第十一章全等三角形【知識(shí)要點(diǎn)】1.全等圖形的有關(guān)概念（1）全等圖形的定義能夠完全重合的兩個(gè)圖形就是全等圖形。例如：圖13-1和圖13-2就是全等圖形（2）全等多邊形的定義兩個(gè)多邊形是全等圖形，則稱為全等多邊形。例如：圖13-3和圖13-4中的兩對(duì)多邊形就是全等多邊形。（3）全等多邊形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊兩個(gè)全等的多邊形，經(jīng)過運(yùn)動(dòng)而重合，相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。（4）全等多邊形的表示例如：圖13-5中的兩個(gè)五邊形是全等的，記作五邊形ABCDE≌五邊形A’B’C’D’E’（這里符號(hào)“≌”表示全等，讀作“全等于”）。表示圖形的全等時(shí)，要把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)的位置。（5）全等多邊形的性質(zhì)全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等。（6）全等多邊形的識(shí)別多邊形相等、對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)多邊形全等。例1：（1）已知一個(gè)三角形有兩邊的長分別為2cm，13cm，又知這個(gè)三角形的周長為偶數(shù)，求第三邊長。（2）在△ABC中，已知∠A+∠C=2∠B,∠C-∠A=80°，求∠C。解：（1）設(shè)第三邊為xcm，則即周長的范圍是即又L為偶數(shù)即第三邊長為13cm（2）又由得例2：已知，在△ABC中，AD是角平分線，，，于E，求：和[考點(diǎn)透視]考察三角形內(nèi)角和定理及推論、角平分線、高線的性質(zhì)[參考答案]解：由三角形內(nèi)角和定理，得又AD平分（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）在中（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）考點(diǎn)1一般三角形全等的判定判定1：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（簡稱“邊邊邊”或“SSS”）例1:如圖，AB=AD，DC=BC，∠B與∠D相等嗎？為什么？ 練習(xí)：如圖：已知AB=DC，AD=BC。求證：∠A=∠C課堂練習(xí)：1、已知：如圖，AD＝BC．AC＝BD．試證明：∠CAD＝∠DBC.2、如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，，，求證：（1）△ABC≌△DEF（2）3、如圖，與交于點(diǎn)，，、是上兩點(diǎn)，且，．求證：⑴；⑵培優(yōu)：如圖，已知AC，BD相交于O，且AB=DC，AC=DB，證明：△ABO≌△DOC判定2：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（簡稱“邊角邊”或“SAS”）（注：“角”必須是“兩邊的夾角”）例2、已知EF是AB上的兩點(diǎn)，AE=BF，AC∥BD，且AC=DB，求證：CF=DE．課堂練習(xí)：1、已知：如圖AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE求證：（1）△ABD≌△ACE（2）BD=CE（3）∠B=∠C2、已知CE=CB，△ABC≌△DEC；3、如圖，和都是等邊三角形，連接、交于.求證：⑴⑵4、如圖，平行四邊形ABCD中，E是CA延長線上的點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長線上的點(diǎn)，且AE=CF，說明：∠E=∠F培優(yōu)：如圖，是中邊的中點(diǎn)，，且.求證：△AEB≌△AEC判定3：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（簡稱“角邊角”或“ASA”）（注：“邊”必須是“兩角的夾邊”）例1：已知：點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE和CD相交于點(diǎn)O，AB=AC，∠B=∠C。求證：（1）△ABE≌△ACD（2）BD=CE課堂練習(xí)：1、2、如圖，在中，，。為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，，連接和。求證：。判定4:兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;（簡稱“角角邊”或“AAS”）例1.求證：(1)△AMC≌△BMD；(2)課堂練習(xí)：1、已知：如圖，∠A=∠DCF，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)．求證：（1）△AEF≌△CDF．（2）AE=DC3、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BD，F(xiàn)C⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）寫出圖中所有的全等三角形；（2）選擇（1）中的任意一對(duì)全等三角形進(jìn)行證明．培優(yōu)：如圖，，，.求證：△ABM≌△ADN．考點(diǎn)2：特殊三角形全等的判定（直角三角形）判定5:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡稱“斜邊”“直角邊”或“HL”）（注：只需知道兩個(gè)條件：斜邊和一條直角邊）注意：直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，還有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.課堂練習(xí)：1、如圖，在△ABC中，已知D是BC中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，DE＝DF.求證：AB=AC2、已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能說明BE與DF相等嗎？3、如圖所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，垂足為F，DB=DC，求證：BE=CF4.如圖，，，于，于.求證：5、已知：如圖，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，且BD=CD，求證：（1）△BDE≌△CDF（2