應(yīng)力分量應(yīng)變分量位移分量將彈性體離散后，作用在彈性體上的外載荷移置到節(jié)點上，每個節(jié)點的虛位移在單元中由虛位移引起的虛應(yīng)變?yōu)椋瑔卧械膶嶋H應(yīng)力為，由虛功方程可得，外力虛功等于內(nèi)力虛功或虛應(yīng)變能，離散后的單元組合體的虛功方程為，單元剛度矩陣軸對稱問題，用整體結(jié)點位移表示單元結(jié)點位移整體剛度矩陣方程組3.2三結(jié)點單元位移函數(shù)

參照平面問題的三角形單元位移函數(shù)，軸對稱問題的三結(jié)點三角形單元位移函數(shù)取為，(3-14)軸對稱問題的三結(jié)點三角形單元是環(huán)狀單元。將結(jié)點坐標(biāo)和結(jié)點位移代入（3-14）得到用矩陣形式表示的單元位移，（3-19）3.3三結(jié)點單元剛度矩陣軸對稱問題的幾何方程：（3-20）用幾何矩陣表示單元的應(yīng)變，切向應(yīng)變分量在單元中不為常量，其它三個應(yīng)變分量在單元中仍為常量。由軸對稱問題的物理方程，得到彈性矩陣，（4-25）單元內(nèi)的應(yīng)力分量，（3-28）令單元剛度矩陣為，單元剛度矩陣的分塊矩陣為，由于[B]中包含1/r，積分運算較為復(fù)雜。通常用三角形單元形心位置的坐標(biāo)代替[B]矩陣中的變量r、z。單元剛度矩陣的近似表達式為：3.4載荷移置

與平面問題相同，由虛功方程可以得到結(jié)點載荷。單元體力{p}的移置，假定對稱軸垂直于地面，單元上僅受到重力作用，將重力移置到單元結(jié)點上。

移置到結(jié)點i上的結(jié)點力為，

面積坐標(biāo)的冪函數(shù)在三角形全面積上的積分公式單元面力的移置公式單元在mi邊上受到均布壓力q的作用，將載荷移置到單元結(jié)點上。結(jié)點i的結(jié)點載荷

沿mi邊進行積分時，

4.5軸對稱分析實例

封頭作為壓力容器中的重要受力部件，對其質(zhì)量、強度、安全性等有很高的要求。核電壓力容器要求采用帶法蘭的整體鍛造封頭，封頭與坯料的形狀如圖所示。坯料形狀設(shè)計是成形工藝設(shè)計的關(guān)鍵。坯料形狀帶法蘭封頭形狀根據(jù)成形過程的特點，應(yīng)用軸對稱有限元模型進行分析。成形過程的等效應(yīng)力分布與缺陷軸對稱分析實例（續(xù)）在安裝大型設(shè)備時，直接擰緊螺栓上的螺母很困難，通常要使用液壓螺栓拉伸器。其工作原理是：在內(nèi)孔處用螺紋與螺栓連接；由內(nèi)外兩層缸體構(gòu)成液壓腔，通入高壓液體預(yù)拉伸螺栓；然后擰緊螺母。英國TENTEC液壓螺栓拉伸器某種結(jié)構(gòu)的拉伸器及其軸對稱模型。徑向位移分布等效應(yīng)力分布內(nèi)孔直徑110mm，壓力為190MPa時的拉伸器變形與內(nèi)力的分析。4ANSYS軟件與工程問題分析4.1建立有限元模型的要點4.2計算結(jié)果的分析4.3h方法和p方法4.4單元網(wǎng)格劃分的控制4.5參數(shù)化建模

4.1建立有限元模型的要點根據(jù)實際工程問題的特點確定有限元模型，平衡計算精度與計算規(guī)模。利用幾何、載荷的對稱性簡化模型建立等效模型選擇合適的單元，設(shè)置單元屬性。 單元的計算能力，剖分復(fù)雜形狀幾何實體的能力。定義材料參數(shù)。建立幾何模型。4.1建立有限元模型的要點（續(xù)）控制單元密度，劃分單元網(wǎng)格。使用統(tǒng)一的物理單位。力、長度、質(zhì)量及派生量的單位要統(tǒng)一，建議選用kg，N，m，sec；常采用kg，N，mm，sec。正確地施加位移約束條件及外載荷。指定分析類型，選擇合適的求解器。例4.1、方板中心帶有圓孔，長寬均為1m，厚度為5cm，內(nèi)孔的直徑為0.2m。左右兩側(cè)均受到均布拉力q作用。材料參數(shù)及載荷為：計算方板的內(nèi)應(yīng)力。選擇有限元模型 根據(jù)分析對象的幾何與載荷分布的對稱性，采用簡化的計算模型。整體模型二分之一模型四分之一模型 可以用于分析平面問題的單元有若干種，選擇plane42分析彈性力學(xué)平面問題。單元網(wǎng)格與計算結(jié)果單元數(shù):194結(jié)點數(shù):117沿縱向?qū)ΨQ面上的Sx分布4.2計算結(jié)果的分析判斷單元選擇與網(wǎng)格劃分是否合適，注意單元網(wǎng)格對計算結(jié)果的影響。所觀察物理量的變化趨勢、邊界條件和對稱性等方面，判斷約束與載荷是否合理。

采用不同的單元劃分方案比較計算精度，確定一個單元網(wǎng)格密度和計算精度綜合最優(yōu)的計算方案。

注意計算結(jié)果的單位與數(shù)量級。4.2計算結(jié)果的分析（續(xù)） 例4.2、由例4.1模型計算出的分布表明在靠近圓孔的邊緣處應(yīng)力分量Sx變化較大。在圓孔的邊緣處細化單元。 4.2計算結(jié)果的分析（續(xù)） 從方板x方向位移的分布可以看出，方板的變形趨勢是合理的，所施加的約束和載荷是正確的。4.2計算結(jié)果的分析（續(xù)）例4.3、用4結(jié)點四邊形單元來計算例4.1所示帶中心圓孔方板的內(nèi)力分布。4.3h方法與p方法h方法：h-version

不改變各單元上基底函數(shù)的配置情況，只通過逐步加密有限元網(wǎng)格來使結(jié)果向正確解逼近。應(yīng)用廣泛。p方法：p-version保持有限元的網(wǎng)格剖分部分固定不變，增加各單元上基底函數(shù)的階次，從而改善計算精度。P方法的收斂性優(yōu)于h方法。

4.3h方法與p方法 例4.4、

一厚壁圓筒，截面如圖所示，內(nèi)壁承受壓力，p=100kg/cm2。 半徑R1=10cm，R2=15cm, 高度H=30cm。彈性模量E=210Gpa， 泊松比0.3。

求圓筒內(nèi)外半徑的變化量。

取縱截面的四分之一進行計算。沿半徑方向設(shè)置4個單元，沿高度方向設(shè)置10個單元。采用四邊形單元Plane42，，映射方式劃分單元網(wǎng)格。加水平面上的施加y方向的位移邊界條件。在對應(yīng)內(nèi)壁的線段上加載均布的壓力。沿內(nèi)壁的徑向位移分布沿外壁的徑向位移分布h方法（h-method）：采用增加單元數(shù)目的方法來提高計算結(jié)果的精度。這是傳統(tǒng)的做法。仍然用Plane42單元，沿半徑方向設(shè)置8個單元，沿高度方向設(shè)置20個單元，解例4.4的問題。沿內(nèi)壁的徑向位移分布p方法(p-method)：用提高單元插值多項示階數(shù)的方法來獲得更好的計算精度。用Plane82單元，沿半徑方向設(shè)置4個單元，沿高度方向設(shè)置10個單元，解例4.4的問題。沿內(nèi)壁的徑向位移分布例4.5、用Plane82單元例4.1的問題。應(yīng)力分量Sx的最大值比例4.3的結(jié)果還要大些。Sx應(yīng)力分量的收斂偏差取1%，用p方法得到的結(jié)果及單元插值函數(shù)的階數(shù)如下。4.4單元網(wǎng)格劃分的控制單元網(wǎng)格的生成方式主要取決于所分析的問題。盡量生成規(guī)則形狀的單元。對于復(fù)雜的幾何形狀，通常采用自由網(wǎng)格劃分方式。用局部單元尺寸控制命令與智能單元尺寸控制命令(Smartsizing)結(jié)合來控制網(wǎng)格的密度。在物理量變化劇烈的區(qū)域適當(dāng)加密網(wǎng)格。適當(dāng)?shù)胤指顜缀文Ｐ陀兄诳刂凭W(wǎng)格的密度和單元形狀。選用計算精度較高的單元。4.5參數(shù)化建模日志文件 用戶操作過程，包括幾何建模、網(wǎng)格劃分、求解等，以命令流形式保存在日志文件中(*.log)。

將日志文件保存起來，在下一次使用ANSYS軟件分析同一個模型時，可以先執(zhí)行日志文件，得到前一次上機所完成的結(jié)果。

日志文件的缺點是保存了許多中間操作，不夠簡潔。列出日志文件后，可以把該文件重新命名后保存起來。從File>ReadInputfrom…菜單項讀入保存起來的日志文件。命令輸入窗口ANSYS軟件的菜單操都有相對應(yīng)的命令，用戶可以在命令輸入窗口，直接輸入這些命令。建議使用文本編輯器編寫命令流文件，可以一次讀