彈性力學(xué)第八章空間問題的解答第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日按位移求解空間問題（1）第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日按位移求解空間問題（2）代入平衡微分方程第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日按位移求解空間問題（3）得到按位移求解空間問題時(shí)需要的基本微分方程：其中：第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日按位移求解空間軸對稱問題（1）同樣方法，運(yùn)用以下三組方程可以得到按位移求解空間軸對稱問題時(shí)需要的基本微分方程：第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日按位移求解空間軸對稱問題（1）同樣方法，運(yùn)用以下三組方程可以得到按位移求解空間軸對稱問題時(shí)需要的基本微分方程：第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日按位移求解空間軸對稱問題（2）同樣方法，運(yùn)用以下三組方程可以得到按位移求解空間軸對稱問題時(shí)需要的基本微分方程：第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日半空間體受重力及均布壓力（1）qoρgh設(shè)有半空間體，密度為ρ，在水平邊界上受均布壓力q,以邊界面為xy面，z軸鉛直向下。試求解半空間體的位移以及應(yīng)力分量。第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日abcFρo第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日應(yīng)力狀態(tài)（1）xzyPpxpypzn’空間問題平面問題第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日應(yīng)力狀態(tài)（2）xzyPpxpypzn’注：如果已知空間中一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量，就可以得到任一斜面上的正應(yīng)力以及切應(yīng)力，因此可以說六個(gè)應(yīng)力分量決定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日應(yīng)力邊界條件xzyPn’若圖示實(shí)線斜面是受有面力作用的邊界面，則：上式為空間問題的應(yīng)力邊界條件。第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日主應(yīng)力（1）若某一斜面上只有正應(yīng)力，于是該面上的全應(yīng)力在坐標(biāo)上的投影成為：于是：又有：因此可求解主應(yīng)力大小及方向：。第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日代入原方程求解主應(yīng)力的方向。主應(yīng)力（2）若有非零解，則：第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日主應(yīng)力的存在（3）注：該方程的三個(gè)解一定為實(shí)數(shù)，即總存在三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力。第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日主應(yīng)力（4）1）在受力物體內(nèi)任意一點(diǎn)，一定存在三個(gè)互相垂直的應(yīng)力主面以及對應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力。2）在受力物體內(nèi)的任意一點(diǎn)，三個(gè)互相垂直的面上的正應(yīng)力之和是不變量（不隨坐標(biāo)系變化），并且等于該點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力之和。3）三個(gè)主應(yīng)力中最大的一個(gè)就是該點(diǎn)的最大正應(yīng)力，最小的一個(gè)就是該點(diǎn)的最小正應(yīng)力。4）最大與最小的切應(yīng)力，在數(shù)值上等于最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力之差的一半，作用在通過中間主應(yīng)力并且“平分最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力的夾角”的平面上。第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日幾何方程及位移邊界條件采用與平面問題的幾何方程一致的推導(dǎo)方法，可以得到：位移邊界條件：第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日體應(yīng)變單位體積的改變稱為體應(yīng)變，用θ表示：體應(yīng)變與位移的關(guān)系：第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日物理方程（1）：體積應(yīng)力體積模量第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日物理方程（2）用應(yīng)變表達(dá)應(yīng)力：第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日空間問題小結(jié)對于空間問題，一共有15個(gè)未知函數(shù)，它們是6個(gè)形變分量，6個(gè)應(yīng)力分量，3個(gè)位移分量。而我們也有15個(gè)基本方程，它們是6個(gè)幾何方程，6個(gè)物理方程，3個(gè)平衡方程。此外，求出的解還必須滿足位移邊界條件以及應(yīng)力邊界條件。第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日軸對稱問題在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀，約束情況以及所受的外力作用都是對稱于某一軸（通過這個(gè)軸的任一平面都是對稱面），則所有的應(yīng)力，形變以及位移也就對稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對稱問題。在描述軸對稱問題中的應(yīng)力，形變及位移時(shí)，宜采用圓柱坐標(biāo)ρ，φ，z。這樣可以使得應(yīng)力分量，應(yīng)變分量，位移分量都是ρ，z

的函數(shù)，不隨φ

變化。另外，所有物理量必須對稱過z軸的任何平面，凡不符合對稱性的物理量為零。xzyPCAB第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日軸對稱問題的平衡方程與幾何方程xzyPCAB第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日軸對稱問題的平衡方程與幾何方程