正多邊形與圓第1課時正多邊形與圓

教學目標

【知識與技能】了解正多邊形的概念,掌握用等分圓周畫圓的內接正多邊形的方法.【過程與方法】使學生會等分圓,利用等分圓的方法構造正多邊形,并會設計圖案,發(fā)展學生的實踐能力和創(chuàng)新能力.【情感、態(tài)度與價值觀】通過等分圓周、構造正多邊形等實踐活動,使學生在數(shù)學學習活動中獲得成功的體驗,建立自信心.

教學重難點

【教學重點】掌握用等分圓周畫圓的內接正多邊形的方法.【教學難點】探索正多邊形和圓的關系.

教學過程

一、問題導入(1)這些圖案,都是在日常生活中我們經(jīng)常看到的圖案,你能從這些圖案中找出正多邊形嗎?(2)目前,對于正多邊形的研究,我們經(jīng)常借助圓來討論,那么正多邊形和圓有什么關系呢?怎樣作出一個正多邊形呢?二、合作探究探究點1判定正多邊形典例1如圖所示,△AOB是正三角形,以點O為圓心,OA長為半徑作☉O,直徑FC∥AB,AO,BO的延長線分別交☉O于點D,E.求證:六邊形ABCDEF是☉O的內接正六邊形.[解析]∵△AOB是等邊三角形,∴∠DOE=∠AOB=60°.∵FC∥AB,∴∠AOF=∠OAB=60°,∠BOC=∠OBA=60°,∴∠EOF=∠BOC=60°,∠COD=∠AOF=60°,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF=60°,∴AB=BC=CD=DE=EF=AF.由題意可知OA,OB,OC,OD,OE,OF是☉O的半徑,∴△AOB,△BOC,△COD,△DOE,△EOF,△AOF是等邊三角形.易知∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°.∴六邊形ABCDEF是正六邊形,且是☉O的內接正六邊形.【技巧點撥】判定一個多邊形是正多邊形的方法:(1)根據(jù)定義,證明各邊相等,各角相等;(2)根據(jù)正多邊形與圓的關系,順次連接各等分點得到的多邊形是正多邊形.變式訓練如圖,正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8內接于半徑為r的☉O.(1)求四邊形A1A2A3O的面積;(2)求此正八邊形的面積S.[解析](1)∵正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8內接于半徑為r的☉O,∴∠A3OA2=∠A2OA1=18×360°=∴∠A3OA1=90°,∴△A1OA3是等腰直角三角形,∴A1A3=2r,∴S四邊形A1A2A3O=12OA2×(BA1+BA3)=12OA2×A1A(2)S△A1∴S正八邊形=S△A1OA2×8探究點2利用等分圓周作正多邊形典例2如圖,AB,CD是☉O中互相垂直的兩條直徑,以A為圓心,OA為半徑畫弧,與☉O交于E,F兩點.(1)求證:AE是正六邊形的一邊;(2)請在圖上繼續(xù)畫出這個正六邊形.[解析](1)如圖,連接OE,OF,AF.∵AE=OA=OE,∴△AOE是等邊三角形,∠OAE=60°.同理可證:△OAF是等邊三角形.∴∠OAF=60°,∴AE=AF,且∠EAF=∠OAE+∠OAF=120°,∴AE是正六邊形的一邊.(2)用圓規(guī)截去AE弧的弧長,然后以點E、點B為圓心,分別在圓上截得相等的弧長,取得點G,H,然后順次將點A,E,G,B,H和F連接起來就得到正六邊形.作圖略.變式訓練如圖,已知☉O,用尺規(guī)作☉O的內接正四邊形ABCD.(寫出結論,不寫作法,保留作圖痕跡,并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑)[解析]如圖,四邊形ABCD是☉O的內接正方形.提示:(1)過圓心O作直徑AC;(2)分別以A,C為圓心、以大于圓O半徑長度作弧交于點M,N;(3)連接MN交圓O于點B,D;(4)順次連接A,B,C,D.等分圓周作正多邊形的方法:1.用量角器等分圓:用量角器等分圓是一種簡單而常用的方法,它有兩種方式:(1)依次作相等的圓心角來等分圓;(2)先利用量角器畫一個360n°的圓心角,然后在圓上依次截取這個圓心角所對的弧的等弧來畫正n邊形2.用尺規(guī)等分圓:對于一些特殊的正n邊形,還可以用直尺和圓規(guī)來等分圓,如正四邊形,正六邊形等.三、板書設計正多邊形與圓正多邊形與圓正多邊形的定義

教學反思

在探究新知的過程中,使學生認識到事物之間是普遍聯(lián)系的,是可以相互轉化的,并培養(yǎng)和訓練學生綜合運用知識解決實際問題的能力,滲透數(shù)形結合的思想.第2課時正多邊形的性質

教學目標

【知識與技能】了解正多邊形的相關概念與性質,能運用正多邊形的性質解決計算問題.【過程與方法】通過正多邊形的有關計算,培養(yǎng)學生的計算能力,發(fā)展學生的轉化思想和解題能力.【情感、態(tài)度與價值觀】通過對正多邊形的研究,揭示正多邊形的內在規(guī)律,激發(fā)學生的學習興趣和探索精神.

教學重難點

【教學重點】正多邊形的有關的計算.【教學難點】正確地轉化和綜合應用幾何知識進行計算.

教學過程

一、情境導入如圖,要擰開一個邊長為6cm的正六邊形螺帽,扳手張開的開口至少是多少?二、合作探究探究點1與正多邊形有關的概念與性質典例1已知圓的半徑為2,填寫下表:邊長邊心距中心角對稱軸條數(shù)內接正三角形內接正四邊形內接正六邊形[解析]邊長邊心距中心角對稱軸條數(shù)內接正三角形231120°3內接正四邊形22290°4內接正六邊形2360°6探究點2與正多邊形有關的計算典例2如圖,以正六邊形ABCDEF的邊AB為邊,在正六邊形內部作正方形ABMN,連接MC,求∠BCM的大小.[解析]∵六邊形ABCDEF為正六邊形,∴∠ABC=120°,AB=BC.∵四邊形ABMN為正方形,∴∠ABM=90°,AB=BM.∴∠MBC=120°-90°=30°,BM=BC,∴∠BCM=∠BMC,∴∠BCM=12×(180°-30°)=75°變式訓練如圖,以正六邊形ADHGFE的一邊AD為邊向外作正方形ABCD,連接BE,DE.求∠BED的度數(shù).[解析]∵△ADE和△ABE都是等腰三角形,且∠DAE=120°,∴∠AED=12×(180°-120°)=30°在△ABE中,∠BAE=360°-∠BAD-∠DAE=150°,∴∠AEB=12×(180°-150°)=∴∠BED=∠AE