第2章質點力學的運動定律守恒定律（Newton’slawsofmotion）§2.1質點力學的基本定律§2.2動量動量守恒定律§2.3功動能勢能機械能守恒定律§2.4角動量角動量守恒定律§2.5剛體定軸轉動

牛頓作業(yè)：練習冊選擇題：1-13填空題：1-10計算題：1-8英國著名詩人Pope寫道：自然界和自然界的規(guī)律隱藏在黑暗中，上帝說：“讓牛頓去吧！”于是一切成為光明。1牛頓的生平簡介少年時代的牛頓，天資平常，但很喜歡制作各種機械模型，他有一種把自然現象、語言等進行分類、整理、歸納的強烈嗜好，對自然現象極感興趣。牛頓末出娘腹，父親便去世，在舅舅和外祖母的撫養(yǎng)下長大，從小體弱多病。1661年6月，他以“減費生”身份考入劍橋大學三一學院。他比一般同學都大四、五歲，但他從小有個好習慣，就是愛親自動手做小機械之類的玩藝兒，手極巧。入學后遇著一個叫巴羅的好老師的悉心栽培，這遲熟的牛頓茅塞頓開，學業(yè)進步很大，經常提出一些自然和數學方面的問題，使巴羅又驚又喜。誰知好景不長，學習不到三年，便發(fā)生了席卷全國的大瘟疫，倫敦在1665年一個夏天便死了二萬多人。學校只好放假，牛頓卷著鋪蓋又回到老家沃爾斯索普村。2

1667年，可怕的瘟疫剛消失，牛頓便重返校園，翌年獲碩士學位。不知是膽怯還是出于慎重，他對自己在鄉(xiāng)間從蘋果落地而得出的萬有引力定律，再未張揚。1684年12月，在哈雷的鼓動下，牛頓將《論運動》送到皇家學會，二年后公布有萬有引力的巨著《自然哲學的數學原理》第一編也送到皇家學會。這本書可以看作經典物理學的《圣經》。牛頓在此書中建立了一個完備自洽的物理學體系?！蹲匀徽軐W的數學原理》“我把這部著作叫做《自然哲學的數學原理》，因為哲學的全部任務看來就在于從各種運動現象來研究各種自然之力，而后用這些力去論證其他的現象。”3

1727年3月20日，牛頓病逝，享年85歲。英國政府為他進行了國葬。他睡進了只有英國歷史上最著名的藝術家、學者、政冶家、元帥才配安息的地方。他死后四年，人們?yōu)樗⒘诵蹅サ哪贡?，并列了這樣一段銘文：

伊薩克?牛頓爵士安葬在這里。他以近于超人的智力第一個證明了行星的運動與形狀，彗星的軌道，海洋的潮汐。他孜孜不倦地研究光線的各種不同的屈折角，顏色所生成的種種性質。對于自然、考古和圣經，他是一個勤勉、敏銳和忠實的詮釋者。在他的哲學中確認上帝的尊嚴，并在他的舉止中表現了福音的純樸。讓人類歡呼曾經存在過這樣偉大的一位人類之光。牛頓墓4直角坐標系：曲線坐標系：法向：切向：（圓周運動：=R）對慣性系成立§1質點力學的基本定律

牛頓第二定律的微分形式是基本的普遍形式，適用于高速運動情況與變質量問題。中學：大學：1.牛頓第二定律52.常見的幾種力彈力的三種形式：正壓力或支持力:物體通過一定面積相接觸而產生的相互作用力。拉力和張力:拉力是繩或線對物體的作用力;張力是繩子內部各段之間的作用力。彈簧的彈力:(1)重力：地球表面附近的物體受地球的引力作用。(2)

彈力：發(fā)生形變的物體,由于要恢復原狀,對與它接觸的物體產生的作用力。地球重力：拉力張力彈力支持力正壓力6例:如圖，質量均勻分布的粗繩拉重物，（張力有分布嗎？）已知：F

=150N，a

=

0.2m/s2，l=

4m，m

=

2kg.求：距頂端為x米處繩中的張力.拉緊的繩中任一截面兩側的兩部分之間相互作用力稱該截面處的張力.解：從頂端向下取x米繩，由牛頓第二定律#若若繩的質量忽略，則張力等于外力7質點動力學的基本問題：質點動力學問題可分為兩類：(1)

已知質點的運動，求作用于質點的力。由求：F一維直線運動，運動方程

x=x

(t)例：一質點質量為m=2kg，作直線運動，運動方程x=10t2+2t+1（SI）求質點所受的合外力。解：3.

應用牛頓定律解題8解：例：一質點質量m，運動方程，求作用于質點的合外力。9例:如圖所示，單擺運動為=0sint,為細繩與鉛直線所成的角,

0和均為常數。設擺錘質量為m，繩長為R，求繩子的張力。解：質點繞

c

點作變速圓周運動，其法向加速度為：m0RcmgT求得：10例：一質點m=1kg，直線運動，受力f=2t，設t=0

時，x0=

0，v0=1m/s，求質點的運動方程。解：(2)

已知作用于質點的力，求質點的運動。a.

選擇好坐標系；b.根據F

=

mdv/dt

的分量形式建立運動微分方程式；c.對微分方程求解，得到運動方程。11解：x0mvF阻力沿x軸負方向，表示為：F=–kv，k為常數。

將代入上式，得：當t=0時，x=0；例：質量為m的物體，以初速度v0沿水平方向向右運動，所受到的阻力與速度v

成正比，求物體的運動方程。當t=0時，v

=v012a-a慣性系非慣性系4.非慣性系慣性力問題:1.在地面的站臺上觀察金杯的運動狀態(tài)如何?2.在加速行駛的車內觀察金杯的運動狀態(tài)又如何?(答:靜止)(答:加速向左運動。)13牛頓第二定律僅僅適用于慣性系(相對于地球靜止或作勻速直線運動的物體),怎樣把牛頓第二定律推廣到非慣性系呢?非慣性系：相對地面慣性系做加速運動的物體。平動加速系：相對于慣性系作變速直線運動，但是本身沒有轉動的物體。例如：在平直軌道上加速運動的火車。轉動參考系：相對慣性系轉動的物體。例如：轉盤在水平面勻速轉動。慣性力:在非慣性系中觀察和處理物體的運動現象時,為了應用牛頓定律而引入的一種虛擬力。觀察：處理：14在平動加速參考系中慣性力:在非慣性系中牛頓第二定律的形式為慣性力不是物體間的相互作用，它沒有反作用力。

本質上是物體慣性的體現，有真實的作用效果。

15問題：在轉動參考系中，如何引入慣性力對牛頓第二定律進行推廣？大小方向沿著圓的半徑向外在轉盤上(非慣性系)觀察:小球靜止。在轉動參考系中慣性力:在地面上(慣性系)觀察:小球受彈簧拉力做圓周運動；處理：彈簧拉力客觀存在(慣性離心力)16二戰(zhàn)中的小故事：美Tinosa號潛艇攜帶16枚魚雷在太平洋離敵艦4000碼斜向攻擊，發(fā)射4枚使敵艦停航。離敵艦875碼垂直攻擊，發(fā)射11枚均未爆炸！敵艦體分析：垂直、近距慣性力大摩擦力大魚雷雷管導板撞針滑塊S′17例：在加速運動的車上分析單擺與豎直方向的夾角。(1)

確定研究對象：物體m(2)

選參照系——

車（非慣性系）(3)

在參照系上建立直角坐標系如圖；(4)

隔離物體分析力:解：運用牛頓第二定律列方程：x方向：y方向：解出:18例如圖m與M保持接觸,各接觸面處處光滑.求：m下滑過程中，相對M的加速度amM解：畫隔離體受力圖M相對地面加速運動，運動加速度設為以M為參考系畫m的受力圖以地面為參考系畫M的受力圖19以地面為參考系對M列方程以M為參考系（非慣性系）對m列方程結果為：x方向：x'方向：y'方向：20力對時間和空間的積累效應。微分形式的牛頓第二定律是關于力與加速度的瞬時關系，對于中間的每個過程必須考慮。某些情況下，并不需要考慮中間過程，可以由幾個狀態(tài)求解問題。這時候，采用積分形式的牛頓第二定律更有效。這就是動量定理與動能定理。積分表示力對時間的累積量----沖量功21求積分有：—動量定理物體在運動過程中所受到的合外力的沖量，等于該物體動量的增量。比較：中學Ft=mv2

-mv1直線運動，F—恒力普遍性，直線，曲線，直角坐標系，分量式：§2動量動量守恒定律力對時間過程的積累效應，沖量—動量。1.質點的動量定理22mF（a）0t(s)F(N)4730（b）解:由動量定理:(1)上式中F=30,v0=0,解出v4=4.16m/s(2)上式中F=70–10t,解出v7=2.78m/s(3)解出v6=4.24m/s例：如圖

a所示，質量為m=10kg的木箱，在水平拉力F的作用下，由靜止開始運動，若拉力的大小隨時間變化的關系如圖b所示，已知木箱與地面間的摩擦系數=0.2，求：t=4、7、6s時木箱速度的大小。232.質點組（系）的動量定理m1m2mn內力成對產生，矢量和為零;推廣到系統(tǒng)的所有內力矢量和為零。對第i個質點，一共有n個這樣的方程，求和：24由n個質點組成的力學系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。注意：內力不能改變系統(tǒng)的總動量；內力能改變每一個質點的動量。25

汽車發(fā)動機內氣體對活塞的推力以及各種傳動部件之間的作用力能使汽車前進嗎？使汽車前進的力是什么力？

參考解答：汽車發(fā)動機內氣體對活塞的推力以及各種傳動部件之間的作用力都是汽車系統(tǒng)的內力，內力只會改變內部各質點的運動狀態(tài)，不會改變系統(tǒng)的總動量，所以不能使汽車前進。使汽車前進的力只能是外力，這個外力就是地面給汽車的摩擦力。粗略分析如下：當汽車發(fā)動機內氣體對活塞的推力帶動傳動部件使主動輪（一般為汽車的后輪）繞輪軸轉動時，使主動輪與地面的接觸部分相對地面有向后滑動的趨勢，從而使地面對汽車施以向前的摩擦力，使汽車整體向前加速運動。由于汽車前進使從動輪（汽車的前輪）相對地面有向前的運動趨勢，因此從動輪受到地面施以的方向向后的摩擦力，該摩擦力對從動輪軸的力矩使從動輪滾動起來。所以汽車的運動最終靠的是地面施加的摩擦力。26=常矢量如果系統(tǒng)所受的外力之和為零（即），則系統(tǒng)的總動量保持不變。這個結論叫做動量守恒定律。條件3.動量守恒定律直角坐標系下的分量形式=常量=常量=常量27關于動量守恒定律，注意幾點：開始靜止，加上一對力后，轉動；動量守恒嗎？每一對對應點的動量矢量合還是為零。(2)碰撞、打擊—摩擦力、重力作用，外力矢量合不為零(因t很短,碰撞、打擊的內力遠大于外力),仍有動量守恒.(3)外力矢量合不為零,但沿著某一方向分量的代數合為零,總動量在該方向的分量守恒.(1)動量是矢量，是矢量守恒。28例：車(M)長l,人(m)，車對地光滑,問人從車的一端走到另一端時,人和車各對地移動了多少?x人x車解:(人,車)—系統(tǒng)沿水平方向,動量守恒.一維直線運動,29

物體m與質元dm在

t

時刻的速度以及在

t

+

dt

時刻合并后的共同速度如圖所示：mdmm+dm把物體與質元作為系統(tǒng)考慮，初始時刻與末時刻的動量分別為：初始時刻末時刻4.變質量物體的運動方程30對系統(tǒng)利用動量定理略去二階小量，兩端除d

t值得注意的是，dm可正可負，當dm取負時，表明物體質量減小，對于火箭之類噴射問題，為尾氣推力。變質量物體運動微分方程31(1)確定研究系統(tǒng),取定坐標系(2)寫出系統(tǒng)動量表達式(3)求出系統(tǒng)動量變化率(4)分析系統(tǒng)受力(5)應用動量定理求解變質量問題的處理方法例1：裝煤車的牽引力例2：勻速提柔軟鏈條32例：一輛煤車以v

=3m/s的速率從煤斗下面通過,每秒鐘落入車廂的煤為△m=500kg。如果車廂的速率保持不變,應用多大的牽引力拉車廂?設以地面為參考系，建立坐標系如圖，解:

研究對象：t時刻車中煤的總質量m和

t+dt

時刻落入車廂的煤的質量dm

t

時刻和t+dt時刻系統(tǒng)水平總動量分別為:dt時間內系統(tǒng)水平總動量增量為:由動量定理可得:mdmOx33例：柔軟的繩盤在桌面上，總質量為m0，總長度l,質量均勻分布，均勻地以速度v0提繩。求：繩子被拉上任一段后，繩端的拉力F。解：(方法一)取整個繩子為研究對象(系統(tǒng))受力圖t時刻繩子被拉上x,

t+dt

時刻繩子被拉上x+dx

t

時刻和t+dt時刻系統(tǒng)總動量分別為:34已提升的質量(主體)m和將要提升的質量dm(方法二)

系統(tǒng)是：

t

時刻和t+dt時刻系統(tǒng)總動量分別為:35質點系的質量中心，簡稱質心。具有長度的量綱，描述與質點系有關的某一空間點的位置。質心運動反映了質點系的整體運動趨勢。5.

質心質心運動定理拋手榴彈的過程COxy36質心(質量中心)定義對于分立體系：直角坐標系下：xzyOm2m1mimNc37M對于連續(xù)體：直角坐標系下：(xcyczc)cxzyOdm38dxx例:求腰長為a等腰直角三角形均勻薄板的質心位置。這個結果和熟知的三角形重心位置一致。三角形質心坐標xc是解:因為等腰直角三角形對于直角的平分線對稱，所以質心位于此分角線上。以此分角線為x軸，作坐標軸如圖所示。Oxy在離原點處取寬度為dx的面積元，由于面積元的高度為2y，所以其面積為2ydx=2xdx。設薄板每單位面積的質量為，則此面積元的質量dm=2xdx。39解因為等腰直角三角形對于直角的平分線對稱，所以質心位于此分角線上。以此分角線為x軸，作坐標軸如所示。在離原點處取寬度為dx的面積元，由于面積元的高度為2y，所以其面積為2ydx=2xdx。設薄板每單位面積的質量為，則此面積元的質量略去二階無窮小dxxOxydy40——質心運動定理表明：不管物體的質量如何分布，也不管外力作用在物體的什么位置上，質心的運動就象是物體的質量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一個質點的運動一樣。質心的運動只由合外力決定，內力不能改變質心的運動情況。質心運動反映了質點系的整體運動趨勢。41動量守恒定律=常矢量=常矢量系統(tǒng)所受合外力矢量和為零，動量守恒。即質心速度保持不變！42天安門前放焰火時，一朵五彩繽紛的焰火的質心的運動軌跡如何？（忽略空氣阻力與風力）為什么在空中焰火總是以球形逐漸擴大？答：由質心運動定理F=mac可知，系統(tǒng)的外力決定質心的運動。天安門前放焰火時，若不計阻力和風力，焰火受到的外力只有重力，所以焰火質心的運動軌跡就是一條拋物線。焰火在空中炸開時，由于爆炸力遠遠大于重力，可近似認為焰火系統(tǒng)動量守恒，焰火各質點的動量之和必須保持為零，所以各方向的動量都有，且相反方向的動量大小必定相等，從而使空中的焰火大致以球形逐漸擴大。43例：

一質量m1=50kg的人站在一條質量m2=200kg,長度l=4m的船頭上。開始時船靜止,求當人從船頭走到船尾時船移動的距離d=？x0yC船C船解:取人和船為系統(tǒng),該系統(tǒng)在水平方向不受外力,因而水平方向的質心速度不變,即質心始終靜止不動。當人在船左端時,人和船這個系統(tǒng)的質心坐標為當人在船右端時,人和船這個系統(tǒng)的質心坐標為由于所以即:求當人從船頭走到船尾時船移動的距離441.功（定義）、變力做功的計算.ab軌道分成N個小段,每個小段足夠小,其上F大小、方向均一定，按恒力作功，有：取i小段,有:§3功動能

勢能機械能守恒定律

牛頓定律——瞬時作用關系?，F在研究質點在力的持續(xù)作用下，力對物體的積累效應。力的空間積累對質點運動的影響。45直角坐標系：功率：t內作功A，平均功率：瞬時功率：或ab46例：已知力質點從原點移動到

x

=

8,y

=

6處該力做功多少?47例:某物體質量

m=2kg，受力F

=

12t（N）從靜止出發(fā)沿

x

軸作直線運動。ox求：3s內該力做了多少功？解:若質點沿x軸運動48(1)直線運動：(2)曲線運動：求導：代入上式，有：合外力對物體所作的功等于物體動能的增量。2.質點的動能定理dv不僅產生于v

方向的改變，而且也決定于v

大小的變化。49例.一質量為m的擺球系在線的一端，線長l；水平靜止然后下落。求擺線與水平方向成0角時，擺球的速率。m解：任取擺線與水平方向成

角時(即任取一中間過程)分析,對擺球，外力：P，T下擺d，dr時：ddSv由動能定理：思考：A重力做功=？PT503.保守力勢能

Ep以保守力相互作用的物體系統(tǒng)，在一定的相對位置狀態(tài)下所具有的能量稱勢能。重力勢能彈力勢能引力勢能定義：力F作功與始末位置有關，與路徑無關。F—保守力功的大小只與物體的始末位置有關，而與所經歷的路徑無關，這類力叫做保守力。不具備這種性質的力叫做非保守力。保守力

510xyabcm在重力P的作用下從a-b-c，重力P作的功。Py1y2h如果質點沿a-d-c下落，計算過程與結果與此完全一樣。d重力作功與始末位置有關，與路徑無關。如果m：c-b-a，所以，adcba一周，重力勢能,(重力勢能——重力作功）任取一中間元過程52彈性勢能（彈性力作功）x0mkm：x1—x2彈性力勢能與保守力作功的一般關系：保守力作正功，勢能減少。保守力作負功（外力反抗保守力作功），勢能增加。彈性力作功也僅僅與質點的始末位置有關，與具體路徑無關。53系統(tǒng)中一對內力的功設有兩個質點1和2，質量分別為m1和m2，f1為質點1受到質點2的作用力，f2為質點2受到質點1的作用力，它們是一對作用力和反作用力。思考:這樣一對內力的功與參照系有關嗎?0dt時間質點2對質點1的相對位移由此可見，一對作用力與反作用力所作的總功只與作用力f2及相對位移dr12有關。表明：任何一對作用力和反作用力所作的總功具有與參考系選擇無關的不變性質。54引力勢能(計算一對萬有引力的功)由此可見，萬有引力作功也僅僅與質點的始末位置有關，與具體路徑無關。

兩個物體的質量分別為M和m，它們之間有萬有引力作用。這一對萬有引力作功之和只取決于它們間的相對運動，選擇不同的坐標系計算這一對力作功之和都會得出相同的結果。M靜止，以M為原點O建立坐標系，研究m

相對M的運動。55重力勢能彈性勢能引力勢能勢能曲線56勢能曲線的作用：保守力沿某坐標軸的分量等于勢能對此坐標的導數的負值。(1)根據勢能曲線的形狀可以討論物體的運動。(2)利用勢能曲線，可以判斷物體在各個位置所受保守力的大小和方向。例：雙原子分子勢能曲線

rEp

r0or=r0時，

有fr

=0平衡位置r>r0時，

有fr<0，指向r的減小方向，是引力。

r<r0時，有

fr

>0，指向r增大的方向，是斥力。57123外力外力外力內力內力內力內力和外力內力：系統(tǒng)內各質點之間的相互作用力。N個質點組成系統(tǒng)——質點組。對第i個質點：(i=1,2,3……N)把

N

個方程加起來:4.質點組的動能定理所有外力作的功與所有內力作的功的代數和等于系統(tǒng)總動能的增量質點組的動能定理.58內力：保守內力或非保守內力。質點組的動能定理系統(tǒng)外力與非保守內力作功之和等于系統(tǒng)機械能的增量功能原理機械能守恒定律：如果一個系統(tǒng)內只有保守內力做功，或者非保守內力與外力的總功為零，則系統(tǒng)內各物體的動能和勢能可以互相轉換，但機械能的總值保持不變。這一結論稱為機械能守恒定律。59勢能零點（地面附近）質點系重力勢能的計算例：均質細棒的重力勢能總長l，總質量m勢能零點60運用功能原理解題步驟:(1)確定研究對象——“系統(tǒng)”（保守力的施力體劃在系統(tǒng)內）;(2)分析系統(tǒng)所受的力及力所做的功；(3)選擇慣性系建坐標；(4)選擇零勢能點；(5)計算始末態(tài)的機械能及各力所做的功;(6)應用功能原理列方程解方程。61kmv0mgNfF解：以小球和彈簧作為系統(tǒng)，所受外力為重力mg、支持力N、摩擦力f

和固定端對彈簧的拉力F。在小球運動過程中只有摩擦力作負功，其余外力均不作功。系統(tǒng)處于末狀態(tài)2時，小球有最大位移xmax，根據功能原理，得：例：一個倔強系數為k的輕彈簧，一端固定，另一端系一質量為m的小球，放在桌面上。此時彈簧處于自然長度。設小球具有水平向右的速率v0，球與桌面的摩擦系數為μ，求小球向右運動的最大位移xmax

.系統(tǒng)處于初狀態(tài)1時，彈簧為自然長，彈性勢能為零，動能為62例:一根質量為m長為

L的勻質鏈條,放在摩擦系數為的水平桌面上,其一端下垂,長度為a,如圖所示,設鏈條由靜止開始運動,求:⑴鏈條離開桌面過程中摩擦力所做的功;⑵鏈條剛剛離開桌面時的速率。L-aa(1)確定研究對象——“系統(tǒng)”=鏈條+桌面+地球;(2)分析系統(tǒng)所受的力及力所做的功；(3)選擇地球慣性系建立坐標系；(4)選擇零勢能點；(原點所在水平位置)摩擦力ox