2/6/20231課件一、重點與難點重點：難點：留數(shù)的計算與留數(shù)定理留數(shù)定理在定積分計算上的應用2/6/20232課件二、內(nèi)容提要留數(shù)計算方法可去奇點孤立奇點極點本性奇點函數(shù)的零點與極點的關系對數(shù)留數(shù)留數(shù)定理留數(shù)在定積分上的應用輻角原理路西原理2/6/20233課件定義

如果洛朗級數(shù)中不含

的負冪項,那末孤立奇點

稱為

的可去奇點.i)

可去奇點2/6/20235課件ii)極點

定義

如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的負冪項,其中關于的最高冪為即級極點.那末孤立奇點稱為函數(shù)的或?qū)懗?/6/20236課件極點的判定方法在點的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.(a)由定義判別(b)由定義的等價形式判別(c)利用極限判斷.2/6/20237課件i)零點的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱為的

m級零點.3)函數(shù)的零點與極點的關系ii)零點與極點的關系如果是的m級極點,那末就是的

m級零點.反過來也成立.2/6/20239課件2.留數(shù)記作定義

如果的一個孤立奇點,則沿內(nèi)包含的任意一條簡單閉曲線

C的積分的值除后所得的數(shù)稱為以2/6/202310課件1)留數(shù)定理

設函數(shù)在區(qū)域

D內(nèi)除有限個孤外處處解析,C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,那末立奇點留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).2/6/202311課件c)設及在如果那末為一級極點,且有都解析，如果為的級極點,那末b)2/6/202313課件也可定義為記作1.定義設函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線那末積分值為在的留數(shù).的值與C無關,則稱此定3)無窮遠點的留數(shù)2/6/202314課件如果函數(shù)在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點,那末在所有各奇點(包括

點)的留數(shù)的總和必等于零.

定理2/6/202315課件2/6/202317課件2）無窮積分2/6/202318課件3）混合型無窮積分2/6/202319課件

4.對數(shù)留數(shù)定義具有下列形式的積分:內(nèi)零點的總個數(shù),P為

f(z)在C內(nèi)極點的總個數(shù).其中,N為

f(z)在C且C取正向.2/6/202321課件如果

f(z)在簡單閉曲線C上與C內(nèi)解析,且在C上不等于零,那么

f(z)在C內(nèi)零點的個數(shù)等于乘以當z沿C的正向繞行一周f(z)的輻角的改變量.輻角原理路西定理2/6/202322課件三、典型例題解2/6/202323課件2/6/202325課件例2求函數(shù)的奇點，并確定類型.解是奇點.是二級極點;是三級極點.2/6/202326課件解2/6/202329課件解為奇點,當時為一級極點，2/6/202330課件2/6/202331課件解的一級極點為2/6/202332課件例5計算積分為一級極點，為七級極點.解2/6/202333課件由留數(shù)定理得2/6/202334課件例6

解在內(nèi),2/6/202335課件2/6/202336課件解例7計算2/6/202337課件2/6/202338課件例8

計算解令2/6/202339課件極點為：2/6/202340課件例9計算積分解極點為其中由留數(shù)定