2.3.1全稱量詞命題與存在量詞命題課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.理解全稱量詞與存在量詞的意義.2.會(huì)判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會(huì)判斷它的真假.用全稱量詞、存在量詞梳理、表達(dá)學(xué)過(guò)的相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng).新知探究有下列幾個(gè)命題：①有些集合沒(méi)有子集；②所有三角形都有外接圓；③有些四邊形有內(nèi)切圓.問(wèn)題在這些命題中有一些短語(yǔ)“有些，所有的”在邏輯中如何定義？提示短語(yǔ)“所有的，全部，任一個(gè)”等在邏輯中通常叫做全稱量詞.而“有些”“有一個(gè)”“有的”是存在量詞.1.全稱量詞和全稱量詞命題(1)“所有”“任意”“每一個(gè)”等表示______的詞在邏輯學(xué)中稱為全稱量詞，常用符號(hào)“?x”表示“對(duì)任意x”.(2)含有______量詞的命題稱為全稱量詞命題，它的一般形式可表示為：____________________.全體全稱?x∈M，p(x)2.存在量詞和存在量詞命題(1)“存在”“有的”“有一個(gè)”等表示____________的詞在邏輯學(xué)中稱為存在量詞，常用符號(hào)“?x”表示“________”.(2)含有存在量詞的命題稱為_(kāi)_____________，它的一般形式可表示為：________________.部分或個(gè)體存在x存在量詞命題?x∈M，p(x)基礎(chǔ)自測(cè)[判斷題]1.存在量詞命題“?x∈R，x2＜0”是真命題.(

)2.“三角形內(nèi)角和是180°”是全稱量詞命題.(

)3.“?x∈R，x2＋1≥1”是真命題.(

)4.“對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x，x2也是無(wú)理數(shù)”是真命題.(

)√√√×[基礎(chǔ)訓(xùn)練]用符號(hào)“?”或“?”表示下列命題：(1)存在一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；(2)有些整數(shù)既能被2整除，又能被3整除；(3)所有的梯形都不是平行四邊形；(4)任意x∈R，都有－x2＋2x－4<0.解(1)?(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.(2)?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.(3)?x∈{x|x是梯形}，x不是平行四邊形.(4)?x∈R，－x2＋2x－4<0.[思考題]1.全稱量詞命題中的“x，M與p(x)”表達(dá)的含義分別是什么？提示元素x可以表示實(shí)數(shù)、方程、函數(shù)、不等式，也可以表示幾何圖形，相應(yīng)的集合M是這些元素的某一特定的范圍.p(x)表示集合M的所有元素滿足的性質(zhì).如“任意一個(gè)自然數(shù)都不小于0”，可以表示為“?x∈N，x≥0”.2.在全稱量詞命題和存在量詞命題中，量詞是否可以省略？提示在存在量詞命題中，量詞不可以省略；在有些全稱量詞命題中，量詞可以省略.題型一全稱量詞與存在量詞命題的識(shí)別【例1】判斷下列命題是全稱量詞命題，還是存在量詞命題：(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的速度方向不定；(3)對(duì)任意直角三角形的兩銳角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°.解(1)可以改寫(xiě)為“所有的凸多邊形的外角和等于360°”，故為全稱量詞命題.(2)含有存在量詞“有的”，故是存在量詞命題.(3)含有全稱量詞“任意”，故是全稱量詞命題.規(guī)律方法判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的關(guān)鍵是看量詞.由于某些全稱量詞命題的量詞可能省略，所以要根據(jù)命題表達(dá)的意義判斷，同時(shí)要會(huì)用相應(yīng)的量詞符號(hào)正確表達(dá)命題.【訓(xùn)練1】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并用符號(hào)“?”或“?”表示下列命題：(1)自然數(shù)的平方大于或等于零；(2)有的一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；(3)所有的二次函數(shù)的圖象的開(kāi)口都向上.解(1)全稱量詞命題.表示為?n∈N，n2≥0.(2)存在量詞命題.?一次函數(shù)，它的圖象過(guò)原點(diǎn).(3)全稱量詞命題.?二次函數(shù)，它的圖象的開(kāi)口都向上.題型二命題真假的判斷【例2】判斷下列命題的真假.(1)所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；(2)任意矩形的對(duì)角線相等；(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.解(1)2是素?cái)?shù)，但2不是奇數(shù).所以全稱量詞命題“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題.(2)是真命題.(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的實(shí)數(shù)x不存在，所以存在量詞命題“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”為假命題.規(guī)律方法判斷一個(gè)命題為真命題應(yīng)給出證明，判斷一個(gè)命題為假命題只需舉出反例，具體而言：(1)要判定一個(gè)存在量詞命題為真，只要在給定的集合內(nèi)找到一個(gè)元素x，使p(x)成立即可，否則命題為假.(2)要判定一個(gè)全稱量詞命題為真，必須對(duì)給定集合內(nèi)的每一個(gè)元素x，p(x)都成立，但要判定一個(gè)全稱量詞命題為假時(shí)，只要在給定的集合內(nèi)找到一個(gè)x，使p(x)不成立即可.【訓(xùn)練2】判斷下列命題的真假：(1)有一些二次函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)；(2)?x∈R，2x2＋x＋1<0；(3)?x∈R，x2>0.解(1)該命題中含有“有一些”，是存在量詞命題.如y＝x2，其圖象過(guò)原點(diǎn)，故該命題是真命題.(2)該命題是存在量詞命題.∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故該命題是假命題.(3)該命題是全稱量詞命題.x＝0時(shí)，x2＝0，故該命題是假命題.題型三由命題的真假求參數(shù)范圍【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.(1)若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍；(2)命題q：“?x∈A，x∈B”是真命題，求m的取值范圍.解

(1)由于命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，所以B?A，B≠?，(2)q為真，則A∩B≠?，因?yàn)锽≠?，所以m≥2.規(guī)律方法根據(jù)含量詞命題的真假等價(jià)轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求參數(shù)范圍.【訓(xùn)練3】

(1)已知命題“?x∈[－3，2]，3a＋x－2＝0”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

(1)由3a＋x－2＝0得－x＝3a－2.∵x∈[－3，2]，∴－2≤－x≤3，∴－2≤3a－2≤3，一、課堂小結(jié)1.通過(guò)學(xué)習(xí)命題、全稱量詞命題與存在量詞命題的概念提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).通過(guò)判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).2.判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞，有些全稱量詞命題不含全稱量詞，可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷.3.要確定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，需保證該命題對(duì)所有的元素都成立；若能舉出一個(gè)反例說(shuō)明命題不成立，則該全稱量詞命題是假命題.4.要確定一個(gè)存在量詞命題是真命題，舉出一個(gè)例子說(shuō)明該命題成立即可；若經(jīng)過(guò)邏輯推理得到命題對(duì)所有的元素都不成立，則該存在量詞命題是假命題.二、課堂檢測(cè)1.下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)是(

) ①任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)； ②有的平行四邊形也是菱形；

③n邊形的內(nèi)角和是(n－2)×180°. A.0 B.1 C.2 D.3解析①③是全稱量詞命題.答案C2.下列存在量詞命題是假命題的是(

)A.存在x∈Q，使4－x2＝0B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C.有的素?cái)?shù)是偶數(shù)D.有的實(shí)數(shù)為正數(shù)答案B3.對(duì)任意x>3，x>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.解析對(duì)任意x>3，x>a恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a，∴a≤3.答案

(－∞，3]4.給出下列四個(gè)命題：①有理數(shù)是實(shí)數(shù)；②矩形都不是梯形；③?x，y∈R，x2＋y2≤1；④凡是三角形都有內(nèi)切圓.其中全稱量詞命題是________(填序號(hào)).解析在④中含有全稱量詞“凡是”為全稱量詞命題；③為存在量詞命題；①的實(shí)質(zhì)為：所有的有理數(shù)都是實(shí)數(shù)；②的實(shí)質(zhì)是：所有的矩形都不是梯形，故①②④為全稱量詞命題.答案

①②④5.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假：(1)?x，x－2≤0；(2)三角形兩邊之和大于第三邊；(