工程測量西北農(nóng)林科技大學(xué)第六章觀測誤差理論6.1觀測誤差6.2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)6.3觀測值函數(shù)的中誤差6.4等精度觀測值的平差6.5誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用6.1觀測誤差

前面幾章講述的數(shù)據(jù)采集，要用到各種儀器(經(jīng)緯儀、水準(zhǔn)儀、全站儀），要由人進(jìn)行操作，要在某種環(huán)境中工作，這些因素都會使采集到的數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，即數(shù)據(jù)中有誤差。

例如：1）、距離測量誤差

2）、角度測量誤差

3）、高差測量誤差

觀測誤差A(yù)BD往D返理論上：

D往=

D返

實測中：D往≠

D返1）距離測量誤差測量上一般要求:D往-

D返/D≦1/K(K=2000,4000,…..),測量成果才合格.觀測誤差A(yù)BC理論上：∠A+∠B+∠C=180實測中：A+∠B+∠C≠180理論上：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4=360實測中：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4≠360L2L3L4ABCDL12）角度測量誤差觀測誤差理論上：hAB+hBA=0

實測中：hAB+hBA≠03）高差測量誤差A(yù)BP1P4P3P2h1h3h2h4理論上：h1+h2+h3+h4=0

實測中：h1+h2+h3+h4≠0觀測誤差一、觀測誤差產(chǎn)生的原因

觀測條件二、觀測誤差的種類①系統(tǒng)誤差②偶然誤差③粗差三、偶然誤差的特性觀測誤差1、觀測誤差：指被觀測值(或其函數(shù))與未知量的真實值(或函數(shù)的理論值)間的差值。觀測誤差=觀測值-真值

一般用符號△表示。即：△=L觀–L理

=L-X

一、觀測誤差及其產(chǎn)生的原因真值：代表觀測值L真正大小的數(shù)值，用X表示。真誤差:觀測值L與真值X之間的差值，用△表示。

△

=L–X真誤差觀測值真值觀測誤差測量上真值如何得到:△=(D往-

D返)–0

△=(A+B+C)–180△=(L1+L2+L3+L4)–360

△=(hAB+hBA)–0△=(h1+h2+

h1+h2)–0一、測量誤差的來源（1）測量儀器：儀器構(gòu)造上無法達(dá)到理論上的要求；例如水準(zhǔn)測量時,水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸不水平,會對水準(zhǔn)測量結(jié)果影響等.（2）觀測者：人的感官上的局限性、操作技能、工作態(tài)度；

儀器的安置\瞄準(zhǔn)\讀數(shù)（3）外界條件：觀測時所處的外界環(huán)境，如風(fēng)力、溫度、日照、濕度、氣壓、大氣折光等。

儀器、人和環(huán)境，總稱為觀測條件。

2、觀測條件觀測誤差觀測成果的精確度稱為“精度”。如果使用的儀器是同一個精密等級，操作人員有相同的工作經(jīng)驗和技能，工作環(huán)境的自然條件（氣溫、風(fēng)力、濕度等等）基本一致，則稱為相同的觀測條件。在相同的觀測條件下，由于測量時產(chǎn)生偶然誤差的因素大體相同，因此測量所得結(jié)果的精度也是相等的，故稱此時的測量為同精度觀測或等精度觀測。觀測誤差觀測條件不相同的各次觀測，稱為非等精度觀測。在觀測結(jié)果中，有時還會出現(xiàn)錯誤，稱之為粗差。

粗差在觀測結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差ld計算改正鋼尺溫度誤差lt

計算改正

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng)操作時抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C操作時抵消(盤左盤右取平均)

…………2.系統(tǒng)誤差

——誤差出現(xiàn)的大小、符號相同，或按規(guī)律性變化，具有積累性?！裣到y(tǒng)誤差可以消除或減弱。

(計算改正、觀測方法、儀器檢校)測量誤差分為：粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差1.粗差(錯誤)——超限的誤差測量誤差的分類3.偶然誤差——誤差出現(xiàn)的大小、符號各不相同，表面看無規(guī)律性。例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差，導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差。

●準(zhǔn)確度(測量成果與真值的差異）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●測量平差（求解最或是值并評定精度）4.幾個概念:

●精（密）度（觀測值之間的離散程度）測量誤差的分類1．系統(tǒng)誤差在相同觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差在測量成果中具有累積性，對測量成果影響較大，但它的符號和大小又具有一定的規(guī)律性，一般可采用下列方法消除或減弱其影響。

（1）進(jìn)行計算改正

（2）選擇適當(dāng)?shù)挠^測方法（3）檢驗校正儀器測量誤差的分類例如：1）、鋼尺量距，鋼尺的名義長度為30m，而鑒定后的際長度為30.006m,測量時,每量一個整尺,就比實際長度小0.006m,這種誤差的大小與所量的直線長度成正比,而且正負(fù)號始終一致.系統(tǒng)誤差測量誤差的分類例如：2）、定線誤差:

傳統(tǒng)的距離測量中,距離較長,需要進(jìn)行分段丈量.必須進(jìn)行直線定線.LAB-SAB>0

系統(tǒng)誤差即當(dāng)直線距離超過一個尺段時，需進(jìn)行直線定線.LABSABiABSASB水準(zhǔn)管軸視準(zhǔn)軸b1biSA=SB時，△hAB=0aa1總結(jié):系統(tǒng)誤差具有積累性,可以利用其規(guī)律性對觀測值進(jìn)行改正或者采用一定的測量方法加以抵消或消弱.例如：3）、水準(zhǔn)儀i角對測量高差的影響測量誤差的分類如：1)、距離測量D9.59.49.79.59.69.39.29.6

0.1-0.20-0.10.20.3-0.1

1234567Δ

No測量誤差的分類2．偶然誤差

在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列的觀測，如果觀測誤差的符號和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。1.71.61.51.591中絲讀數(shù)：1.5921.593例如:2）、讀數(shù)誤差(水準(zhǔn)測量)例如:3）、照準(zhǔn)誤差例如:4）、整平誤差測量誤差的分類通常，測量中需要進(jìn)行多余觀測。應(yīng)當(dāng)剔除觀測值中的粗差，利用系統(tǒng)誤差的規(guī)律性將系統(tǒng)誤差消除或減弱到可以忽略不計，使觀測值主要含有偶然誤差，從而利用數(shù)理統(tǒng)計方法求得觀測值的最可靠值?？偨Y(jié)：在測量工作中，一般需要進(jìn)行多余觀測，發(fā)現(xiàn)粗差，將其剔除或重測。測量誤差的分類偶然誤差觀測值與真值之差定義：真誤差A(yù)MPMh時m偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對同一量觀測次數(shù)的增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性，觀測次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。觀測值真值觀測誤差【例】在相同的觀測條件下，觀測了217個三角形的全部內(nèi)角。ＡｉＢｉＣｉ三角形內(nèi)角和真誤差:△ｉ＝∠Aｉ+∠Bｉ+∠Cｉ-180i=1,2,3…..217

觀測誤差絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差個數(shù)多；絕對值相等的正負(fù)誤差的個數(shù)大致相等；最大誤差不超過27″。結(jié)果分析(vi/n)/3△誤差分布曲線-27-24-21-18-15-12-9-6-30369121518212427(vi/n)△每一誤差區(qū)間上方的長方形面積，代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對個數(shù)直方圖1、

愈小，愈大。有最大值

△當(dāng)△=0時橫軸是曲線的漸近線，這就是超限數(shù)為零、小誤差大概率2、

是偶函數(shù)。對稱性曲線有兩個拐點，橫坐標(biāo)為：當(dāng)愈大時，曲線愈平緩，誤差分布比較分散當(dāng)愈小時，曲線愈陡峭，誤差分布比較集中觀測誤差通過對大量的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析后，特別是當(dāng)觀測次數(shù)足夠多時，可以得出偶然誤差具有以下的規(guī)律性：1、在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值-----超限數(shù)為零；有限性2、絕對值較小的偶然誤差比絕對值大的出現(xiàn)的可能性要大

-----小誤差大概率：集中性3、絕對值相等的正負(fù)偶然誤差出現(xiàn)的可能性相等

-----正負(fù)相等；對稱性4、當(dāng)觀測次數(shù)無窮增多時，偶然誤差的算術(shù)平均值為零

----平均理論。抵償性其中觀測誤差6.2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)1、中誤差:在相同觀測條件下進(jìn)行一組觀測，得出的每個觀測值都稱為同精度的觀測值。即每個觀測值的真差不同，但中誤差是相同的。

例：2010級的某班的3個小組，在相同觀測條件下進(jìn)行四等水準(zhǔn)測量。第1個小組測得閉合差為+2mm,第2個小組測得閉合差為-6mm,第三個小組測得閉合差為0。試判斷哪一組觀測精度高？結(jié)論：精度相同精度指的是一組觀測值誤差分布的密集或分散的程度。評定精度的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)有甲、乙兩組觀測值，各組均為等精度觀測，它們的真誤差分別為：甲組：0″+2″+1″-3″+4″+3″-2″-1″+2″-4″乙組：-1″+2″-6″0″-1″+7″+1″0″-3″-1″例：試計算甲、乙兩組各自的觀測精度。說明第一組的精度高于第二組的精度。說明：中誤差越小，觀測精度越高

小，精度高

大，精度低觀測條件誤差分布觀測值精度中誤差評定精度的標(biāo)準(zhǔn)m1小于m2,說明第一組觀測值的誤差分布比較集中，其精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比較離散，其精度較低：中誤差所代表的是某一組觀測值的精度。2、容許誤差（限差）通常取標(biāo)準(zhǔn)差的兩倍（或三倍）作為觀測值的容許誤差。實際中常用中誤差代替標(biāo)準(zhǔn)差。即或評定精度的標(biāo)準(zhǔn)極限作用：區(qū)別誤差和錯誤的界線

P(||m)=0.683=68.3出現(xiàn)機會（31.7%）P(||2m)=0.954=95.4出現(xiàn)機會（4.6%）P(||3m)=0.997=99.7出現(xiàn)機會（0.3%）結(jié)論：精度不相同3、相對誤差通常是用來衡量和距離有關(guān)的觀測量的精度的好壞。例:測量兩條直線，一條100m，另一條30m，其中誤差均為±10mm試問兩條直線的觀測精度相同嗎？哪條直線的觀測精度高？100m的直線的觀測精度高相對中誤差，相對真誤差和相對極限誤差。評定精度的標(biāo)準(zhǔn)6.3觀測值函數(shù)的中誤差問題的提出：在上節(jié)討論了如何根據(jù)同精度的觀測值的真誤差來評定觀測值精度的問題。許多未知量是不能直接觀測得到的。這些未知量是觀測值的函數(shù)，那么如何根據(jù)觀測值的中誤差而去求觀測值函數(shù)的中誤差呢？闡述觀測值中誤差和觀測值函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。

觀測值函數(shù)的中誤差

設(shè)未知量

z與

n個獨立觀測值x1,x2,…xn之間有如下的函數(shù)關(guān)系式：1、一般函數(shù)xi的真誤差xi引起z產(chǎn)生真誤差z

則：為獨立觀測值xi均是小量，上式按泰勒級數(shù)展開，并舍去二次及以上諸項，兩邊平方后求和除以N：得：

觀測值函數(shù)的中誤差由偶然誤差的抵償性知：上式最后一項極小于前面各項，可忽略不計，則：結(jié)論：

各獨立觀測值任意函數(shù)的中誤差的平方，等于該任意函數(shù)對各觀測值的偏導(dǎo)函數(shù)值與該觀測值中誤差乘積的平方和。該式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。觀測值函數(shù)的中誤差求任意函數(shù)中誤差的四個步驟：1、列出函數(shù)關(guān)系式：z=f(x1,x2,…xn)4、轉(zhuǎn)換為中誤差表達(dá)式并求其值3、列出函數(shù)真誤差表達(dá)式：2、求函數(shù)對各觀測值的偏導(dǎo)函數(shù)值：注意：在誤差傳播定律的推導(dǎo)過程中，要求觀測值必須是獨立觀測值;單位要統(tǒng)一。觀測值函數(shù)的中誤差例：某建筑場地已劃定為長方形，獨立地測定其長和寬分別為a=30.000m、b=15.000m,其中誤差分別為ma=±0.005m、mb=±0.003m，求該場地面積A及其中誤差mA。解；2、求函數(shù)對各觀測值的偏導(dǎo)函數(shù)3、列出函數(shù)的真誤差表達(dá)式4、轉(zhuǎn)換為中誤差表達(dá)式并求其值

1、列出函數(shù)式A=a*b觀測值函數(shù)的中誤差二.幾種常用函數(shù)的中誤差

1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差：設(shè)有函數(shù)式

全微分

得中誤差式(x為觀測值，K為x的系數(shù))觀測值函數(shù)的中誤差例：量得1:1000地形圖上兩點間長度l

=168.5mm0.2mm,

計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：解：列函數(shù)式求全微分中誤差式觀測值函數(shù)的中誤差2.線性函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式

全微分

中誤差式觀測值函數(shù)的中誤差例：設(shè)有某線性函數(shù)其中：

x1、x2

、x3分別為獨立觀測值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差mz。

解：對上式全微分：由中誤差式得：觀測值函數(shù)的中誤差函數(shù)式

全微分

中誤差式3.算術(shù)平均值的中誤差式

觀測值函數(shù)的中誤差由于等精度觀測時，，代入上式：得由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了倍。

●對某觀測量進(jìn)行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。觀測值函數(shù)的中誤差4.和或差函數(shù)的中誤差函數(shù)式：

全微分：

中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測時：上式可寫成：觀測值函數(shù)的中誤差例：測定A、B間的高差hAB

，共連續(xù)測了9站。設(shè)測量每站高差的中誤差m=±2mm

，求總高差hAB的中誤差mh

。

解：

觀測值函數(shù)的中誤差觀測值函數(shù)中誤差公式匯總觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

6.4等精度直接觀測平差▓觀測值的算術(shù)平均值(最或是值)▓用觀測值的改正數(shù)v計算觀測值的中誤差

(即:白塞爾公式)▓算術(shù)平均值的相對中誤差

等精度直接觀測平差

一.觀測值的算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值)

證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：

設(shè)該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X對某未知量進(jìn)行了n次觀測，得n個觀測值1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為：上式等號兩邊分別相加得和：等精度直接觀測平差當(dāng)觀測無限多次時：得兩邊除以n：由當(dāng)觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術(shù)平均值就是該量的真值；當(dāng)觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術(shù)平均值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。L≈X[]0)(limlim=-=D￥?￥?XLnnn等精度直接觀測平差觀測值改正數(shù)特點二.觀測值的改正數(shù)v

：

以算術(shù)平均值為最或是值，并據(jù)此計算各觀測值的改正數(shù)v，符合[vv]=min的“最小二乘原則”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)特點1——改正數(shù)總和為零：對上式取和：以代入：通常用于計算檢核L=

nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特點2——[vv]符合“最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv

dx∵(x-)=0nx-=0x=

n等精度直接觀測平差精度評定

比較前面的公式，可以證明，兩式根號內(nèi)的部分是相等的，即在與中：三.精度評定——用觀測值的改正數(shù)v計算中誤差一.計算公式(即白塞爾公式)：等精度直接觀測平差證明如下：證明兩式根號內(nèi)相等對上式取n項的平方和由上兩式得其中:XlXlXlnn-=D-=D-=DLL2211等精度直接觀測平差改正數(shù)真誤差證明兩式根號內(nèi)相等中誤差定義:白塞爾公式:等精度直接觀測平差解：該水平角真值未知，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)V計算其中誤差：例1：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數(shù)據(jù)如下表，求其算術(shù)平均值及觀測值的中誤差。次數(shù)觀測值VVV備注176°42′49″-416276°42′40″+525376°42′42″+39476°42′46″-11576°42′48″-39平均76°42′45″[V]=0[VV]=6076°42′45″

±1.74″等精度直接觀測平差

例6-2某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)平均值、觀測中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對誤差。測次

觀測值/m觀測值改正數(shù)v/mmvv

計算123456平均148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-192251444324166763613046距離丈量精度計算例算例3：對某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術(shù)平均值；②觀測