正多邊形與圓第1課時(shí)正多邊形與圓

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】了解正多邊形的概念,掌握用等分圓周畫(huà)圓的內(nèi)接正多邊形的方法.【過(guò)程與方法】使學(xué)生會(huì)等分圓,利用等分圓的方法構(gòu)造正多邊形,并會(huì)設(shè)計(jì)圖案,發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力.【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】通過(guò)等分圓周、構(gòu)造正多邊形等實(shí)踐活動(dòng),使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn),建立自信心.

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】掌握用等分圓周畫(huà)圓的內(nèi)接正多邊形的方法.【教學(xué)難點(diǎn)】探索正多邊形和圓的關(guān)系.

教學(xué)過(guò)程

一、問(wèn)題導(dǎo)入(1)這些圖案,都是在日常生活中我們經(jīng)?？吹降膱D案,你能從這些圖案中找出正多邊形嗎?(2)目前,對(duì)于正多邊形的研究,我們經(jīng)常借助圓來(lái)討論,那么正多邊形和圓有什么關(guān)系呢?怎樣作出一個(gè)正多邊形呢?二、合作探究探究點(diǎn)1判定正多邊形典例1如圖所示,△AOB是正三角形,以點(diǎn)O為圓心,OA長(zhǎng)為半徑作☉O,直徑FC∥AB,AO,BO的延長(zhǎng)線分別交☉O于點(diǎn)D,E.求證:六邊形ABCDEF是☉O的內(nèi)接正六邊形.[解析]∵△AOB是等邊三角形,∴∠DOE=∠AOB=60°.∵FC∥AB,∴∠AOF=∠OAB=60°,∠BOC=∠OBA=60°,∴∠EOF=∠BOC=60°,∠COD=∠AOF=60°,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF=60°,∴AB=BC=CD=DE=EF=AF.由題意可知OA,OB,OC,OD,OE,OF是☉O的半徑,∴△AOB,△BOC,△COD,△DOE,△EOF,△AOF是等邊三角形.易知∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°.∴六邊形ABCDEF是正六邊形,且是☉O的內(nèi)接正六邊形.【技巧點(diǎn)撥】判定一個(gè)多邊形是正多邊形的方法:(1)根據(jù)定義,證明各邊相等,各角相等;(2)根據(jù)正多邊形與圓的關(guān)系,順次連接各等分點(diǎn)得到的多邊形是正多邊形.變式訓(xùn)練如圖,正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8內(nèi)接于半徑為r的☉O.(1)求四邊形A1A2A3O的面積;(2)求此正八邊形的面積S.[解析](1)∵正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8內(nèi)接于半徑為r的☉O,∴∠A3OA2=∠A2OA1=18×360°=∴∠A3OA1=90°,∴△A1OA3是等腰直角三角形,∴A1A3=2r,∴S四邊形A1A2A3O=12OA2×(BA1+BA3)=12OA2×A1A(2)S△A1∴S正八邊形=S△A1OA2×8探究點(diǎn)2利用等分圓周作正多邊形典例2如圖,AB,CD是☉O中互相垂直的兩條直徑,以A為圓心,OA為半徑畫(huà)弧,與☉O交于E,F兩點(diǎn).(1)求證:AE是正六邊形的一邊;(2)請(qǐng)?jiān)趫D上繼續(xù)畫(huà)出這個(gè)正六邊形.[解析](1)如圖,連接OE,OF,AF.∵AE=OA=OE,∴△AOE是等邊三角形,∠OAE=60°.同理可證:△OAF是等邊三角形.∴∠OAF=60°,∴AE=AF,且∠EAF=∠OAE+∠OAF=120°,∴AE是正六邊形的一邊.(2)用圓規(guī)截去AE弧的弧長(zhǎng),然后以點(diǎn)E、點(diǎn)B為圓心,分別在圓上截得相等的弧長(zhǎng),取得點(diǎn)G,H,然后順次將點(diǎn)A,E,G,B,H和F連接起來(lái)就得到正六邊形.作圖略.變式訓(xùn)練如圖,已知☉O,用尺規(guī)作☉O的內(nèi)接正四邊形ABCD.(寫(xiě)出結(jié)論,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡,并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑)[解析]如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接正方形.提示:(1)過(guò)圓心O作直徑AC;(2)分別以A,C為圓心、以大于圓O半徑長(zhǎng)度作弧交于點(diǎn)M,N;(3)連接MN交圓O于點(diǎn)B,D;(4)順次連接A,B,C,D.等分圓周作正多邊形的方法:1.用量角器等分圓:用量角器等分圓是一種簡(jiǎn)單而常用的方法,它有兩種方式:(1)依次作相等的圓心角來(lái)等分圓;(2)先利用量角器畫(huà)一個(gè)360n°的圓心角,然后在圓上依次截取這個(gè)圓心角所對(duì)的弧的等弧來(lái)畫(huà)正n邊形2.用尺規(guī)等分圓:對(duì)于一些特殊的正n邊形,還可以用直尺和圓規(guī)來(lái)等分圓,如正四邊形,正六邊形等.三、板書(shū)設(shè)計(jì)正多邊形與圓正多邊形與圓正多邊形的定義

教學(xué)反思

在探究新知的過(guò)程中,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是普遍聯(lián)系的,是可以相互轉(zhuǎn)化的,并培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,滲透數(shù)形結(jié)合的思想.第2課時(shí)正多邊形的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】了解正多邊形的相關(guān)概念與性質(zhì),能運(yùn)用正多邊形的性質(zhì)解決計(jì)算問(wèn)題.【過(guò)程與方法】通過(guò)正多邊形的有關(guān)計(jì)算,培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力,發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和解題能力.【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】通過(guò)對(duì)正多邊形的研究,揭示正多邊形的內(nèi)在規(guī)律,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索精神.

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】正多邊形的有關(guān)的計(jì)算.【教學(xué)難點(diǎn)】正確地轉(zhuǎn)化和綜合應(yīng)用幾何知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.

教學(xué)過(guò)程

一、情境導(dǎo)入如圖,要擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為6cm的正六邊形螺帽,扳手張開(kāi)的開(kāi)口至少是多少?二、合作探究探究點(diǎn)1與正多邊形有關(guān)的概念與性質(zhì)典例1已知圓的半徑為2,填寫(xiě)下表:邊長(zhǎng)邊心距中心角對(duì)稱(chēng)軸條數(shù)內(nèi)接正三角形內(nèi)接正四邊形內(nèi)接正六邊形[解析]邊長(zhǎng)邊心距中心角對(duì)稱(chēng)軸條數(shù)內(nèi)接正三角形231120°3內(nèi)接正四邊形22290°4內(nèi)接正六邊形2360°6探究點(diǎn)2與正多邊形有關(guān)的計(jì)算典例2如圖,以正六邊形ABCDEF的邊AB為邊,在正六邊形內(nèi)部作正方形ABMN,連接MC,求∠BCM的大小.[解析]∵六邊形ABCDEF為正六邊形,∴∠ABC=120°,AB=BC.∵四邊形ABMN為正方形,∴∠ABM=90°,AB=BM.∴∠MBC=120°-90°=30°,BM=BC,∴∠BCM=∠BMC,∴∠BCM=12×(180°-30°)=75°變式訓(xùn)練如圖,以正六邊形ADHGFE的一邊AD為邊向外作正方形ABCD,連接BE,DE.求∠BED的度數(shù).[解析]∵△ADE和△ABE都是等腰三角形,且∠DAE=120°,∴∠AED=12×(180°-120°)=30°在△ABE中,∠BAE=360°-∠BAD-∠DAE=150°,∴∠AEB=12×(180°-150°)=∴∠BED=∠AE