環(huán)境系統(tǒng)分析PPT第2講1.1數(shù)學模型的定義定義:根據(jù)觀察到的現(xiàn)象，歸結(jié)成一套反映其數(shù)量關(guān)系的數(shù)學關(guān)系式與算法，用以描述對象的運動規(guī)律，這套公式和算法稱為數(shù)學模型。廣義的數(shù)學模型既包括由數(shù)學符號組成的數(shù)學公式，也包括用框圖或文字表達的計算方法和計算過程。特征：抽象性和局限性2009.9.15.1.2數(shù)學模型的優(yōu)點1、由于抽象性，其可以進行多變量模擬；2、參數(shù)可變，結(jié)構(gòu)可調(diào)，有利于控制優(yōu)化條件；3、較實物模型或物理模型具有速度快，費用低的特點；4、具備更多的模型不確定性的分析功能。2009.9.15.1.3數(shù)學模型與實際偏離的原因1、環(huán)境系統(tǒng)是一個開發(fā)性的復(fù)雜系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)和參數(shù)均存在一定的不確定性；2、模型結(jié)構(gòu)與實際系統(tǒng)的差異；3、模型參數(shù)不一定能反映實際系統(tǒng)運動過程中變量的特征；2009.9.15.2.1.4模型的分類模型抽象模型具體模型數(shù)學模型:方程式,函數(shù),邏輯式圖象模型:流程圖,方向圖,框圖；計算機程序模型:計算程序,模擬程序?qū)嵨锬Ｐ?(實物放大縮小，如建筑模型，風洞實驗?zāi)Ｐ?模擬模型:電模擬模型2009.9.15.2.2.1對模型的基本要求1、什么是白箱、灰箱和黑箱。建立數(shù)學模型的信息通常來自兩個方面：A、對客觀系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和運動規(guī)律的認識；B、對系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的觀察。利用A類信息建立模型的方法稱為演繹法，通過演繹法建立的模型稱為機理模型，亦稱為白箱模型；利用B類信息建立的模型的方法稱為歸納法，通過歸納法建立的模型稱為經(jīng)驗?zāi)Ｐ突蛘呓y(tǒng)計模型，也稱黑箱模型?；蚁淠Ｐ蛣t是介于上述兩者之間，通過邏輯推理方法建立其模型結(jié)構(gòu)，然后用輸入輸出數(shù)據(jù)確定模型中的參數(shù)。2009.9.15.2.2.1對模型的基本要求基本要求：1、依據(jù)充分；2、足夠的精確度；3、可操作、實用，存在可控變量。2009.9.15.2.2.2數(shù)學模型的建立過程觀測數(shù)據(jù)組Ⅰ模型結(jié)構(gòu)選擇模型應(yīng)用觀測數(shù)據(jù)組Ⅱ參數(shù)估計檢驗與驗證2009.9.15.例十二胺降解實驗數(shù)據(jù)曲線擬合十二胺降解實驗數(shù)據(jù)如表所示，使用Excel工作表進行曲線擬合。

十二胺降解實驗數(shù)據(jù)解：在趨勢線命令中分別選擇模型結(jié)構(gòu)形式為線性和指數(shù)模型，擬合結(jié)果如圖所示。指數(shù)模型又分別指定和不指定是否必須通過初始濃度2.3mg/L。注意在圖中有個選項頁，如果需要在圖中顯示出模型的表達式、R2

，或者需要限制趨勢線必須通過初始濃度標記的函數(shù)點，均在選項頁進行操作。2009.9.15.例十二胺降解實驗數(shù)據(jù)曲線擬合從獲得的三個數(shù)學模型來看，指數(shù)模型與實驗數(shù)據(jù)擬合的相關(guān)系數(shù)高達98.6%（R2=0.9726）,應(yīng)是較好的選擇。2009.9.15.2.3.1主要參數(shù)估值方法一、基于回歸擬合的方法1、圖解法2、一元線性回歸3、多元線性回歸二、基于試驗或經(jīng)驗的方法1、試驗法2、經(jīng)驗公式法2009.9.15.2.3.1主要參數(shù)估值方法三、基于搜索的方法1、網(wǎng)格法2、最優(yōu)化方法3、隨機采樣法（基于貝葉斯理論的不確定性參數(shù)識別，1、RSA方法2、GLUE法）2009.9.15.最優(yōu)化方法1、給定模型2、目標函數(shù)定義為：3、目標函數(shù)初值2009.9.15.最優(yōu)化方法4、計算步驟2009.9.15.最優(yōu)化方法4、具體計算步驟1、設(shè)定參數(shù)初值和允許迭代誤差2、計算目標函數(shù)初值3、計算目標函數(shù)對參數(shù)的梯度（數(shù)值導(dǎo)數(shù)）4、計算參數(shù)的修正步長5、計算參數(shù)的修正值6、計算新的目標函數(shù)值7、比較新舊目標函數(shù)值，如果不合要求繼續(xù)迭代，至獲得滿意結(jié)果。2009.9.15.最優(yōu)化方法4、具體計算步驟3、計算目標函數(shù)對參數(shù)的梯度（數(shù)值導(dǎo)數(shù)）4、計算參數(shù)的修正步長2009.9.15.最優(yōu)化方法4、具體計算步驟5、計算參數(shù)的修正值2009.9.15.最優(yōu)化方法4、具體計算步驟6、計算新的目標函數(shù)值7、比較新舊目標函數(shù)值，如果不合要求繼續(xù)迭代，至獲得滿意結(jié)果。2009.9.15.2.3.2用最優(yōu)化方法進行復(fù)雜模型的參數(shù)估值使用Excel電子表格，對于因變量y相應(yīng)于自變量X（可以是包含多個元素的向量）的試驗或觀測數(shù)據(jù)，由經(jīng)驗給定參數(shù)的初值開始，計算計算值與觀測值之間的誤差，用最優(yōu)化方法進行參數(shù)估值，使該參數(shù)取值條件下誤差的平方和最小。

已知河流平均流速為4.0km／h，飽和溶解氧(DO)為lO.Omg／L，河流起點的BOD(L0)濃度為20mg／L，沿程的溶解氧(ＤＯ)的測定數(shù)據(jù)如下：2009.9.15.在“工具”菜單中，單擊“數(shù)據(jù)分析”命令。如果“數(shù)據(jù)分析”命令沒有出現(xiàn)在“工具”菜單中，則需要通過加載宏安裝“分析工具庫”，與此同時也將“規(guī)劃求解”安裝備用。

2009.9.15.數(shù)據(jù)輸入2009.9.15.2009.9.15.2.4模型的檢驗與誤差分析一、圖形表示法a.結(jié)果直觀b.不易比較（定量）2009.9.15.2.4模型的檢驗與誤差分析二、相關(guān)系數(shù)法a.結(jié)果直觀b.適用線性程度較高的模型2009.9.15.2.4模型的檢驗與誤差分析三、相對誤差法相對誤差中值誤差概率中值誤差絕對2009.9.15.2.5模型靈敏度分析一、靈敏度分析的意義由于環(huán)境保護系統(tǒng)是一個開放的系統(tǒng),運用數(shù)學模型進行模擬時,模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)都會存在偏差.通過對模型靈敏度分析，可以計算模型計算結(jié)果的偏差，又有利于根據(jù)需要探討建立高靈敏度模型或是低靈敏度模型。X狀態(tài)變量組成的向量，如大氣中二氧化硫濃度；u為決策變量組成的向量，如排放的BOD等；θ為模型參數(shù)變量組成的向量，如大氣復(fù)氧系數(shù)ka等。目標函數(shù)約束條件2009.9.15.2.5模型靈敏度分析一、靈敏度分析的意義在環(huán)境保護系統(tǒng)中，主要研究兩種靈敏度：1、狀態(tài)與目標對參數(shù)的靈敏度，即研究參數(shù)的變化對狀態(tài)變量和目標值產(chǎn)生的影響；2、目標對狀態(tài)的靈敏度，即研究由于狀態(tài)變量的變化對目標值的影響。2009.9.15.2.5模型靈敏度分析一、狀態(tài)與目標對參數(shù)的靈敏度定義：在θ＝θ0附近，狀態(tài)變量x（或目標Z）對于原值x*或者Z*的變化率和參數(shù)θ相對于θ0的變化率的比值稱為狀態(tài)變量（或目標）對參數(shù)的靈敏度。1、單變量時的靈敏度2009.9.15.2.5模型靈敏度分析一、狀態(tài)與目標對參數(shù)的靈敏度

1、單變量時的靈敏度狀態(tài)對參數(shù)的靈敏度

目標對參數(shù)的靈敏度2009.9.15.2.5模型靈敏度分析一、狀態(tài)與目標對參數(shù)的靈敏度

1、單變量時的靈敏度當時，可以忽略高階微分項，得：和分別是狀態(tài)變量和目標函數(shù)對參數(shù)的一階靈敏度系數(shù)。2009.9.15.2.5模型靈敏度分析一、狀態(tài)與目標對參數(shù)的靈敏度

1、單變量時的靈敏度案例2009.9.15.1、單變量時的靈敏度案例2009.9.15.2、多變量時的靈敏度

2009.9.15.2、多變量時的靈敏度

2009.9.15.三、目標對約束的靈敏度2009.9.15.三、目標對約束的靈敏度2009.9.15.三、目標對約束的靈敏度2009.9.15.三、目標對約束的靈敏度案例2009.9.15.三、目標對約束的靈敏度案例解答2009.9.15.練習已知污水處理費用函數(shù)為C＝260×Q0.78（元），式中Q為污水的處理規(guī)模（m3/d），若已知污水量的估計偏差在±6％，求費用估計的偏差。

2009.9.15.解答2009.9.15.2.6模型的不確定分析不確定性分析，通俗而言就是誤差分析；分析由于系統(tǒng)外部輸入的不確定性和環(huán)境機理認識的不確定性導(dǎo)致的模型結(jié)構(gòu)不確定性、參數(shù)識別不確定性和預(yù)測未來的不確定性。不確定性的分