤c)，則c=()4、設(shè)X1，X2，…,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本，且X的方差σ2>0，則（）A5、設(shè)總體X~N(μ,σ2),μ為未知參數(shù)，樣本X1,X2,…,Xn的方差為S2，對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)H0：σ≥2，H1：σ<2，水平為α的拒絕域是（）B3、已知隨機(jī)變量X的的密度函數(shù)為fX(x),令Y=5-2X,則Y的概率密度fY(y)為()(B)D2、設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其分布函數(shù)為F(x)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有()CB其中λ>0,則c=()1、4、設(shè)Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，事件A發(fā)生否則i=1,2,…,100，且P(A)=0.8，X1，X2，…,X100相互獨(dú)立，，則由中心極限定理知，Y的分布函數(shù)近似為（）B由中心極限定理知，5、設(shè)隨機(jī)變量X~t(n)(n>1)，Y=1/X2，則()C由于X~t(n)，所以X2~F(1，n)1、設(shè)某人從外地趕來參加緊急會(huì)議，他乘火車、輪船、汽車或飛機(jī)來的概率分別是3/10，1/5，1/10，2/5。如果他乘飛機(jī)來，不會(huì)遲到；而乘火車、輪船或汽車來，遲到的概率分別是1/4，1/3，1/2。現(xiàn)此人遲到，試推斷他乘哪一種交通工具的可能性最大？解：設(shè)A1，A2，A3，A4分別表示乘火車、輪船、汽車和飛機(jī)，其概率分別等于3/10，1/5，1/10和2/5，B表示“遲到”，由概率判斷他乘火車的可能性最大。已知概率

分別等于1/4，1/3，1/2，0三、計(jì)算題1、將A、B、C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為0.8，而輸出為其它一字母的概率都為0.1。今將字母AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為0.5，0.4，0.1。已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的）。解：設(shè)A1,A2,A3分別表示輸入AAAA，BBBB，CCCC的事件，B1表示輸出為ABCA的隨機(jī)事件。則P(A1)=0.5，P(A2)=0.4，P(A3)=0.1P(B1|A1)=0.0064，P(B1|A2)=0.0008，P(B1|A3)=0.0008P(A1|B1)=8/9由貝葉斯公式得：2、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X，Y)的密度函數(shù)為（1）求邊緣密度函數(shù)；（2）判斷X與Y的獨(dú)立性；（3）判斷X與Y是否相關(guān)；（2）由（1）知，X與Y不獨(dú)立。解：（1）由圖可知xy同理（3）cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)同理cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)≠0，故X與Y不相關(guān)xy3、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且同分布于B(1,p)(0<p<1)。令為偶數(shù)為奇數(shù)（1）求Z的分布律；（2）求(X,Z)的聯(lián)合分布律；（3）問p取何值時(shí)X與Z獨(dú)立？為什么？解:（1）(X,Y)的聯(lián)合分布律：

X

Y

0

1

pi.

0

q2

pq

q

1

pq

p2

p

p.j

q

p故Z的分布律P(Z=0)=2pq，P(Z=1)=p2+q2（2）(X,Z)的聯(lián)合分布律：故當(dāng)p=0.5時(shí)，X與Z獨(dú)立。

X

Z010pqq21pqp2

X

Z01

pi.0pqq2

q1pqp2

pp.j

2pqp2+q2（3）X,Z的邊緣分布律為：P(X=0，Z=0)=P(X=0，Y=1)＃3、已知隨機(jī)變量(X，Y)的分布律為問：(1)當(dāng)α,β為何值時(shí)，X和Y相互獨(dú)立。（2）求P(X=2|Y>1)。XY1231

1/3αβ2

1/61/91/18XY123pi.1

1/3α

β1/3+α+β2

1/6

1/9

1/181/3p.j

1/2

1/9+α1/18+β解：(1)由題可知(1/9+α)×1/3=1/9α=2/9β=1/9(1/18+β)×1/3=1/18（2）因X,Y相互獨(dú)立，所以P(X=2|Y>1)=P(X=2)=1/3※3、已知隨機(jī)變量E(XY)=5/8，求P(X+Y≤1).解：由E(XY)=0?p11+0?p12+0?p21+1?p22=5/8,得p22=5/8即P(X=1，Y=1)=5/8故P(X+Y≤1)=1-P(X=1，Y=1)=3/84、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為（1）確定常數(shù)A;(2)求fY|X(y|x);(3)求P(X≤2|Y≤1).解：（1）由歸一化，得：A=2當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)x≤0時(shí)，fY|X(y|x)不存在。(3)P(X≤2|Y≤1)=P(X≤2，Y≤1)/P(Y≤1)故P(X≤2|Y≤1)=1-e-45、已知隨即向量（X,Y)的協(xié)方差矩陣為求(X+Y,X-Y)協(xié)方差矩陣和相關(guān)系數(shù)。解：(X+Y,X-Y)協(xié)方差矩陣為(X+Y,X-Y)相關(guān)系數(shù)為6、設(shè)總體密度函數(shù)為，其中θ>0為未知參

數(shù)，若X1，X2，…,Xn是來自母體的簡(jiǎn)單子樣，試求θ的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。

解：（1）母體的期望為(2)似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為對(duì)上式求導(dǎo)，并令其等于0，得7、根據(jù)環(huán)境保護(hù)條例，在排放的工業(yè)廢水中，某有害物質(zhì)不得超過0.5‰，假定有害物質(zhì)含量X服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在取5份水樣，測(cè)定該有害物質(zhì)含量，得如下數(shù)據(jù)：0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.49