第9章

力學(xué)量本征值問題的代數(shù)解法引言量子體系的能量本征值問題，習(xí)慣采用分析解法，即在一定的邊條件下，求解坐標(biāo)表象中的微分方程.這個方法的好處是，常見勢場在坐標(biāo)表象中有簡單和直觀的表達(dá)式.歷史上，諧振子和氫原子，很早就用代數(shù)方法求出了能量本征值.下面9.1節(jié)給出諧振子能量本征值的一種代數(shù)解法，9.2節(jié)講述角動量的代數(shù)表示，9.3節(jié)討論兩個角動量合成的本征值和本征態(tài)為問題.

9.1

諧振子Schr?dinger因式分解法一維諧振子的哈密頓量為在自然單位制下為而基本對易式為（1）（2）（3）它們的對易式是定義兩個算符（4）（5）反變換是(6)利用式（6）和（5），可將哈密頓量表示為(7)其中(8)在任何量子態(tài)下(9)所以為正定厄米算符.下面證明它的本征值是整數(shù)(11)因此，諧振子的能量本征值是(10)證明：設(shè)為的本征態(tài)利用式（5）和（8），易得（12）但因此（13）由此可得（14）這說明也是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為如此類推，逐次用運(yùn)算，可得到的一系列本征態(tài)相應(yīng)的本征值依次為考慮到為正定厄米算子，其本征值必為非負(fù)實(shí)數(shù).設(shè)它的最小本征值為，本征態(tài)為，則（15）因此（16）這個態(tài)是諧振子的最低能態(tài)，記為利用式（13）的前一式，可證明（17）這說明也是的本證態(tài)，本征值是聯(lián)合式（16）與(17)，從基態(tài)出發(fā)，逐次用運(yùn)算，可得到的全部本征態(tài)：本征值為本征值為（18）所以，稱為升算符，而稱為降算符.利用歸納法可以證明，的歸一化本征態(tài)可表為（20）滿足（19）（21）利用式（19），可以證明（22）再借助于式（6），可求出和的矩陣元（加上單位）（23）下面討論能量本征態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示式.先考慮基態(tài)，它滿足即（24）在坐標(biāo)表象中基態(tài)波函數(shù)滿足（25）解出得添上自然單位，可得到坐標(biāo)表象中的歸一化基態(tài)波函數(shù)（26）坐標(biāo)表象中的激發(fā)態(tài)波函數(shù)可表示為（27）添上長度自然單位，升算符為所以（28）9.2

角動量的本征值和本征態(tài)

在3.3.2節(jié)中，討論了軌道角動量的性質(zhì).在第8章中講述了自旋以及自旋與軌道角動量耦合成的總角動量.

本節(jié)將更一般地討論角動量的本征和本征態(tài)問題.假設(shè)算符滿足下列對易式：（1）則以作為三個分量的矢量算符，稱為角動量算符.

以下根據(jù)式（1）和角動量算符的厄米性來求出角動量的本征值和本征態(tài).定義（2）容易證明（3）角動量的對易關(guān)系式還有以下表示，首先定義（4）其逆表示式為（5）那么就有（6）（7）（8）（9）由于和對易，可以求它們的共同本征態(tài)（10）以下分幾步進(jìn)行.對對易式取矩陣元計(jì)算得到即矩陣元對于總角動量是對角的（11）（a）（b）對對易式取矩陣元得到利用式（10），計(jì)算得到所以（12）（c）對對易式取對角矩陣元由矩陣元選擇規(guī)則（12），只有以下矩陣元有貢獻(xiàn)：得到再利用，可知令（13）可得上式化為此式有解由此可見磁量子數(shù)有上界和下界，滿足（14）由此得到所以計(jì)算得到只相差整數(shù)，上界和下界也相差整數(shù)由于相鄰所以（15）而（16）（d）求的本征值.按式（8），有等式兩邊取平均值（17）利用式（10）和（12），得再利用式（16），可求出這樣角動量本征態(tài)寫為(19)（18）按上面分析所以（d）(21)(22)的矩陣元.利用式（11）、（13）和（16），可得出其中是任意正實(shí)數(shù)，習(xí)慣上取為零，這時(shí)矩陣元為實(shí)數(shù)(20)再利用式（5）可求出及的矩陣元如下：（23）9.3兩個角動量的耦合，CG系數(shù)

在第8章中討論過自旋與軌道角動量的耦合，以及兩個電子的自旋耦合.下面普遍討論兩個角動量的耦合.

設(shè)與分別表示第一和第二粒子的角動量，即（1）由于它們分別對不同的粒子的態(tài)矢運(yùn)算，彼此是對易的（2）定義兩個角動量之和（3）利用對易式（1）和（2），不難證明（4）或表示成設(shè)的共同本征態(tài)為（5a）類似，的共同本征態(tài)為（5b）對于兩個粒子組成的體系，它的任何一個角動量態(tài)可以用展開.換言之，可作為體系的對易力學(xué)量完全集，是它們的共同本征態(tài)，以之為基矢的表象，稱為非耦合表象.在給定和的情況下，（6）所以共有個，即它們張開維子空間.考慮到（7）也是兩粒子體系的一組對易力學(xué)量完全集，共同本征態(tài)記為，以其為基矢的表象稱為耦合表象，即（8）在給定和的子空間中，耦合表象基矢可以簡記為試問可以取哪些值？耦合表象和非耦合表象基矢之間的關(guān)系如何？令（9）

展開系數(shù)稱為Clebsch-Gordan(CG)系數(shù)，即子空間中耦合表象和非耦合表象基矢之間幺正變換矩陣的矩陣元.考慮到，對式（9）運(yùn)算，得（10）即

在自旋表象子空間中，非耦合表象基矢是彼此獨(dú)立的（完備的）正交歸一矢，式（10）右邊的所有系數(shù)必須為零，即

（11）所以，式（9）可改寫為（12）

我們知道，任何表象的基矢都有相位不確定性，但如取適當(dāng)?shù)南辔灰?guī)定，就可以使CG系數(shù)為實(shí)數(shù).在此情況下，用式（12）代入正交歸一性關(guān)系對于給出即（13）習(xí)慣上取CG系數(shù)為實(shí)，因此式（9）之逆可表示為（14）代入正交歸一性關(guān)系得對,得（15）式（13）和（15）就是CG系數(shù)幺正性和實(shí)數(shù)性的反映.的取值范圍.給定和即，所以按角動量性質(zhì)，可知試問，還可以取哪些值？最小值取多少？和的態(tài)空間，維數(shù)是而在表象變換時(shí)，空間的維數(shù)是不變的.對于一個值，有個可能取值.因此，從維數(shù)不變的要求，有（16）左邊求和得（17）我們注意到，對于給定的因此，如，如總之，所以取值范圍如下：（18）此結(jié)果可概括為三角形法則

按式（11）和（18），概括起來，CG系數(shù)有下列兩個基本性質(zhì)：（a）僅當(dāng)時(shí)，才不等于零.（b）僅當(dāng)時(shí)，才不等于零.（19）

應(yīng)當(dāng)提到，角動量非耦合表象和耦合表象之間的幺正變換有一個相位不定性，通常采用的相位規(guī)定是：讓（a）CG系數(shù)為實(shí)；（b）為非負(fù)實(shí)數(shù).（20）Racah利用代數(shù)方法推導(dǎo)出了CG系數(shù)的普遍公式（21）

求和中，整數(shù)應(yīng)取