3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算

對于一個穩(wěn)定的控制系統(tǒng)而言，穩(wěn)態(tài)誤差是反映其控制精度的一種度量，通常又稱為穩(wěn)態(tài)性能。研究表明：穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、輸入信號的形式有很大關(guān)系?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計的任務(wù)之一就是要保證系統(tǒng)在穩(wěn)定的前提下，盡量地減小仍至消除穩(wěn)態(tài)誤差。2/5/20231

一、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差定義⑴誤差的兩種定義：

a.從輸出端定義：等于系統(tǒng)輸出量的實際值與希望值之差。這種方法在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但在實際系統(tǒng)中有時無法測量。因此，一般只具有數(shù)學(xué)意義。

b.從輸入端定義：等于系統(tǒng)的輸入信號與主反饋信號之差?；蛟O(shè)

4.2.1誤差的基本概念2/5/20232若設(shè)

式中——系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。得到

這種方法定義的誤差，在實際系統(tǒng)中是可測量的，故具有一定的物理意義。以后我們均采用從系統(tǒng)輸入端定義的誤差來進(jìn)行計算和分析。誤差本身是時間的函數(shù)，其時域表達(dá)式為：式中：——動態(tài)分量，此分量隨時間增長而消失

——穩(wěn)態(tài)分量。2/5/20233⑵穩(wěn)態(tài)誤差

對穩(wěn)定系統(tǒng)而言，隨著時間趨于無窮，系統(tǒng)的動態(tài)過程結(jié)束，將趨于零。根據(jù)拉氏變換終值定理，穩(wěn)定的非單位反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為由上式可知，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號的形式和開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。當(dāng)輸入信號形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差就取決于以開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。2/5/20234

例:

一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

求：r(t)=1(t)及t時的穩(wěn)態(tài)誤差

解:r(t)=1(t)時,R(s)=1/sr(t)=t時,R(s)=1/s22/5/20235例:設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求當(dāng)輸入信號分別為和時控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差值.解1:2/5/20236解2:此題如果直接用終值定理做，則但實際上正弦函數(shù)的拉氏變換在虛軸上不解析，此式不能用終值定理做，而要：2/5/202372.系統(tǒng)類型上式中K叫系統(tǒng)的開環(huán)增益(也叫系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)).v為開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標(biāo)原點上的極點個數(shù),因1/s是理想積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),所以v也表示了系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中串接的積分環(huán)節(jié)個數(shù).規(guī)定:v=0,叫0型系統(tǒng)；

v=1,叫

1型系統(tǒng)；

v=2,叫2型系統(tǒng),依此類推.

控制系統(tǒng)按積分環(huán)節(jié)數(shù)分類2/5/20238由上式可見,與系統(tǒng)的型號v﹑開環(huán)增益K及輸入信號的形式及大小有關(guān)，由于工程實際上的輸入信號多為階躍信號﹑斜坡信號(即等速度信號)﹑拋物線信號(即等加速度信號)或者為這三種信號的組合,所以下面只討論這三種信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差問題.2/5/20239則3.階躍輸入下的靜態(tài)位置誤差系數(shù)設(shè)定義:因為所以2/5/202310

0型系統(tǒng)對階躍信號的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，大小基本上與開環(huán)放大系數(shù)成反比，越大，越小，但總有誤差，除非為無窮大。所以0型系統(tǒng)又稱為有差系統(tǒng)。為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，在穩(wěn)定條件允許的前提下，可增大開環(huán)放大系數(shù)。2/5/202311設(shè)則4.斜坡輸入下的靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv2/5/202312設(shè)則5.加速度輸入下的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka2/5/202313三種輸入狀態(tài)下的穩(wěn)態(tài)誤差

1.穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號有關(guān)；與開環(huán)增益有關(guān)；與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)有關(guān)。2.減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法：

a、增加開環(huán)放大系數(shù)K；

b、提高系統(tǒng)的型號數(shù);

系統(tǒng)型號

誤差系數(shù)Kp

KvKa

單位階躍輸入

單位速度輸入單位加速度輸入

2/5/202314當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號由位置，速度和加速度分量組成時，即小結(jié)：1.只有穩(wěn)定的系統(tǒng)才有穩(wěn)態(tài)誤差可談，一個系統(tǒng)穩(wěn)定，所有極點除原點可以有極點外(1/s的項，拉氏反變換是一個常數(shù)，不影響穩(wěn)定，此種情況稱為隨遇穩(wěn)定)都在s平面的左半開平面.2.給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與外作用有關(guān)。對同一系統(tǒng)加入不同的輸入，穩(wěn)態(tài)誤差不同。3.與時間常數(shù)形式的開環(huán)增益有關(guān)；對有差系統(tǒng)，K↑，穩(wěn)態(tài)誤差↓，但同時系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性變差。4.與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)有關(guān)。積分環(huán)節(jié)的個數(shù)↑，穩(wěn)態(tài)誤差↓，但同時系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性變差。2/5/202315例1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，當(dāng)輸入信號為單位斜坡函數(shù)時，求系統(tǒng)在斜坡輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；調(diào)整K值能使穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1嗎？-解：只有穩(wěn)定的系統(tǒng)計算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義；所以先判穩(wěn)系統(tǒng)特征方程為由勞斯判據(jù)知穩(wěn)定的條件為：由穩(wěn)定的條件知：不能滿足的要求G2/5/202316例2:單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為及,求時的解:當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)為時系統(tǒng)為1型,對于中的輸入分量的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)所以當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)為時系統(tǒng)為2型,對于中和輸入分量的靜態(tài)位置誤差系數(shù)和靜態(tài)速度誤差系數(shù)均為無窮大,對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差值為0而對于中的輸入分量的靜態(tài)加速度誤差系數(shù),所以注意：開環(huán)傳函要化成：的形式2/5/2023176、擾動輸入作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差通常，給定輸入作用產(chǎn)生的誤差為系統(tǒng)的給定誤差(E=R-HC)，擾動作用產(chǎn)生的誤差為擾動誤差。認(rèn)為擾動輸入時系統(tǒng)的理想輸出為零，故從輸出端的誤差信號為：-+2/5/202318小結(jié)：穩(wěn)態(tài)誤差的計算-+-①給定作用下的誤差傳遞函數(shù)2/5/202319②擾動作用下的偏差傳遞函數(shù)③給定和擾動同時作用下的偏差表達(dá)式++2/5/202320④對穩(wěn)定的系統(tǒng)，可利用拉氏變換的終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，才可計算穩(wěn)態(tài)誤差。2/5/202321例1：如下系統(tǒng)，求r(t)=t及n(t)=－1(t)時的ess解：(1)控制信號作用（令N(s)=0）改錯：應(yīng)該是essr2/5/202322(2)擾動信號作用（令R(s)＝0）系統(tǒng)總誤差：2/5/202323例3-13設(shè)系統(tǒng)如下圖所示,系統(tǒng)為1型系統(tǒng),當(dāng)時,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零,但當(dāng)時,由得由上面計算可見,系統(tǒng)雖為1型,但在階躍干擾信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差并不為零.為克服干擾對控制精度的影響,可增大K1的值.此外，單靠調(diào)整系統(tǒng)本身的參數(shù)不能同時滿足各項性能的要求.改進(jìn)的方法是須對系統(tǒng)增加一些裝置。2/5/2023247.減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施（1）增大系統(tǒng)開環(huán)增益可減少系統(tǒng)對輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差；增大擾動點之前系統(tǒng)的前向通道增益可減少系統(tǒng)對階躍擾動的穩(wěn)態(tài)誤差。2/5/202325-+a.H中不含s分量。設(shè)則系統(tǒng)對輸入信號的誤差傳遞函數(shù)為：式中v=v1+v2（2）在系統(tǒng)的前向通道或主反饋通道加串聯(lián)積分環(huán)節(jié)2/5/202326因為n=1,2,3，分別為位移、速度和加速度輸入R(S)分母中的s與分子的s相消后再與分子中的s相消，如分子上還有s，則穩(wěn)態(tài)誤差一定為零。2/5/202327因此下面結(jié)論成立：1）傳遞函數(shù)分子中零點的個數(shù)v正好就是系統(tǒng)前向通道中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，也就是系統(tǒng)的型別。2）如果系統(tǒng)輸入信號為只要在前向通道中設(shè)置(2+1=)3個積分環(huán)節(jié)即可（輸入信號的最高次項+1）2/5/202328b.H中含有積分環(huán)節(jié)，前向通道情況與上同，則系統(tǒng)對擾動作用的誤差傳函為：式中v=v1+v2+v3因此下面結(jié)論成立：1）擾動作用點之前的前向通道積分環(huán)節(jié)數(shù)v1與主反饋通道積分環(huán)節(jié)數(shù)v3之和(v1+v3)正好就是系統(tǒng)對擾動作用的型別，與擾動作用點之后前向通道積分環(huán)節(jié)個數(shù)無關(guān)。2）如果系統(tǒng)擾動輸入信號為只要在擾動點作用前的前向通道中或是主反饋通道中設(shè)置(2+1=)3個積分環(huán)節(jié)即可（擾動輸入信號的最高次項+1）2/5/202329

[例1]：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。當(dāng)時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；若要求穩(wěn)態(tài)誤差為零，如何改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。解：該系統(tǒng)對給定輸入而言屬于Ⅰ型系統(tǒng)。所以當(dāng)給定輸入為單位階躍函數(shù)時的穩(wěn)態(tài)誤差但該系統(tǒng)所以對于擾動輸入為單位階躍函數(shù)時的穩(wěn)態(tài)誤差并不等于零。根據(jù)前面的分析知，穩(wěn)態(tài)誤差與G1中的增益和積分環(huán)節(jié)的個數(shù)有關(guān)。此時因G1無積分環(huán)節(jié)，所以-+也可這樣求2/5/202330若想使穩(wěn)態(tài)誤差為零，則要求G1中有積分環(huán)節(jié)，令此時-+但此時系統(tǒng)的穩(wěn)定性遭到破壞，可能成為不穩(wěn)定系統(tǒng)。若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，還必須在原G1中引入比例+微分環(huán)節(jié)-+當(dāng)K1>0，K2>0，τ>0時系統(tǒng)穩(wěn)定2/5/202331為了減少給定誤差，可以增加前向通道上的積分環(huán)節(jié)個數(shù)或增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。為了減小擾動誤差，可以增加偏差點到擾動作用點之間積分環(huán)節(jié)個數(shù)或放大系數(shù)，或者增加主反饋回路積分環(huán)節(jié)。放大系數(shù)不能任意放大，積分環(huán)節(jié)也不能太多（一般2個），否則系統(tǒng)將會不穩(wěn)定。七、減