第9章

力學(xué)量本征值問題的代數(shù)解法引言量子體系的能量本征值問題，習(xí)慣采用分析解法，即在一定的邊條件下，求解坐標(biāo)表象中的微分方程.這個(gè)方法的好處是，常見勢(shì)場在坐標(biāo)表象中有簡單和直觀的表達(dá)式.歷史上，諧振子和氫原子，很早就用代數(shù)方法求出了能量本征值.下面9.1節(jié)給出諧振子能量本征值的一種代數(shù)解法，9.2節(jié)講述角動(dòng)量的代數(shù)表示，9.3節(jié)討論兩個(gè)角動(dòng)量合成的本征值和本征態(tài)為問題.

9.1

諧振子Schr?dinger因式分解法一維諧振子的哈密頓量為在自然單位制下為而基本對(duì)易式為（1）（2）（3）它們的對(duì)易式是定義兩個(gè)算符（4）（5）反變換是(6)利用式（6）和（5），可將哈密頓量表示為(7)其中(8)在任何量子態(tài)下(9)所以為正定厄米算符.下面證明它的本征值是整數(shù)(11)因此，諧振子的能量本征值是(10)證明：設(shè)為的本征態(tài)利用式（5）和（8），易得（12）但因此（13）由此可得（14）這說明也是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為如此類推，逐次用運(yùn)算，可得到的一系列本征態(tài)相應(yīng)的本征值依次為考慮到為正定厄米算子，其本征值必為非負(fù)實(shí)數(shù).設(shè)它的最小本征值為，本征態(tài)為，則（15）因此（16）這個(gè)態(tài)是諧振子的最低能態(tài)，記為利用式（13）的前一式，可證明（17）這說明也是的本證態(tài)，本征值是聯(lián)合式（16）與(17)，從基態(tài)出發(fā)，逐次用運(yùn)算，可得到的全部本征態(tài)：本征值為本征值為（18）所以，稱為升算符，而稱為降算符.利用歸納法可以證明，的歸一化本征態(tài)可表為（20）滿足（19）（21）利用式（19），可以證明（22）再借助于式（6），可求出和的矩陣元（加上單位）（23）下面討論能量本征態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示式.先考慮基態(tài)，它滿足即（24）在坐標(biāo)表象中基態(tài)波函數(shù)滿足（25）解出得添上自然單位，可得到坐標(biāo)表象中的歸一化基態(tài)波函數(shù)（26）坐標(biāo)表象中的激發(fā)態(tài)波函數(shù)可表示為（27）添上長度自然單位，升算符為所以（28）9.2

角動(dòng)量的本征值和本征態(tài)

在3.3.2節(jié)中，討論了軌道角動(dòng)量的性質(zhì).在第8章中講述了自旋以及自旋與軌道角動(dòng)量耦合成的總角動(dòng)量.

本節(jié)將更一般地討論角動(dòng)量的本征和本征態(tài)問題.假設(shè)算符滿足下列對(duì)易式：（1）則以作為三個(gè)分量的矢量算符，稱為角動(dòng)量算符.

以下根據(jù)式（1）和角動(dòng)量算符的厄米性來求出角動(dòng)量的本征值和本征態(tài).定義（2）容易證明（3）角動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系式還有以下表示，首先定義（4）其逆表示式為（5）那么就有（6）（7）（8）（9）由于和對(duì)易，可以求它們的共同本征態(tài)（10）以下分幾步進(jìn)行.對(duì)對(duì)易式取矩陣元計(jì)算得到即矩陣元對(duì)于總角動(dòng)量是對(duì)角的（11）（a）（b）對(duì)對(duì)易式取矩陣元得到利用式（10），計(jì)算得到所以（12）（c）對(duì)對(duì)易式取對(duì)角矩陣元由矩陣元選擇規(guī)則（12），只有以下矩陣元有貢獻(xiàn)：得到再利用，可知令（13）可得上式化為此式有解由此可見磁量子數(shù)有上界和下界，滿足（14）由此得到所以計(jì)算得到只相差整數(shù)，上界和下界也相差整數(shù)由于相鄰所以（15）而（16）（d）求的本征值.按式（8），有等式兩邊取平均值（17）利用式（10）和（12），得再利用式（16），可求出這樣角動(dòng)量本征態(tài)寫為(19)（18）按上面分析所以（d）(21)(22)的矩陣元.利用式（11）、（13）和（16），可得出其中是任意正實(shí)數(shù)，習(xí)慣上取為零，這時(shí)矩陣元為實(shí)數(shù)(20)再利用式（5）可求出及的矩陣元如下：（23）9.3兩個(gè)角動(dòng)量的耦合，CG系數(shù)

在第8章中討論過自旋與軌道角動(dòng)量的耦合，以及兩個(gè)電子的自旋耦合.下面普遍討論兩個(gè)角動(dòng)量的耦合.

設(shè)與分別表示第一和第二粒子的角動(dòng)量，即（1）由于它們分別對(duì)不同的粒子的態(tài)矢運(yùn)算，彼此是對(duì)易的（2）定義兩個(gè)角動(dòng)量之和（3）利用對(duì)易式（1）和（2），不難證明（4）或表示成設(shè)的共同本征態(tài)為（5a）類似，的共同本征態(tài)為（5b）對(duì)于兩個(gè)粒子組成的體系，它的任何一個(gè)角動(dòng)量態(tài)可以用展開.換言之，可作為體系的對(duì)易力學(xué)量完全集，是它們的共同本征態(tài)，以之為基矢的表象，稱為非耦合表象.在給定和的情況下，（6）所以共有個(gè)，即它們張開維子空間.考慮到（7）也是兩粒子體系的一組對(duì)易力學(xué)量完全集，共同本征態(tài)記為，以其為基矢的表象稱為耦合表象，即（8）在給定和的子空間中，耦合表象基矢可以簡記為試問可以取哪些值？耦合表象和非耦合表象基矢之間的關(guān)系如何？令（9）

展開系數(shù)稱為Clebsch-Gordan(CG)系數(shù)，即子空間中耦合表象和非耦合表象基矢之間幺正變換矩陣的矩陣元.考慮到，對(duì)式（9）運(yùn)算，得（10）即

在自旋表象子空間中，非耦合表象基矢是彼此獨(dú)立的（完備的）正交歸一矢，式（10）右邊的所有系數(shù)必須為零，即

（11）所以，式（9）可改寫為（12）

我們知道，任何表象的基矢都有相位不確定性，但如取適當(dāng)?shù)南辔灰?guī)定，就可以使CG系數(shù)為實(shí)數(shù).在此情況下，用式（12）代入正交歸一性關(guān)系對(duì)于給出即（13）習(xí)慣上取CG系數(shù)為實(shí)，因此式（9）之逆可表示為（14）代入正交歸一性關(guān)系得對(duì),得（15）式（13）和（15）就是CG系數(shù)幺正性和實(shí)數(shù)性的反映.的取值范圍.給定和即，所以按角動(dòng)量性質(zhì)，可知試問，還可以取哪些值？最小值取多少？和的態(tài)空間，維數(shù)是而在表象變換時(shí)，空間的維數(shù)是不變的.對(duì)于一個(gè)值，有個(gè)可能取值.因此，從維數(shù)不變的要求，有（16）左邊求和得（17）我們注意到，對(duì)于給定的因此，如，如總之，所以取值范圍如下：（18）此結(jié)果可概括為三角形法則

按式（11）和（18），概括起來，CG系數(shù)有下列兩個(gè)基本性質(zhì)：（a）僅當(dāng)時(shí)，才不等于零.（b）僅當(dāng)時(shí)，才不等于零.（19）

應(yīng)當(dāng)提到，角動(dòng)量非耦合表象和耦合表象之間的幺正變換有一個(gè)相位不定性，通常采用的相位規(guī)定是：讓（a）CG系數(shù)為實(shí)；（b）為非負(fù)實(shí)數(shù).（20）Racah利用代數(shù)方法推導(dǎo)出了CG系數(shù)的普遍公式（21）

求和中，整數(shù)應(yīng)取