《第1章三角形的證明》一、選擇題1．滿足下列條件的三角形不一定是直角三角形的是（）A．三條邊的比為5：12：13B．三個(gè)角的度數(shù)比為2：3：5C．有一邊等于另一條邊的一半D．三角形的三邊長(zhǎng)分別是24、25和72．已知下列命題：①若a≤0，則|a|=﹣a；②若ma2＞na2，則m＞n；③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；④垂直于弦的直徑平分弦．其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）為（）A．12m B．13m C．16m D．17m4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點(diǎn)C到AB的距離是（）A． B． C． D．5．如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為MN，則線段CN長(zhǎng)是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm二、填空題6．如圖，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則AE=．7．下列命題中，其逆命題成立的是．（只填寫序號(hào)）①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；③如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；④如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C′點(diǎn)，那么△ADC′的面積是．9．如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為cm．10．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=度．三、解答題11．如圖，BC=4cm，AB=3cm，AF=12cm，AC⊥AF，正方形CDEF的面積是169cm2，試判斷△ABC的形狀？12．如圖所示、△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．（1）求證：△AOC≌△BOD；（2）若AD=1，BD=2，求CD的長(zhǎng)．13．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長(zhǎng)邊，當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）．（1）當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為三角形．（2）猜想，當(dāng)a2+b2c2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2c2時(shí)，（3）判斷當(dāng)a=2，b=4時(shí)，△ABC的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍．

《第1章三角形的證明》參考答案與試題解析一、選擇題1．滿足下列條件的三角形不一定是直角三角形的是（）A．三條邊的比為5：12：13B．三個(gè)角的度數(shù)比為2：3：5C．有一邊等于另一條邊的一半D．三角形的三邊長(zhǎng)分別是24、25和7【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進(jìn)行分析，從而得到答案．【解答】解：A、因?yàn)槠浞瞎垂啥ɡ淼哪娑ɡ?，所以是直角三角形，故正確；B、因?yàn)楦鶕?jù)三角形內(nèi)角和定理可求出三個(gè)角分別為36度，54度，90度，所以是直角三角形，故正確；C、因?yàn)楦鶕?jù)三角形內(nèi)角和公式得三個(gè)角中沒有90°角，所以不是直角三角形，故不正確；D、因?yàn)槠浞瞎垂啥ɡ淼哪娑ɡ?，所以是直角三角形，故正確；故選D．【點(diǎn)評(píng)】題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理或三角形的內(nèi)角和定理來判定．2．（2023?包頭）已知下列命題：①若a≤0，則|a|=﹣a；②若ma2＞na2，則m＞n；③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；④垂直于弦的直徑平分弦．其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】命題與定理．【分析】先對(duì)每一命題進(jìn)行判斷，再寫出每一命題的逆命題，然后判斷出真假，即可得出原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)．【解答】解：①若a≤0，則|a|=﹣a是真命題，逆命題為若|a|=﹣a，則a≤0是真命題，②若ma2＞na2，則m＞n是真命題，逆命題為若m＞n，則ma2＞na2是假命題，③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形是真命題，逆命題為平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等是真命題，④垂直于弦的直徑平分弦是真命題，逆命題為平分弦的直徑垂直于弦是假命題，所以原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理；主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題，關(guān)鍵是要熟悉有關(guān)的性質(zhì)定理．3．（2023?濟(jì)南）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）為（）A．12m B．13m C．16m D．17m【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)旗桿高度為x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：設(shè)旗桿高度為x，則AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗桿的高度為17米．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．4．（2023?廣州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點(diǎn)C到AB的距離是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】勾股定理；點(diǎn)到直線的距離；三角形的面積．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后過C作CD垂直于AB，由直角三角形的面積可以由兩直角邊乘積的一半來求，也可以由斜邊AB乘以斜邊上的高CD除以2來求，兩者相等，將AC，AB及BC的長(zhǎng)代入求出CD的長(zhǎng)，即為C到AB的距離．【解答】解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根據(jù)勾股定理得：AB==15，過C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，又S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴CD===，則點(diǎn)C到AB的距離是．故選A【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理，點(diǎn)到直線的距離，以及三角形面積的求法，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為MN，則線段CN長(zhǎng)是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考點(diǎn)】勾股定理；翻折變換（折疊問題）．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若設(shè)CN=x，則DN=NE=8﹣x，CE=4cm，根據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)CN=xcm，則DN=（8﹣x）cm，由折疊的性質(zhì)知EN=DN=（8﹣x）cm，而EC=BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故選A．【點(diǎn)評(píng)】折疊問題其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，通常用勾股定理解決折疊問題．二、填空題6．如圖，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則AE=3．【考點(diǎn)】勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知：兩腰上的高相等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的長(zhǎng)．【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，∴AD=BE=4，∵AB=5，∴AE==3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，題目比較簡(jiǎn)單．7．下列命題中，其逆命題成立的是①④．（只填寫序號(hào)）①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；③如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；④如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．【考點(diǎn)】命題與定理；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；角的概念；平行線的判定與性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理．【專題】推理填空題．【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再分析逆命題是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【解答】解：①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，正確；②如果兩個(gè)角相等，那么它們是直角，錯(cuò)誤；③如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，錯(cuò)誤；④如果一個(gè)三角形是直角三角形，c為斜邊，則a2+b2=c2，正確．故答案為①④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題，難度適中．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C′點(diǎn)，那么△ADC′的面積是6cm2．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；勾股定理．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)勾股定理得到AB=10cm，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DC=DC′，BC=BC′=6cm，則AC′=4cm，在Rt△ADC′中利用勾股定理得（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm，∵將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C′點(diǎn)，∴△BCD≌△BC′D，∴∠C=∠BC′D=90°，DC=DC′，BC=BC′=6cm，∴AC′=AB﹣BC′=4cm，設(shè)DC=xcm，則AD=（8﹣x）cm，在Rt△ADC′中，AD2=AC′2+C′D2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，∵∠AC′D=90°，∴△ADC′的面積═×AC′×C′D=×4×3=6（cm2）．故答案為6cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕垂直平分．也考查了勾股定理．9．如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為5cm．【考點(diǎn)】平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}．【專題】壓軸題；探究型．【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′C的長(zhǎng)度即為所求．【解答】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，則A′C即為最短距離，A′C====5cm．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．10．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=135度．【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，△EBE′是直角三角形，進(jìn)而得出∠BEE′=∠BE′E=45°，即可得出答案．【解答】解：連接EE′∵△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE與△CE′B全等∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C∴∠BEE′=∠BE′E=45°，∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，∴EC2=E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°，∴∠AEB=135°．故答案為：135．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)已知得出△EBE′是直角三角形是解題關(guān)鍵．三、解答題11．如圖，BC=4cm，AB=3cm，AF=12cm，AC⊥AF，正方形CDEF的面積是169cm2，試判斷△ABC的形狀？【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；勾股定理的逆定理；正方形的性質(zhì)．【分析】首先根據(jù)正方形的面積求出FC的長(zhǎng)，再在Rt△ACF中利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理逆定理證明∠B=90°即可．【解答】解：∵正方形CDEF的面積是169cm2，∴FC=13cm…（1分），在Rt△ACF中，由勾股定理得，AC2=CF2﹣AF2=132﹣122=25，…（3分）在△ABC中，因?yàn)锳B2+BC2=32+42=25=AC2…（4分）由勾股定理的逆定理得：△ABC是直角三角形．…（5分）【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理的逆定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是求出AC得出長(zhǎng)．12．如圖所示、△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．（1）求證：△AOC≌△BOD；（2）若AD=1，BD=2，求CD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（1）因?yàn)椤螦OB=∠COD=90°，由等量代換可得∠DOB=∠AOC，又因?yàn)椤鰽OB和△COD均為等腰直角三角形，所以O(shè)C=OD，OA=OB，則△AOC≌△BOD；（2）由（1）可知△AOC≌△BOD，所以AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代換求得∠CAB=90°，則CD=．【解答】（1）證明：∵∠DOB=90°﹣∠AOD，∠AOC=90°﹣∠AOD，∴∠BOD=∠AOC，又∵OC=OD，OA=OB，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS）；（2）解：∵△AOC≌△BOD，∴AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=90°，∴CD===．【點(diǎn)評(píng)】此題為全等三角形判定的綜合題．考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．13．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長(zhǎng)邊，當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）．（1）當(dāng)△AB