廣東省江門市沙岡中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a參考答案：B【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：log0.60.5＞1，ln0.5＜0，0＜0.60.5＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，故a＞c＞b，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．2.若函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f[f（x）+]=，則f（log23）=（）A．1 B． C． D．0參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】由已知可得f（x）+=a恒成立，且f（a）=，求出a=1后，將x=log23代入可得答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f[f（x）+]=，∴f（x）+=a恒成立，且f（a）=，即f（x）=﹣+a，f（a）=﹣+a=，解得：a=1，∴f（x）=﹣+1，∴f（log23）=，故選：C3.（5分）已知函數(shù)f（x）=，則f[f（﹣2）]=（） A． 8 B． ﹣8 C． 16 D． 8或﹣8參考答案：A考點(diǎn)： 函數(shù)的值．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)分段函數(shù)f（x）的解析式，求出f[f（﹣2）]的值即可．解答： ∵函數(shù)f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2=4，∴f[f（﹣2）]=f[4]=2×4=8．故選：A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了根據(jù)分段函數(shù)的解析式，求出函數(shù)值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．4.關(guān)于直線、與平面、，有下列四個(gè)命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若且，則；其中真命題的序號(hào)是(

).A．①②

B．②③

C．①④

D．③④參考答案：B5.已知a＞b且ab≠0,則在：①a2＞b2；②2a＞2b；③＜；

④；

⑤＜

這五個(gè)關(guān)系式中,恒成立的有（

）(A)1個(gè)

(B)2個(gè)

(C)3個(gè)

(D)4個(gè)參考答案：D6.若角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則（）A．α+β=π+kπ（k∈Z） B．α+β=π+2kπ（k∈Z）C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】終邊相同的角．【分析】根據(jù)角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，即可確定α與β的關(guān)系．【解答】解：∵π﹣α是與α關(guān)于y軸對(duì)稱的一個(gè)角，∴β與π﹣α的終邊相同，即β=2kπ+（π﹣α）∴α+β=α+2kπ+（π﹣α）=（2k+1）π，故答案為：α+β=（2k+1）π或α=﹣β+（2k+1）π，k∈z，故選：B．7.已知直線，平面，下列命題中正確的是

（

）A.，，

∥，則

B.，，，則C.∥，，

∥，則D.⊥，，，則參考答案：C略8.已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則φ可能是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由三角函數(shù)圖象與性質(zhì)可知，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則此時(shí)相位必為kπ+，k∈z，由此建立方程求出φ的表達(dá)式，再比對(duì)四個(gè)選項(xiàng)選出正確選項(xiàng)【解答】解：∵函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱∴2×+φ=kπ+，k∈z，∴φ=kπ+，k∈z，當(dāng)k=0時(shí)，φ=，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正確解答本題，關(guān)鍵是了解函數(shù)對(duì)稱軸方程的特征，及此時(shí)相位的特征，由此特征建立方程求參數(shù)，熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是迅速，準(zhǔn)確解三角函數(shù)相關(guān)的題的關(guān)鍵，9.滿足條件的集合的個(gè)數(shù)是（

）A.4

B.3

C.2

D.1參考答案：C10.若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則△ABC一定是

（

）A．等邊三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11._____．參考答案：2【分析】先通分，再利用二倍角的正弦公式和和角的余弦公式化簡(jiǎn)即得解.【詳解】.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和三角化簡(jiǎn)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.12.若,則________.參考答案：【分析】先求，再代入求值得解.【詳解】由題得所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.13.已知點(diǎn)A（﹣1，2），B（1，3），則向量的坐標(biāo)為

．參考答案：（2，1）【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示，即可寫出向量的坐標(biāo)．【解答】解：點(diǎn)A（﹣1，2），B（1，3），則向量=（1﹣（﹣1），3﹣2）=（2，1）．故答案為：（2，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．14.函數(shù)的值域是

.參考答案：略15.若是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)

參考答案：16.某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶的零售價(jià)由100元降為81元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，設(shè)為，為求兩次降價(jià)的百分率則列出方程為____________.參考答案：略17.已知方程3x+x=5的根在區(qū)間[k，k+1）（k∈Z），則k的值為．參考答案：1【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】方程3x+x=5的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=3x+x﹣5的零點(diǎn)問題，把區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值代入驗(yàn)證即可．【解答】解：令f（x）=3x+x﹣5，由y=3x和y=x﹣5均為增函數(shù)，故f（x）=3x+x﹣5在R上為增函數(shù)，故f（x）=3x+x﹣5至多有一個(gè)零點(diǎn)，∵f（1）=3+1﹣5＜0f（2）=9+2﹣5＞0∴f（x）=3x+x﹣5在區(qū)間[1，2]有一個(gè)零點(diǎn)，即方程方程3x+x=5的解所在區(qū)間為[1，2]，故k=1，故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】考查方程的根和函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系，即函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）某港口的水深y（米）是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：小時(shí)）的函數(shù)，下面是每天時(shí)間與水深的關(guān)系表：t03691215182124y10139.97101310.1710經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)，y=f（t）可近似的看成是函數(shù)y=Asinωt+b（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y=f（t）的解析式；（2）若船舶航行時(shí)，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪幾段時(shí)間可以安全的進(jìn)出該港？參考答案：考點(diǎn)： 已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題．專題： 計(jì)算題．分析： （1）由表中數(shù)據(jù)可以看到：水深最大值為13，最小值為7，求出b和A；再借助于相隔9小時(shí)達(dá)到一次最大值說明周期為12求出ω即可求出y=f（t）的解析式；（2）把船舶安全轉(zhuǎn)化為深度f(wàn)（t）≥11.5，即；再解關(guān)于t的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪幾段時(shí)間可以安全的進(jìn)出該港．解答： （1）由表中數(shù)據(jù)可以看到：水深最大值為13，最小值為7，∴=10，且相隔9小時(shí)達(dá)到一次最大值說明周期為12，因此，，故（0≤t≤24）（2）要想船舶安全，必須深度f(wàn)（t）≥11.5，即∴，解得：12k+1≤t≤5+12k

k∈Z又0≤t≤24當(dāng)k=0時(shí)，1≤t≤5；當(dāng)k=1時(shí)，13≤t≤17；故船舶安全進(jìn)港的時(shí)間段為（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用問題．解決本題的關(guān)鍵在于求出函數(shù)解析式．求三角函數(shù)的解析式注意由題中條件求出周期，最大最小值等．19.已知函數(shù)，，設(shè)．（）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（）求函數(shù)的值域（不需說明理由）．參考答案：見解析（）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，∴為偶函數(shù)．（）任取，且，．∵，∴，∴，即，∴在遞減，在遞增．（）值域?yàn)椋?0.數(shù)列滿足：；令；求參考答案：解析：改寫條件式為，則，所以，；；．21.（8分）如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上，寫出這個(gè)梯形周長(zhǎng)y和腰長(zhǎng)x間的函數(shù)解析式，定義域，并求出周長(zhǎng)的最大值．參考答案：考點(diǎn)： 不等式的實(shí)際應(yīng)用．專題： 應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 作DE⊥AB于E，連接BD，根據(jù)相似關(guān)系求出AE，而CD=AB﹣2AE，從而求出梯形ABCD的周長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x間的函數(shù)解析式，根據(jù)AD＞0，AE＞0，CD＞0，可求出定義域；利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上求出最值的知識(shí)可求出函數(shù)的最大值．解答： 解：如圖，作DE⊥AB于E，連接BD．因?yàn)锳B為直徑，所以∠ADB=90°．在Rt△ADB與Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，所以Rt△ADB∽R(shí)t△AED．所以，即．又AD=x，AB=4，所以．所以CD=AB﹣2AE=4﹣，于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣+2x+8由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，，4﹣＞0，解得0＜x，故所求的函數(shù)為y=﹣+2x+8（0＜x）y=﹣+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，又0＜x，所以，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值10．點(diǎn)評(píng)： 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題．射影定理的應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵，二次函數(shù)在解決實(shí)際問題中求解最值的常用的方法，屬于中檔題．22.（14分）若函數(shù)f（x）為定義域D上單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間[a，b]?D（其中a＜b），使得當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的取值范圍恰為[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)，區(qū)間[a，b]叫做等域區(qū)間．（1）函數(shù)h（x）=x2（x≤0）是否是正函數(shù)？若是，求h（x）的等域區(qū)間，若不是，請(qǐng)說明理由；（2）已知是[0，+∞）上的正函數(shù)，求f（x）的等域區(qū)間；（3）試探究是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：考點(diǎn)： 分段函數(shù)的應(yīng)用．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）先假設(shè)h（x）是正函數(shù)，則當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，即，判斷此方程是否有解即可；（2）因?yàn)槭荹0，+∞）上的正函數(shù)，然后根據(jù)正函數(shù)的定義建立方程組，解之可求出f（x）的等域區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函數(shù)建立方程組，消去b，求出a的取值范圍，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的方程a2+a+m+1=0在區(qū)間（﹣1，﹣）內(nèi)有實(shí)數(shù)解進(jìn)行求解．解答： （1）函數(shù)h（x）=x2（x≤0）不是正函數(shù)．理由如下：因?yàn)楹瘮?shù)y=x2在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，若h（x）是正函數(shù)，則當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，即，消去b得a3=1，而a＜0，∴無(wú)解所以函數(shù)h（x）=x2（x≤0）不是正函數(shù)．（2）因?yàn)?是[0，+∞）上的正函數(shù)，且