全等三角形專題講解（一）知識儲備１、全等三角形的概念：(１）可以重合的兩個圖形叫做全等形。(2）兩個三角形是全等形，就說它們是全等三角形。兩個全等三角形,通過運動后一定重合,互相重合的頂點叫做相應頂點；互相重合的邊叫做相應邊；互相重合的角叫做相應角。（３)全等三角形的表達：如圖,△ABC和△ＤEF是全等三角形，記作△ABＣ≌△DEＦ，符號“≌”表達全等，讀作“全等于”。注意：記兩個三角形全等時,通常把表達相應頂點的字母寫在相應的位置上。2、全等三角形的性質:全等三角形的相應邊相等,相應角相等。【例1】如圖,△ABC≌△DEF,則有：AB=ＤE，AＣ=DF,BC=EF；∠Ａ=∠D，∠Ｂ＝∠E,∠C=∠F。3、全等三角形的鑒定定理：S.A.S“邊角邊”公理:兩邊和它們的夾角相應相等的兩個三角形全等?！纠?】A.S.A“角邊角”公理：兩角和它們的所夾邊相應相等的兩個三角形全等?！纠场緼.A.S“角角邊”公理：兩個角和其中一個角的對邊相應相等的兩個三角形全等?！纠?】Ｓ.S.S“邊邊邊”公理:三邊相應相等的兩個三角形全等?！纠?】Ｈ.L“斜邊直角邊“公理斜邊和一條直角相應相等的兩個直角三角形全等。【例6】(二)雙基回眸１、下列說法中,對的的個數(shù)是（）①全等三角形的周長相等②全等三角形的相應角相等③全等三角形的面積相等④面積相等的兩個三角形全等A．4?B.3?C．2?D．12、假如ΔAＢＣ≌ΔDEＦ,則AB的相應邊是＿＿___,AC的相應邊是____＿，∠C的相應角是＿＿___,∠DEF的相應角是____＿．如圖，△AＢC≌△BＡD，Ａ和B、C和D是相應頂點,假如AB=5，BD＝6,AD=4,那么BC等于（）A.6 B.5 C.4?D．無法擬定如圖,△ＡBC≌ΔADE,若∠Ｂ＝80°,∠Ｃ=30°，∠ＤＡC=3５°，則∠EＡC的度數(shù)為（)A．40° B.３5° Ｃ．30°?D.2５°5、能擬定△ＡＢC≌△ＤＥF的條件是（）A.AB=DE，BC=ＥF,∠A=∠ＥB．ＡＢ=DE,BＣ=EF,∠C=∠EC．∠A＝∠E,ＡB=EF，∠Ｂ＝∠DD.∠Ａ＝∠Ｄ,AＢ＝DＥ，∠Ｂ＝∠Ｅ６、如圖，已知△ＡBＣ的六個元素,則下面甲、乙、丙三個三角形中，和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙?B.乙和丙 C.只有乙?D．只有丙(三)例題經典例1：如圖,ΔABC≌ΔＤCB.（１）若∠D＝７4°∠DBＣ=3８°,則∠A＝___＿_,∠ABC=____＿；（2）相應邊ＡＣ＝，AＢ=；(3)假如ΔＡOB≌ΔDOC，則AO=_，BO＝_，∠Ａ=_,∠ABC=.例2:如圖，AB、CD相交于Ｏ點，AO=CO,OＤ=OB．求證：∠Ｄ=∠B．例3:如圖,ＰM＝PＮ，∠M＝∠N.求證:AM＝BＮ.例4:如圖,ACBD.求證：OA＝ＯＢ,ＯC＝OD.例5：如圖，△RPQ中,RP＝RQ,M為PQ的中點．求證：RM平分∠PRQ.例６:如圖，AＢ⊥BＤ，CD⊥BD，ＡD＝ＢＣ.求證:（1)AB＝ＤC:（2)ＡD∥BC.例6圖例6圖例7:閱讀下題及一位同學的解答過程，回答問題：如圖,AＢ和ＣD相交于點O,且OA=OB,∠A=∠C。那么△AOD與△COＢ全等嗎？若全等，試寫出證明過程；若不全等，請說明理由。答：△ＡOD≌△COB.證明:在△AOD和△CＯＢ中,例7圖例7圖∴△AOＤ≌△COB(AＳA）問:這位同學的回答及證明過程對的嗎?為什么？例８:如圖，在△ＭPN中,H是高MQ和ＮR的交點，且ＭＱ＝NQ．求證：ＨＮ＝PM.例９:如圖，AD＝AE,∠1=∠2,點D、E在ＢC上,BD=CＥ。求證：△AＢＤ≌△AＣＥ．例9圖例9圖例1０:如圖,已知AD∥CB，AＤ=ＣＢ,AE=BF，求證:(１）△ＡＦD≌△BＥC．（2)DF∥CE.拓展變式例１：如圖,∠AOB是一個任意角，在邊ＯA、OＢ上分別取ＯM=ＯN,移動角尺,使角尺兩邊相同的刻度分別與M,N重合，過角尺頂點C的射線OＣ便是∠AOB的平分線，為什么？例2：要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，可以在ＡB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC,再定出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上,這時測得的DE的長就是AB的長。寫出已知和求證，并且進行證明。實戰(zhàn)演練一、填空題1、如圖,△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，ＡC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,則∠α的度數(shù)為_＿_＿__．第1題第1題第3題第2題第3題第2題2、已知：如圖,AB=ＡＣ，BD⊥AC于Ｄ,ＣＥ⊥AB于E.欲證明BＤ＝CＥ，需證明Δ_＿__＿≌△_____＿，理由為＿___＿_．3、已知：如圖,AE＝DF，∠Ａ=∠D，欲證ΔACE≌ΔDBF,需要添加條件___＿__,證明全等的理由是＿_____；或添加條件＿__＿__，證明全等的理由是_＿___＿；也可以添加條件______，證明全等的理由是______.4、如圖，根據(jù)SAS,假如AB＝ＡC,＝，即可鑒定ΔABD≌ΔＡＣＥ.5、如圖，ＢＤ垂直平分線段AC，AE⊥BC，垂足為E,交BD于Ｐ點,ＰＥ＝３ｃm,則P點到直線AB的距離是_＿______＿_＿.第6題EDCBA第5題ECDPAB6、如圖，在等腰Rt△ABC中，∠第6題EDCBA第5題ECDPAB第4題第4題EDCBA7、如圖,△ABC≌△DEＢ，AB=ＤE,∠E＝∠ＡBＣ，則∠Ｃ的相應角為,BD的相應邊為.8、如圖,AD=AＥ，∠1＝∠2，ＢD＝CE，則有△ＡBD≌,理由是．9、如圖,AＤ⊥BC,ＤＥ⊥AB,ＤF⊥AＣ,D、E、F是垂足，ＢD＝ＣD,那么圖中的全等三角形有＿______對.第9題BA第9題BAEDC第7題圖EDABC12第8題二、選擇題1、AD是△ABC的角平分線，作ＤＥ⊥AB于E,DF⊥AＣ于Ｆ，下列結論錯誤的是（）DＥ=DＦ?Ｂ．AE=AF?C．ＢD＝CD Ｄ．∠ＡDE＝∠ADF２、下列語句中,對的的有(）（１）一條直角邊和斜邊上的高相應相等的兩個直角三角形全等(2）有兩邊和其中一邊上的高相應相等的兩個三角形全等（３)有兩邊和第三邊上的高相應相等的兩個三角形全等A．１個B.2個Ｃ.3個Ｄ.4個3、下列說法中,對的的是()A.相等的角是直角B.不相交的兩條線段平行C．兩直線平行，同位角互補Ｄ.通過兩點有且只有一條直線４、如圖,若△ABE≌△ACＦ,且AB=5,AＥ＝2,則ＥＣ的長為()A.2B.3Ｃ．５D．2.5第5題第4題第5題第4題FECBA5、如圖，∠1＝∠2,BＣ＝EF，欲證△ＡBC≌△DEF,則還須補充的一個條件是()Ａ．AＢ=DＥB．∠AＣE=∠DFＢC.ＢＦ＝ＥCD．∠ＡBＣ＝∠ＤＥF６、如圖，△ABＣ是不等邊三角形,DＥ＝BC，以Ｄ、E為兩個頂點畫位置不同的三角形,使所畫的三角形與△ＡBC全等,這樣的三角形最多可畫出()第6題Ａ.2個B.4個Ｃ.6個D.8個第6題第7題第7題７、如圖,△ＡＢＣ中,ＡD⊥BC,Ｄ為BC中點,則以下結論不對的的是（)A.△ABD≌△ACＤ B.∠B=∠CＣ.ＡD是BAC的平分線 Ｄ.△ＡBC是等邊三角形8、如圖，∠1=∠２,∠C=∠D，AC、BD交于E點，下列結論中對的的有（）①∠DAＥ=∠CBE②CＥ＝DE③△ＤEA≌△CBE④△EAＢ是等腰三角形Ａ．１個B．2個C．3個D.4個BB第8題A9、如圖,在△ABC中，AB>ＡC,AC的垂直平分線交ＡB于點Ｄ，交AC于點E，AB=1０,△BCD的周長為１8，則ＢC的長為(）A.8B．6C.4D.2三、解答題1、如圖，已知線段ａ、ｂ,求作:Rt△AＢC,使∠ACB＝９０o，BC＝ａ，ＡC=b（不寫作法,保存作圖痕跡).bbaAPBC２、如圖,BP、CP是△APBC3、如圖,已知∠1＝∠2,∠３=∠4，EC=AD,求證：AB＝ＢＥ.4、如圖,工人師傅制作了一個正方形窗架,把窗架立在墻上之前，在上面釘了兩塊等長的木條GF與GＥ,E、F分別是ＡＤ、ＢC的中點.（1）G點一定是AB的中點嗎?說明理由；（2)釘這兩塊木條的作用是什么？5、如圖，已知點A、E、F、D在同一條直線上,ＡE＝DF,BＦ⊥AD，CE⊥AD,垂足分別為Ｆ、E，BF=CE,試說明AB與ＣD的位置關系.6、閱讀下題及其證明過程:已知:如圖,D是△ABC中ＢC邊上一點，ＥB=EC，∠ABＥ＝∠ＡCE,試說明∠BAＥ與∠CAE相等的理由.理由：在△ＡEＢ和△AEC中,所以△AEＢ≌△AＥC（第一步)所以∠BAE＝∠ＣAE（第二步）問：上面證明過程是否對的?若對的，請寫出每一步推理根據(jù)；若不對的,請指犯錯在哪一步?并寫出你認為對的的推理過程.7、如圖（1),在四邊形AＢCD中，ＡD∥BC，∠ＡBC＝∠DCB，AB＝ＤC,ＡE＝DF.(1)試說