數學教育方法的核心是學生的再創(chuàng)造.教師不應該把數學當作一個已經完成了的形式理論來教，不應該將各種定義、規(guī)則、算法灌輸給學生，而是應該創(chuàng)造合適的條件，讓學生在學習數學的過程中，用自己的體驗，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關的數學知識.

第1頁/共135頁第一頁，共136頁。課堂教學內容組織主要形式為：問題情境→學生活動→意義建構→回顧反思→數學理論→數學運用第2頁/共135頁第二頁，共136頁。三角函數平面上的向量（簡稱平面向量）三角恒等變換第3頁/共135頁第三頁，共136頁。三角函數是基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用．在本模塊中，學生將通過實例，逐步理解三角函數的概念及其基本性質，認識三角函數與實際生活的聯(lián)系，體會三角函數在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用．課標要求第4頁/共135頁第四頁，共136頁。向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景．在本模塊中，學生將了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力．第5頁/共135頁第五頁，共136頁。三角恒等變換在數學中有一定的應用，同時有利于發(fā)展學生的推理能力和運算能力．在本模塊中，學生將運用向量的方法推導基本的三角恒等變換公式，由此出發(fā)導出其他的三角恒等變換公式，并能運用這些公式進行簡單的恒等變換，發(fā)展學生的推理和運算能力．第6頁/共135頁第六頁，共136頁。本章結構內容和要求本章內容的定位教學建議第7頁/共135頁第七頁，共136頁。第一章三角函數

（約16課時）第8頁/共135頁第八頁，共136頁。一、本章結構

弧度周期現象任意角三角函數三角函數線同角三角函數關系誘導公式三角函數圖象性質綜合運用第9頁/共135頁第九頁，共136頁。二、內容與要求（1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化．（2）三角函數①借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義．第10頁/共135頁第十頁，共136頁。二、內容與要求②借助單位圓中的三角函數線推導出誘導公式（π/2±α,π±α的正弦、余弦、正切），能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象，了解三角函數的周期性．③借助圖象理解正弦函數、余弦函數在[0，2π]，正切函數在（-π/2，π/2）上的性質（如單調性、最大和最小值、圖象與x軸交點等）．第11頁/共135頁第十一頁，共136頁。④理解同角三角函數的基本關系式：sin2x+cos2x=1，sinx/cosx=tanx．⑤結合具體實例，了解y=Asin（ωx+φ）的實際意義；能借助計算器或計算機畫出

y=Asin（ωx+φ）的圖象．觀察參數A，ω，φ對函數圖象變化的影響．⑥會用三角函數解決一些簡單實際問題，體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型．第12頁/共135頁第十二頁，共136頁。1．蘇教版的引言提供背景：自然界廣泛地存在著周期性現象，圓周上一點的運動是一個簡單又基本的例子．提出問題：用什么樣的數學模型來刻畫周期性運動？明確任務：建構這樣的數學模型．教學的起點是：對周期性現象的數學（分析）研究．教材的定位是：展示對周期現象進行數學研究的過程，即建構刻畫周期性現象的數學模型的（思維）過程．三、本章內容的定位第13頁/共135頁第十三頁，共136頁。2．教科書的的特點蘇教版教材把本章定位為“展示建構刻畫周期性現象的數學模型的（思維）過程”，為了保證這個定位的落實，或者說，作為定位的具體體現，教材形成了鮮明的特點．第14頁/共135頁第十四頁，共136頁。采用以問題鏈為線索的呈現方式．

既然教材要展示“思維過程”，而思維是從問題開始的，思維的過程就是不斷地提出問題，解決問題的過程．所以教材采用了以問題鏈展開的呈現方式．注意提出問題的環(huán)節(jié)，注意問題間的邏輯聯(lián)系，強化目標（建構刻畫周期性現象的數學模型）的指向作用．第15頁/共135頁第十五頁，共136頁。

任意角三角函數概念無疑是本部分的核心概念．蘇教版的教材和其它的教材一樣是在講了“任意角”、“弧度制”以后，通過對銳角三角函數的考察后建立起任意角三角函數的概念的．應該指出的，盡管在建立三角函數概念的程序上看起來是相同的，只是在具體的處理方法上有些“微妙“的差異，可是不應該小看了這里的差異，因為這些差異正是對教材不同定位的表現．案例：任意角三角函數第16頁/共135頁第十六頁，共136頁。教材中的問題鏈（1）720°是怎樣的一個角？（2）具有相同終邊的角彼此之間有什么關系？（3）在本章引言中，我們用（r，l）表示點P，那么r，l與α之間具有怎樣的關系？（4）用怎樣的數學模型建立(x，y)與(r，α)之間的關系？（5）怎樣將銳角的三角函數推廣到任意角？第17頁/共135頁第十七頁，共136頁。以“數學地研究”的一般程序來組織、選取教學內容．實際問題－建立數學模型－數學模型進行研究－利用數學模型解決實際問題第18頁/共135頁第十八頁，共136頁。教材充分發(fā)揮學習“函數”一章的經驗在建構“刻畫周期性現象的數學模型”中的作用，在結構上盡可能地與“函數”一章相同．為了突出“建構—研究—應用”這一主線，教材對傳統(tǒng)的教學內容做了“強干削枝”的處理．如抽出“三角變換”的內容，另立一章；把6種三角函數減為3種等等．意圖：一方面可以讓學生利用已有的經驗，掌握學習的主動權，發(fā)現數學知識的聯(lián)系，加深對知識的理解；另一方面又突出了基本的數學思想和數學地研究問題的方法，有利于正確的數學觀念的形成．第19頁/共135頁第十九頁，共136頁。突出周期性本章的研究對象是周期性現象，建構的是“刻畫周期性現象的數學模型”，在教材中，突出了周期性，把它看成是教材出發(fā)點和歸屬．教材P4引言中“日出日落，寒來暑往…等”生活中的摩天輪的運動圓周上的點的運動

“周而復始”

“周期現象”

“三角函數的應用”

第20頁/共135頁第二十頁，共136頁。案例：三角函數的性質在很多教材中，總是通過作出三角函數的圖象，然后再由圖象的觀察得到三角函數的性質的．對此，蘇教版的教材做了不同的處理．第21頁/共135頁第二十一頁，共136頁。已知f(1)＝3，f(37)＝?“周而復始，重復出現”xyO425813第22頁/共135頁第二十二頁，共136頁。

對于，如果存在一個非零常數

T，使得定義域內的每一個x，都滿足：

f(x＋T)＝f(x)，則函數f(x)叫做周期函數．T叫做這個函數的周期．函數f(x)xyO4258第23頁/共135頁第二十三頁，共136頁。xyO425

注：①定義域向數軸兩端無限延伸；②周期有無數個③不是所有的周期函數都有最小正周期．8——最小正周期；第24頁/共135頁第二十四頁，共136頁。

三角函數的周期性：①f(x)＝sinx②f(x)＝cosx③f(x)＝tanx

tan(＋k)＝tan，k∈Z最小正周期：2最小正周期：2最小正周期：第25頁/共135頁第二十五頁，共136頁。

T＝4T＝4T＝4T＝例求下列函數的周期：①f(x)＝sinx；②g(x)＝sin(x－)；③h(x)＝2sin(x－)；④f(x)＝Asin(x＋)，其中A≠0，

＞0．第26頁/共135頁第二十六頁，共136頁。加強幾何直觀，強調形數結合的思想

三角函數的基礎是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數的，因此三角函數集中地體現了形數結合的思想，在代數和幾何之間建立了初步的聯(lián)系．

在本章中，充分滲透了數形結合的思想．一方面是以形助數，突出了幾何直觀對理解抽象數學概念的作用．

（1）在三角函數及其性質的學習中，注意充分發(fā)揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式以及三角函數的圖象．第27頁/共135頁第二十七頁，共136頁。（2）通過角終邊之間的對稱關系來研究誘導公式．（3）借助三角函數的圖象理解三角函數在一個周期上的單調性、最大和最小值、圖象與軸的交點等性質；另一方面以數助形，例如應用三角函數的周期性來簡化函數圖象的作圖．第28頁/共135頁第二十八頁，共136頁。案例誘導公式的推導

提出問題：由三角函數的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數值相等．除此以外還有一些角，它們的終邊具有某種特殊關系，如關于坐標軸對稱，關于原點對稱等，那么它們之間的三角函數值之間具有什么樣的關系呢？第29頁/共135頁第二十九頁，共136頁。問題終邊的的位置關系對稱的位置關系三角函數值之間的關系誘導公式第30頁/共135頁第三十頁，共136頁。四、教學建議準確把握教學要求

（1）與過去的教材相比，新教材強調了三角函數是一種“數學模型”．第31頁/共135頁第三十一頁，共136頁。

（2）與以往的三角函數內容相比較，本章提出了對三角函數作為刻畫現實世界的數學模型的認識的要求，加強了對借助單位圓理解三角函數的概念、性質，以及通過建立三角函數模型解決實際問題等內容．第32頁/共135頁第三十二頁，共136頁。（3）“標準”刪減了任意角的余切、正割、余割，已知三角函數求角，反三角函數符號等內容．

“標準”降低了對任意角概念，弧度制概念，同角三角函數的基本關系式，誘導公式，三角函數的奇偶性的要求．第33頁/共135頁第三十三頁，共136頁。

這樣的處理，把重點放在使學生理解三角函數及其基本性質、體會三角函數在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用上，而對一些細枝末節(jié)的內容不再作過多要求．教學時應當把握好這種變化，遵循“標準”所規(guī)定的內容和要求，不要隨意補充已被刪減的知識點．也不要引進那些繁瑣的、技巧性高的變換題目．例如：求定義域、值域;已知sina=m求的其他三角函數值;用誘導公式進行復雜變換的問題等．第34頁/共135頁第三十四頁，共136頁。（4）但是也不能放松基本的技能訓練，應該讓學生記牢并熟練地使用誘導公式，同角三角函數關系式，能用五點法畫出正（余）弦函數的圖象等，因為這是利用三角函數解決問題的基礎．第35頁/共135頁第三十五頁，共136頁。注意從數學模型的角度來認識三角函數，突出數學思想方法在數學模型建構中的作用．（1）要突出數學模型思想．教學中應當充分利用章引言提供的情境，引導學生利用學習《函數》的經驗，自覺地參與建構刻畫周期現象的數學模型的活動，使學生從學習之初就建立起從數學模型的角度看三角函數的意識，在此基礎上，要充分注意運用三角函數模型解決實際問題的教學，使學生經歷運用三角函數模型描述周期現象、解決實際問題的全過程．第36頁/共135頁第三十六頁，共136頁。

（2）要充分發(fā)揮形數結合思想方法在本章的運用．發(fā)揮單位圓、三角函數線、圖象的作用．第37頁/共135頁第三十七頁，共136頁。（3）運用和深化函數思想方法．

三角函數是學生在高中階段系統(tǒng)學習的又一個基本初等函數，教學中應當注意引導學生以數學l中學到的研究函數的方法為指導來學習本章知識，即在函數觀點的指導下，學習三角函數，這對進一步理解三角函數概念，理解函數思想方法對提高學生在學習過程中的數學思維水平都是十分重要的．第38頁/共135頁第三十八頁，共136頁。

案例：用集合與對應的函數觀點看三角函數，這是一種“多對一”的函數；用函數研究中的基本問題（對應關系、定義域、值域、表示方法、圖象，性質等）來理解學習三角函數的進程；在討論y=Asin(ωx+φ)的圖象時，滲透函數變換與圖象變換(平移、伸縮)的關系．（需要注意分寸）第39頁/共135頁第三十九頁，共136頁。以問題為中心，充分發(fā)揮理性思維在建構數學模型中的作用．恰當地使用信息技術．第40頁/共135頁第四十頁，共136頁。

案例：三角函數的應用第41頁/共135頁第四十一頁，共136頁。例1．在圖中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運到到距離平衡位置最遠處時開始計時．（1）求物體對平衡位置的位移x(cm)和時間t(s)之間的函數關系；（2）求該物體在t＝5s時的位置．用什么模型描述物體的運動？如何確定模型中的參數？已知條件“物體向右運到到距離平衡位置最遠處時開始計時”怎樣應用？第42頁/共135頁第四十二頁，共136頁。例1．在圖1中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運到到距離平衡位置最遠處時開始計時．第43頁/共135頁第四十三頁，共136頁。回顧說明：注意簡諧振動中的振幅、周期、頻率、初相的意義；本題的難點在于初相的確定；書寫函數解析式時，需要根據自變量的實際意義，書寫定義域.第44頁/共135頁第四十四頁，共136頁。圖2例2．如圖2，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數y＝Asin(ωx＋)＋b．（1）求這一天該時段的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數解析式．第45頁/共135頁第四十五頁，共136頁。例3．一半徑為3m的水輪如圖3所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉動4圈，如果當水輪上點P從水中浮現（圖中點P0）開始計算時間．（1）將點P距離水面的高度z（m）表示為時間t(s)的函數；時刻t時，物體位于何處？時刻t時，物體距離水面的高度如何計算？如何確定？第46頁/共135頁第四十六頁，共136頁。第47頁/共135頁第四十七頁，共136頁。（2）點P第一次到達最高點大約要多少時間？第48頁/共135頁第四十八頁，共136頁。例4．海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋．下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深．（1）選用一個三角函數來近似描述這個港口的水深和時間的函數關系，并給出在整點時的水深的近似數值(精確到0.001)；第49頁/共135頁第四十九頁，共136頁。為什么是“12”？為什么是=0？第50頁/共135頁第五十頁，共136頁。（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？第51頁/共135頁第五十一頁，共136頁。（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？第52頁/共135頁第五十二頁，共136頁。（3）若船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3m的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？如何求交點坐標？第53頁/共135頁第五十三頁，共136頁。

三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預測未來等方面發(fā)揮著十分重要的作用．具體的，我們可以利用搜集到的數據，作出相應的“散點圖”，通過觀察散點圖并進行函數擬合而獲得具體函數模型，最后利用這個函數模型來解決相應的實際問題．實際問題通常涉及復雜的數據．因此往往需要使用計算機或計算器．第54頁/共135頁第五十四頁，共136頁。第二章平面向量

（約12課時）第55頁/共135頁第五十五頁，共136頁。一、本章結構

平面向量幾何表示向量的運算加法數乘數量積向量的應用背景符號表示坐標表示減法第56頁/共135頁第五十六頁，共136頁。二、內容和要求（1）平面向量的實際背景及基本概念

通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示．第57頁/共135頁第五十七頁，共136頁。二、內容和要求（2）向量的線性運算①通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義．②通過實例，掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義．③了解向量的線性運算性質及其幾何意義．第58頁/共135頁第五十八頁，共136頁。（3）平面向量的基本定理及坐標表示①了解平面向量的基本定理及其意義；②掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；③會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算；④理解用坐標表示的平面向量共線的條件．了解向量的非正交分解．第59頁/共135頁第五十九頁，共136頁。（4）平面向量的數量積①通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義；②體會平面向量的數量積與向量投影的關系；③掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；④能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．了解向量投影的概念（教材中的鏈接）線段的定比分比及應用不作要求第60頁/共135頁第六十頁，共136頁。（5）向量的應用

經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力．第61頁/共135頁第六十一頁，共136頁。三、本章內容的定位

對一種具有豐富的幾何背景與物理背景的近代數學模型的研究．（1）向量是具有深刻的幾何背景和物理背景的數學模型.第62頁/共135頁第六十二頁，共136頁。三、本章內容的定位（2）向量是近代數學中重要的、基本的概念，也是一種基本的重要的數學工具

①向量既是代數的對象，又是幾何的對象．作為代數對象，向量可以運算；作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面等幾何對象；

第63頁/共135頁第六十三頁，共136頁。

向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題；向量由大小和方向兩個因素確定：大小反映了向量數的特征，方向反映了向量形的特征．

向量是集數形于一身的數學概念，是數學中數形結合思想的典型體現．第64頁/共135頁第六十四頁，共136頁。三、本章內容的定位②向量是抽象代數、線性代數、泛函分析中的基本數學模型，是理解這些數學內容的基礎．第65頁/共135頁第六十五頁，共136頁。三、本章內容的定位③向量也是重要的物理模型．平面力場、平面位移場以及二者混合產生的做功問題，都可以用向量空間來刻畫和描述．向量不僅溝通了代數與幾何的聯(lián)系，而且，體現了近現代數學的思想，它在高中數學中的重要地位是不言而喻的．第66頁/共135頁第六十六頁，共136頁。教材特點1．按照數學模型研究的一般程序展開教材：（1）和《函數》、《三角函數》類似，本章也是對一種數學模型的研究．教材也是按照對數學模型研究的一般程序即“建構模型——研究模型——應用模型”的順序展開的．這樣的編寫順序不僅符合向量知識的發(fā)展過程，而且可以喚起學生在《函數》、《三角函數》學習中獲得的經驗，在助于發(fā)揮學生在學習中的主動權．第67頁/共135頁第六十七頁，共136頁。（2）本章首先現實根據學生的生活經驗，創(chuàng)設豐富的情境，從大量的實際背景中抽象出向量的概念（數學模型），然后用數學的方法研究向量及其運算的性質，最后再運用數學模型去解決實際問題．第68頁/共135頁第六十八頁，共136頁。

意圖：這樣處理體現了數學知識產生和發(fā)展的過程，突出了數學的來龍去脈，有助于學生理解數學的本質，形成對數學完整的認識，達到培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和理性思維的目的，同時也有助于數學應用意識的發(fā)展．第69頁/共135頁第六十九頁，共136頁。案例向量的概念及表示第70頁/共135頁第七十頁，共136頁。

小狗向西北方向逃竄，如果金錢豹向正東方向追．請問:金錢豹能追上小狗嗎？第71頁/共135頁第七十一頁，共136頁。

在四臺發(fā)動機的推動下，返回艙的速度由8米／秒迅速下降到1米／秒，如同一片羽毛，輕輕地落在草地上．著陸場總指揮隋起勝從耳機中聽到了費俊龍的聲音：“我是神舟六號，我已著陸．”費俊龍、聶海勝隔著舷窗，在向人們招手——返回艙內柔和的燈光，映著他們的微笑．這一刻，距他們離開大地4天又19個多小時，他們的總行程為325萬余公里．（注：費俊龍身高1.68米）神舟六號載人飛船現實生活中，還有哪些量只有大小沒有方向？哪些量既有大小又有方向？第72頁/共135頁第七十二頁，共136頁。

距離、身高、時間、質量等位移、力、速度、加速度、電場強度等既有大小又有方向的量叫向量.

數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大小；向量的定義：區(qū)別：數量向量向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.

第73頁/共135頁第七十三頁，共136頁。（3）以問題為中心，用問題鏈為線索揭示知識的發(fā)生過程．第74頁/共135頁第七十四頁，共136頁。2．突出向量的物理背景和幾何背景（1）教科書特別注意從豐富的物理背景和幾何背景中引人向量概念．接著教材又以位移為原型，建立了向量的概念，接著用有向線段給出了向量的兒何背景，并定義向量的模、單位向量等概念．

意圖：可以使學生認識到向量在刻畫現實問題、物理問題以及數學問題中的作用，使學生建立起理解和運用向量概念的背景支撐．第75頁/共135頁第七十五頁，共136頁。（2）在有關向量的運算中，教材也注意突出向量運算的原型．

以位移的“積累”為原型定義向量的加法和數乘；以功為原型定義向量的數量積．在研究向量的線性運算時，充分發(fā)揮有向線段幾何背景的作用．如用有向線段來解釋數乘的幾何意義．在向量基本定理中，提供力的分解和速度分解的背景．（3）在向量的應用中，揭示它豐富的背景．第76頁/共135頁第七十六頁，共136頁。3．突出運算的核心地位（1）運算是向量的核心內容，對中學生來說，根據現實的原型，自覺地“構造”運算，還是第一次．雖然學生對運算并不陌生，但是，他們眼中的運算只有數的運算、字母（式）的運算．現在要學習向量的運算，這對于運算的理解時一個突破．第77頁/共135頁第七十七頁，共136頁。

（2）教材在處理向量運算的內容時，注意和數的運算進行類比，這樣既可以有效地利用學生有關數的運算的經驗，而且可以幫助學生發(fā)展對運算的認識．

例如：和數進行類比，在建立了向量的運算以后，研究向量的運算（加、減、數乘等等）和它們滿足的運算律，在定義了運算以后，探討運算的應用，就都是很自然的了．

類比推理．第78頁/共135頁第七十八頁，共136頁。（3）和數學中的概念一樣，數學對象的運算也是一種數學模型，它也有一個建構的過程，它同樣是從原型中抽象出來的．教材特別注意展示這個建構過程．

如：向量的加法就是從位移的積累，從分力和合力的關系中抽象出來的．特別地，向量的數量積是以功為原型抽象出來的．第79頁/共135頁第七十九頁，共136頁。（4）向量既是代數對象，又是幾何對象，因而向量具有多種表示方法．作為代數對象，向量可以用一個“符號”表示；作為幾何對象，向量可以用有向線段表示．在學習了向量基本定理以后，還可以用坐標來表示．實際上，向量的每一種表示方法，都建立了一種語言．對向量的運算也可以用不同的語言來表示．在教材中，先用幾何語言即有向線段來表示向量的線性運算．然后再用代數語言來坐標語言來表示．這樣就使向量成為聯(lián)系代數和幾何的橋梁，成為解決現實問題和數學問題的工具．（5）向量是通過運算來解決問題第80頁/共135頁第八十頁，共136頁。4．突出向量與相關知識的聯(lián)系，突出向量的工具作用（1）教材特別注意聯(lián)系實際，注意向量與相關學科（如：力學、物理學、幾何、代數、三角）的聯(lián)系．注意用向量方法解決各類問題．（2）在例題和習題中都安排了向量在相鄰領域內的應用題．例：P84例1物理中的力的合成問題

P84例2幾何問題

P85習題2.52速度問題第81頁/共135頁第八十一頁，共136頁。四、教學建議1．明確教學要求第82頁/共135頁第八十二頁，共136頁。2．讓學生參與建構活動（1）要讓學生參與建構向量及其運算的活動，經歷建構過程，引導學生認識到向量是一種描述現實問題的數學模型．（2）要讓學生了解向量的物理背景、幾何背景，知道它的原型．（3）通過建構活動，讓學生熟悉向量及其運算的幾何意義，物理意義，這是靈活運用向量解決問題的基礎．第83頁/共135頁第八十三頁，共136頁。3．讓學生明確研究向量問題的基本思路（1）向量是代數的對象．作為代數對象，向量可以運算，而且正是因為有了運算，向量的威力才得到充分的發(fā)揮；（2）向量又是幾何對象，所以向量可以刻畫兒何元素(點、線、面，利用向量的方向可以與三角函數發(fā)生聯(lián)系．第84頁/共135頁第八十四頁，共136頁。（3）因為向量“一身二任”，所以幾何圖形的許多性質會表現為向量的運算性質，這樣我們就可以通過向量的運算來描述和研究幾何元素之間的關系（如直線的平行、垂直等），確定幾何圖形的長度、面積、夾角等等．在貫穿向量教學的全過程中，都要向學生講清本章研究的總思路，讓學生明確向量研究的基本思路．特別是在學完本章后，更應引導學生反思，因為這對于向量方法的理解是至關重要的．第85頁/共135頁第八十五頁，共136頁。（4）讓學生理解向量方法的實質①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面兒何問題摶化為向量問題;②通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題;③把運算結果“翻譯”成幾何關系．第86頁/共135頁第八十六頁，共136頁。案例平面向量的數量積第87頁/共135頁第八十七頁，共136頁?；顒右唬簞?chuàng)設問題情景，引出新課問題1：請同學們回顧一下，我們已經研究了向量的哪些運算？這些運算的結果是什么？

向量的加法、減法及數乘運算．

問題2：請同學們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？

物理模型→概念→性質→運算律→應用．第88頁/共135頁第八十八頁，共136頁。活動二：探究數量積的概念第89頁/共135頁第八十九頁，共136頁。|F|

|s|cosABOsFabW＝|F|

|s|cos|a|

|b|cos第90頁/共135頁第九十頁，共136頁。|F|

|s|cosABOsFabW＝|a|

|b|cos|F|

|s|cos對于兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝(0o≤≤180o)叫做向量a與b的夾角．OAOB第91頁/共135頁第九十一頁，共136頁。數量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角是，我們把數量|a||b|cos叫做向量a和b的數量積（或內積），記作ab，即

ab＝|a||b|cos．規(guī)定：零向量與任一向量的數量積為0．第92頁/共135頁第九十二頁，共136頁。

問題3：向量的數量積運算與線性運算的結果有什么不同？影響數量積大小的因素有哪些？線性運算的結果是向量，而數量積的結果則是數，這個數值的大小不僅和向量與的模有關，還和它們的夾角有關．第93頁/共135頁第九十三頁，共136頁。問題：已知向量a與b的夾角為，|a|＝4，|b|＝3，分別在下列條件下求ab：

(1)＝45o；

(2)＝90o；

(3)＝120o．第94頁/共135頁第九十四頁，共136頁。問題：已知|a|＝4，|b|＝3，分別在下列條件下求ab：

(1)a⊥b

；(2)a∥b．第95頁/共135頁第九十五頁，共136頁。(1)當＝0o時，a與b同向，此時，

ab＝|a||b|；(2)當＝180o時，a與b反向，此時，

ab＝－|a||b|；(3)當＝90o時，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b．此時，ab＝0；(4)aa＝|a|2或|a|＝aa．第96頁/共135頁第九十六頁，共136頁?；顒尤禾骄繑盗糠e的運算規(guī)律第97頁/共135頁第九十七頁，共136頁。

問題：向量a與b的夾角為45o，|a|＝4，|b|＝3，試求：ab，ba，(2a)b，a(2b)和2(ab)．第98頁/共135頁第九十八頁，共136頁。運算律(1)

ab＝ba；(2)

(a)b＝a(b)＝(ab)＝ab；(3)(a＋b)c＝ac＋bc．思考：向量的數量積是否滿足結合律？第99頁/共135頁第九十九頁，共136頁。案例向量的應用第100頁/共135頁第一百頁，共136頁。向量是既有大小又有方向的量，它既有代數特征，又有幾何特征．通過向量可以實現代數問題與幾何問題的互相轉化，所以向量是數形結合的橋梁．同時，向量也是解決許多物理問題的有力工具．第101頁/共135頁第一百零一頁，共136頁。一、向量在物理中的應用第102頁/共135頁第一百零二頁，共136頁。例１如圖所示，無彈性的細繩OA，OB的一端分別固定在A，B

處，同質量的細繩OC

下端系著一個稱盤，且使得OB⊥OC，試分析OA，OB，OC

三根繩子受力的大小，判斷哪根繩受力最大．

受力分析第103頁/共135頁第一百零三頁，共136頁。解設OA，OB，OC

三根繩子所受的力分別為a，b，c，則a＋b＋c＝０．a，b的合力為c′＝a＋b，｜c｜＝|c′|．如圖，在OB′C′A′中，因為OB′⊥

OC′，所以|OA′|

＞｜OB′｜，|OA′|

＞｜OC′｜．即｜a｜＞｜b｜，｜a｜＞｜c｜，所以細繩OA

受力最大．第104頁/共135頁第一百零四頁，共136頁。二、向量在數學中的應用第105頁/共135頁第一百零五頁，共136頁。例2用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角．已知：如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C為圓周上異于A、B的任意一點．求證：∠ACB是直角．ABCO第106頁/共135頁第一百零六頁，共136頁。即OC·

AB=0，所以OC⊥

AB．即OA·(OC－OB)

=0

，

OB·

(OC－OA)=0．例3已知：OA⊥BC，OB⊥

AC．求證：OC⊥

AB

．證：因為OA⊥BC，OB⊥

AC．所有OA·BC=0

，OB·

AC=0．①②②－①得

OC·

(OB－OA)=0，第107頁/共135頁第一百零七頁，共136頁。例3已知：OA⊥BC，OB⊥

AC．求證：OC⊥

AB

．你能否畫出一個幾何圖形來解釋例3？你知道向量等式OA·BC=OA·AC給出的是什么幾何關系嗎？第108頁/共135頁第一百零八頁，共136頁。第三章三角恒等變換

（約8課時）

第109頁/共135頁第一百零九頁，共136頁。C

C

+S

S

+C2T2T

T

+S2一、本章結構

第110頁/共135頁第一百一十頁，共136頁。二、內容和要求（1）經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用．第111頁/共135頁第一百一十一頁，共136頁。二、內容和要求（2）能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系．第112頁/共135頁第一百一十二頁，共136頁。二、內容和要求（3）能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括引導導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）．（簡單的三角函數式的化簡、求值及恒等式證明指三角函數變形的次數一般不超過三次，整個解題中三角函數公式的使用一般不超過5個）第113頁/共135頁第一百一十三頁，共136頁。

本章的主要教學內容是三角函數式的恒等變換．只涉及一個角的恒等變換在《三角函數》中已經做了研究．（1）是（在第1章的基礎上）對三角函數這一數學模型（運算）性質的進一步研究；（2）是用演繹方法（借助于運算），建立數學知識體系的一個范例．三、本章內容的定位第114頁/共135頁第一百一十四頁，共136頁。說明：（1）三角恒等變換公式實質上是三角函數的運算性質，而運算性質是函數的重要性質；是對函數研究的一個方面（可以和對數函數、指數函數類比）；（2）如果不研究三角變形就不能發(fā)揮三角的工具價值；（3）三角變換公式繁多，但相互之間存在著緊密的邏輯聯(lián)系，從一個公式出發(fā)，就可以推出其它的公式．這種類似于公理化的結構，在中學數學中是不可多得的．另一方面，三角恒等變換也是一種演繹推理的方式，應該充分發(fā)揮它在培養(yǎng)學生推理能力方面的作用．第115頁/共135頁第一百一十五頁，共136頁。教材特點：（1）把演繹的知識結構放在“對周期性現象作數學研究”的大背景下展開．（2）本章的教學內容是按照三角變換公式之間的邏輯聯(lián)系展開的．第116頁/共135頁第一百一十六頁，共136頁。C

C

+S

S

+C2T2T

T

+S2本章中的三角變換公式都是由余弦的差角公式推導出來的，化歸思想是推導這些公式的主導思想．在教學中，不論是在推導公式時，還是在應用公式時，都應該自始至終地貫徹這一思想．第117頁/共135頁第一百一十七頁，共136頁。這是一個邏輯的演繹的體系，為了突出三角函數的主干內容，特別是突出三角函數作為描述周期變化的數學模型這一本質，在教科書中，這個演繹的體系是放在對周期現象進行研究的大背景下建立的．

在引言中就從周期運動合成的角度提出三角變換的課題，在討論了和差角公式以后，教科書又通過《鏈接》（P111），給出了正弦函數、余弦函數疊加的問題的結論．本章就構成了一個相對完整的數學發(fā)現和應用的過程．意圖：有助于學生從總體上理解三角變換．第118頁/共135頁第一百一十八頁，共136頁。（3）運用問題鏈，展現公式的發(fā)現和推導過程在傳統(tǒng)的教學中，往往把三角變換單純地視為基本的技能訓練，強調反復的練習和操作，強調三角變換的具體方法和技巧，造成了公式頭緒多，練習習題難，技巧方法刁的現象．和過去相比，教科書更重視公式的發(fā)現和推導過程，重視學生在三角變換中的思維過程，重視這些過程中的思維活動，和指導這些活動的思想方法．這和傳統(tǒng)的教學是有明顯的區(qū)別的．第119頁/共135頁第一百一十九頁，共136頁。根據《課程標準》的要求，教科書降低了對三角變換的要求．特別是不再要求用積化和差、和差化積、半角公式等作復雜的恒等變形，而把推導積化和差、和差化積、半角公式作為三角恒等變換的基本訓練，避免任意加大三角變換的難度，防止在三角變換中深挖洞的現象．第120頁/共135頁第一百二十頁，共136頁。（4）注意從運算的角度看待三角變換

注意從運算的角度看待三角變換．把三角變換看成是三角函數的運算．這樣就使的三角變換和運算（包括向量的運算）發(fā)生了聯(lián)系．在教科書中，三角變換的公式都是通過運算的方法推導和證明的．在本章最后更從運算的角度提出和差化積、積化和差的研究課題．第121頁/共135頁第一百二十一頁，共136頁。（5）注意突出向量和三角函數的聯(lián)系

教科書利用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，并由此公式作為出發(fā)點，推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式．第122頁/共135頁第一百二十二頁，共136頁。案例兩角和與差的三角函數第123頁/共135頁第一百二十三頁，共136頁。如圖，有一個小山坡OA，OA的長度為a，AC⊥OC，∠AOC＝15°，求坡腳線OC的長度？OAC如圖，OC＝OA·cos15°＝a·cos15°.問題1：你會算cos