探索性試題的解答要求

1探索性試題的解答要求（2014·泰安市）29．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，4），且與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點(diǎn)（如圖），A點(diǎn)在y軸上，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（﹣3，0）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)M，求MN的最大值；（3）在(2)的條件下,點(diǎn)N在何位置時(shí),BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)．2探索性試題的解答要求3

解答：(3)連接MN、BN，BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即﹣

x2﹣x=

，且(-x+1)2+(x+3)2=

，解得：x=1，

故點(diǎn)N(-1,4)時(shí)，

MN和NC互相垂直平分．

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（2012·泰安市）29.如圖,半徑為2的⊙C與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0).若拋物線

過A、B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在說明理由；

（3）------

5解答：（2）存在．如圖2，作線段OB的垂直平分線l，與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．

∵B（0，

），O（0，0），

∴直線l的表達(dá)式為

．代入拋物線的表達(dá)式

得

，解得

，

∴P（

）．

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（2011·泰安市）26.如圖，一次函數(shù)

的圖像經(jīng)過

兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)

的圖像在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若△OBM的面積為2.

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在

軸上是否存在點(diǎn)P，使AM⊥MP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

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解答：(2)存在.

過點(diǎn)M作MP⊥AM,MD⊥BP分別交x軸于點(diǎn)P,D,

∵M(jìn)D⊥BP,∴∠PMD=∠MBD=∠ABO.

∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2.

∴PD=2MD=8,∴OP=OD+PD=11.

∴在x軸上存在點(diǎn)P，使PM⊥AM，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11,0）.

8（2010·泰安市）25．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，點(diǎn)P、Q分別是AB、AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足BP=AQ，D是BC的中點(diǎn)

（1）求證：△PDQ是等腰直角三角形；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形APDQ是正方形，并說明理由。

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解答：（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APDQ是正方形.

由（1）知△ABD為等腰直角三角形,

當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，DP⊥AB，即∠APD=90°.

又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，

∴四邊形APDQ為矩形.

又∵DP=AP=AB,

∴四邊形APDQ為正方形. .

10（2008·泰安市）26．在等邊ΔABC中，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD，直線l與AB,BC,BD分別相交于點(diǎn)E,F,P,且∠BPF=600

．

（1）如圖1，寫出圖中所有與ΔBPF相似的三角形，并選擇其中一對給予證明；

（2）若直線l向右平移到圖2、圖3的位置時(shí)（其它條件不變），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出來（不證明），若不成立，請說明理由；

（3）探究：如圖1，當(dāng)

滿足什么條件時(shí)（其它條件不變）

？請寫出探究結(jié)果，并說明理由．

11解答：（3）BD平分∠ABC時(shí)，．.

證明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABP=∠PBF=300.

∵

∠BPF=600,∴∠BPF=900.

∴PF=1/2PB,

又------12（2007·泰安市）21．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC

，∠BAD的平分線AE交BC于E，F(xiàn)、G分別是AB、AD的中點(diǎn)．

（1）求證：EF=EG；

（2）當(dāng)AB與AC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，EG∥CD？并說明理由．

13解答：（2）當(dāng)AB=2EC時(shí)，EG∥CD.

∵AB=2EC，∴AD=2EC.

∴GD=1/2AD=EC,

又∵GD∥EC，∴四邊形GECD是平行四邊形.

∴EG∥CD14

（2007·泰安市）25．如圖，在ΔOAB中，∠B=900

，∠BOA=300,OA=4，將ΔOAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至ΔOA’B’，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).

（1）求A’點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求過C,A’,A三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）在(2)中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以O(shè),A,P為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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解答：（3）

①若以點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，由于OC=OA=4，點(diǎn)C在拋物線上，則點(diǎn)C(0,4)為滿足條件的點(diǎn);②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則使ΔPAO為等腰直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為(4,4)或(4,-4)