二次函數(shù)一、中考導(dǎo)航圖1.二次函數(shù)的意義;2.二次函數(shù)的圖象;３．二次函數(shù)的性質(zhì)頂點式:y＝a(x-ｈ)2+k(a≠0)４.二次函數(shù)待定系數(shù)法擬定函數(shù)解析式一般式:ｙ＝ax2+bx+ｃ(a≠０)兩根式：y=ａ(x-x1)(ｘ-x2)(a≠0)5.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。6.拋物線ｙ=aｘ2+bx+c的圖象與a、ｂ、ｃ之間的關(guān)系。三、中考知識梳理1．二次函數(shù)的圖象在畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠０)的圖象時通常先通過配方配成y=a(x+)2+的形式,先擬定頂點(-,),然后對稱找點列表并畫圖,或直接代用頂點公式來求得頂點坐標(biāo).２.理解二次函數(shù)的性質(zhì)拋物線的開口方向由a的符號來擬定,當(dāng)ａ>0時,在對稱軸左側(cè)ｙ隨ｘ的增大而減小;在對稱軸的右側(cè),y隨x的增大而增大;簡記左減右增,這時當(dāng)x=-時,y最小值=;反之當(dāng)a<0時,簡記左增右減,當(dāng)x=-時y最大值＝．３．待定系數(shù)法是擬定二次函數(shù)解析式的常用方法一般地,在所給的三個條件是任意三點(或任意三對x,ｙ的值)可設(shè)解析式為y=ax2+ｂx+ｃ，然后組成三元一次方程組來求解;在所給條件中已知頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最大值時,可設(shè)解析式為ｙ=a（x-h）2+k;在所給條件中已知拋物線與x軸兩交點坐標(biāo)或已知拋物線與x軸一交點坐標(biāo)和對稱軸,則可設(shè)解析式為y=a(ｘ-x1)(x-x２)來求解.4.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系拋物線y=ａx2+bx+c當(dāng)ｙ=0時拋物線便轉(zhuǎn)化為一元二次方程ａx2＋bx+c＝０,即拋物線與x軸有兩個交點時,方程ax2＋ｂx＋ｃ＝0有兩個不相等實根；當(dāng)拋物線y=ax２+ｂｘ+ｃ與x軸有一個交點,方程ax２+bｘ+ｃ＝０有兩個相等實根;當(dāng)拋物線y=aｘ２+ｂx+ｃ與x軸無交點,方程ａx２＋bx+c=0無實根.5.拋物線y＝aｘ2＋bx+ｃ中ａ、b、ｃ符號的擬定a的符號由拋物線開口方向決定,當(dāng)a>0時,拋物線開口向上；當(dāng)a<０時,拋物線開口向下;c的符號由拋物線與ｙ軸交點的縱坐標(biāo)決定.當(dāng)c>0時,拋物線交y軸于正半軸;當(dāng)c<0時,拋物線交ｙ軸于負(fù)半軸;ｂ的符號由對稱軸來決定.當(dāng)對稱軸在y軸左側(cè)時，b的符號與ａ的符號相同;當(dāng)對稱軸在y軸右側(cè)時,ｂ的符號與a的符號相反;簡記左同右異．6.會構(gòu)建二次函數(shù)模型解決一類與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用性問題,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來解決有關(guān)的綜合性問題.四、中考題型例析1.二次函數(shù)解析式的擬定例1求滿足下列條件的二次函數(shù)的解析式(1）圖象通過Ａ(-１,３)、B(1，３)、C（２,6);(２）圖象通過Ａ(-1，0)、B(３,０)，函數(shù)有最小值－8;(3）圖象頂點坐標(biāo)是(-１,９）,與x軸兩交點間的距離是6.?分析：此題重要考察用待定系數(shù)法來擬定二次函數(shù)解析式.可根據(jù)已知條件中的不同條件分別設(shè)出函數(shù)解析式，列出方程或方程組來求解.（１)解:設(shè)解析式為ｙ=ax2+bx+c,把A(-１，3）、B(1，3）、C(2,６）各點代入上式得解得∴解析式為ｙ=ｘ2+2.(2)解法１:由A(-1,0）、B(3,０)得拋物線對稱軸為ｘ＝1，所以頂點為(1,-8）.設(shè)解析式為y＝a（x-h）2+k，即ｙ=a(x-1)２－８.把x=-1，ｙ=0代入上式得0＝a(-2)2－8，∴ａ=2.即解析式為ｙ=2(x-１）2-8，即ｙ=２x2-４x-6.解法2:設(shè)解析式為y＝a(x+1)(x-３),擬定頂點為（1,-８）同上,把x=1,y=-８代入上式得-8＝ａ(１+1)(1-3).解得a=2,∴解析式為ｙ=2ｘ2－4x-６.解法3:∵圖象過A（-１,0)，B(３,0）兩點,可設(shè)解析式為：ｙ＝a(x+１)（x-3）=ax2-2ａx-3a.∵函數(shù)有最小值-8.∴=-8.又∵a≠0,∴a=２．∴解析式為y=2（x+1)(ｘ-3）=2x2-4ｘ－6.(3)解:由頂點坐標(biāo)(-1,9)可知拋物線對稱軸方程是x=－1,又∵圖象與x軸兩交點的距離為6，即AB=6．由拋物線的對稱性可得A、B兩點坐標(biāo)分別為A(-4,０)，B(2,0),設(shè)出兩根式ｙ=a（x-ｘ1)·(x-ｘ2),將A（-4,0),B(2,0)代入上式求得函數(shù)解析式為y=-x2-２x+８.點評：一般地,已知三個條件是拋物線上任意三點(或任意3對x,y的值)可設(shè)表達(dá)式為y＝ax2+bx+ｃ,組成三元一次方程組來求解;假如三個已知條件中有頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值,可選用y＝a(ｘ-h）2＋ｋ來求解;若三個條件中已知拋物線與x軸兩交點坐標(biāo),則一般設(shè)解析式為y＝a(x-x1)(ｘ-x2).２.二次函數(shù)的圖象例2(20２3·孝感）y=ax2＋bx＋c(ａ≠0）的圖象如圖所示,則點M（a，bc)在（）.A．第一象限B．第二象限C.第三象限Ｄ．第四象限分析：由圖可知:拋物線開口向上ａ>0.bｃ>0．∴點M（ａ，bc）在第一象限.答案:A.點評：本題重要考察由拋物線圖象會擬定a、b、c的符號.例３(202３·岳陽）已知一次函數(shù)ｙ=ax+c二次函數(shù)ｙ=aｘ2+bｘ+c(a≠0)，它們在同一坐標(biāo)系中的大體圖象是().分析:一次函數(shù)y=ax+c,當(dāng)a＞0時,圖象過一、三象限;當(dāng)a<0時,圖象過二、四象限；c＞0時，直線交ｙ軸于正半軸;當(dāng)ｃ＜0時,直線交y軸于負(fù)半軸;對于二次函數(shù)ｙ=ａx２+ｂｘ＋c(a≠０)來講:解：可用排除法,設(shè)當(dāng)a>0時,二次函數(shù)y=ax２+bx+c的開口向上,而一次函數(shù)y＝ax+c應(yīng)過一、三象限,故排除Ｃ；當(dāng)a＜０時,用同樣方法可排除Ａ；c決定直線與y軸交點;也在拋物線中決定拋物線與y軸交點，本題中ｃ相同則兩函數(shù)圖象在ｙ軸上有相同的交點,故排除B.答案:Ｄ.3.二次函數(shù)的性質(zhì)例4(２0２3·杭州)對于反比例函數(shù)ｙ＝-與二次函數(shù)y＝-x２＋３，請說出他們的兩個相同點:①＿_(dá)＿_(dá)__＿_(dá)_,②＿_(dá)_＿_(dá)＿_(dá)__；再說出它們的兩個不同點:①＿_(dá)_＿＿_(dá)_＿,②＿_(dá)__＿＿_(dá)__.分析:本小題是個開放性題目，可以從以下幾點性質(zhì)來考慮①增減性②圖象的形狀③最值④自變量取值范圍⑤交點等.解:相同點:①圖象都是曲線，②都通過（-1,2)或都通過(2,-1)；不同點:①圖象形狀不同,②自變量取值范圍不同,③一個有最大值,一個沒有最大值.點評：本題重要考察二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì),有關(guān)函數(shù)開放性題目是近幾年命題的熱點.4.二次函數(shù)的應(yīng)用例5（20２3·廈門)已知拋物線y=x２+（2k+1)x-k2＋ｋ,(1)求證:此拋物線與x軸總有兩個不同的交點.(2)設(shè)x１、ｘ２是此拋物線與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)，且滿足x12+x22=－2k2+2k+1.①求拋物線的解析式.②設(shè)點Ｐ（m1,ｎ1)、Q(m2，n２)是拋物線上兩個不同的點,且關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱.求m+m的值.分析:(１）欲證拋物線與x軸有兩個不同交點,可將問題轉(zhuǎn)化為證一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根,故令y=0，證△>0即可.(2)①根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)即是一元二次方程的根.由根與系數(shù)的關(guān)系,求出ｋ的值,可擬定拋物線解析式；②由Ｐ、Q關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱得n1=n２,由ｎ１＝m１2＋m1,n2＝m２2+ｍ2得m12+m1=m2２+m2,即(m1-m２)(ｍ1+m2+1)=0可求得m1+m２=-1.解:(1)證明：△＝(２k＋1)2-４（-ｋ2+k)＝4ｋ2+４k+1+4k2－4k＝8k２＋1.∵8k２+1＞0,即△>0,∴拋物線與x軸總有兩個不同的交點.（2)①由題意得ｘ1＋x２=－(2k+１),x１·x2=－ｋ２＋k.∵x12+x22=－2k２+2ｋ+1,∴(x１＋x2)2-２x1x2＝－2k２＋2k＋1,即（2k+1)2-2(-k２+k)=－2k２＋k+１,４k2+4ｋ+1+２k2－２k=－２k2＋2k+１．∴８k2=0,∴ｋ=0,∴拋物線的解析式是y=x2+x.②∵點P、Q關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱,∴n１=n2.又n1=ｍ12+m1,n2＝m2２+m2.∴m１2+ｍ1＝m22＋m2,即(m1-m2)(ｍ1＋m2+1）=0.∵Ｐ、Q是拋物上不同的點,∴ｍ1≠ｍ2,即m1-ｍ２≠0.∴m１+m2+1=0即m1+m2=-1.點評：本題考察二次函數(shù)的圖象(即拋物線）與x軸交點的坐標(biāo)與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)經(jīng)常與一元二次方程相聯(lián)系并聯(lián)合命題是中考的熱點.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)驗收卷一、選擇題:1.（2０23·大連)拋物線y＝（x-２)２+3的對稱軸是(）.A．直線x＝-3B.直線x=3C．直線x=-２D．直線ｘ=22.（2023·重慶)二次函數(shù)y=ax2+bx＋c的圖象如圖,則點M(b,）在().A.第一象限;B.第二象限；Ｃ.第三象限;D.第四象限３．(2０23·天津)已知二次函數(shù)y=ax2＋bx＋ｃ，且a<0,a-ｂ+c>０,則一定有(）.A．b2－4ac＞0B.b2-4ac=0C.b2－4ac<0D．ｂ2－４aｃ≤０4.(20２3·杭州）把拋物線y=x2＋bx＋c的圖象向右平移3個單位,再向下平移2個單位，所得圖象的解析式是ｙ=x2-3x+5,則有().A.b=3,c=７B.b=-9,c＝-15Ｃ.b=3,ｃ=3D．b=－9,c=21５.(2023·河北)在同一直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=aｘ＋c和二次函數(shù)ｙ＝ax2+c的圖象大體為().6.(2０23·昆明)已知二次函數(shù)ｙ=ax2+bx+c(a≠0)圖象的頂點P的橫坐標(biāo)是4,圖象交x軸于點Ａ（m,0)和點B,且m>4,那么AＢ的長是().Ａ．４+ｍB．mC.２m-8D.8-2ｍ二、填空題1.(20２3·河北)若將二次函數(shù)y=ｘ2-２ｘ＋３配方為y＝(x-h)2+k的形式,則y＝___＿_(dá)_＿.2．(２0２３·新疆)請你寫出函數(shù)ｙ=(x+1)2與y＝x2+1具有的一個共同性質(zhì)___＿_(dá)__．3.(２0２３·天津)已知拋物線y＝ａｘ2+bx+c的對稱軸為x＝２,且通過點(1，4)和點(５,０),則該拋物線的解析式為_________.4.(2023·武漢)已知二次函數(shù)的圖象開口向下,且與ｙ軸的正半軸相交,請你寫出一個滿足條件的二次函數(shù)的解析式:＿＿＿_(dá)_＿_(dá)__.5.(2023·黑龍江)已知拋物線y=ax2+x＋ｃ與x軸交點的橫坐標(biāo)為－1,則a+c=_＿_(dá)_＿.６.(2０2３·北京東城)有一個二次函數(shù)的圖象，三位學(xué)生分別說出了它的一些特點:甲:對稱軸是直線x=4;乙:與ｘ軸兩個交點的橫坐標(biāo)都是整數(shù);丙:與y軸交點的縱坐標(biāo)也是整數(shù),且以這三個交點為頂點的三角形面積為３．請你寫出滿足上述所有特點的一個二次函數(shù)解析式:三、解答題1.已知函數(shù)y＝x2＋bx-1的圖象通過點(3,2).(1）求這個函數(shù)的解析式；(2)畫出它的圖象,并指出圖象的頂點坐標(biāo)；(３)當(dāng)ｘ>0時,求使y≥2的x取值范圍．２.已知拋物線y=-ｘ２+（6-)x+m-３與ｘ軸有A、B兩個交點，且A、Ｂ兩點關(guān)于y軸對稱.(1)求m的值;（2)寫出拋物線解析式及頂點坐標(biāo);(３)根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系將此題的條件換一種說法寫出來.一、學(xué)科內(nèi)綜合題1．如圖,二次函數(shù)ｙ=aｘ2+ｂx+c的圖象與x軸交于Ｂ、C兩點,與y軸交于A點.（1）根據(jù)圖象擬定ａ、b、c的符號，并說明理由;(2)假如點A的坐標(biāo)為(０,-3),∠ＡＢC＝45°,∠ＡＣB=60°，求這個二次函數(shù)的解析式.二、實際應(yīng)用題3.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,公司經(jīng)歷了從虧損到賺錢的過程.下面的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與銷售時間t（月)之間的關(guān)系(即前t個月的利潤總和s與ｔ之間的關(guān)系）．根據(jù)圖象（圖)提供的信息,解答下列問題:(1)由已知圖象上的三點坐標(biāo),求累積利潤s(萬元）與時間ｔ(月)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達(dá)成３０萬元;(３)求第8個月公司所獲利潤是多少萬元?４.如圖,有一座拋物線形拱橋,在正常水位時水面AＢ的寬為20m,假如水位上升3m時,水面ＣD的寬是1０m.(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求此拋物線的解析式;(2)現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需通過此橋開往乙地，已知甲地距此橋２８０kｍ(橋長忽略不計).貨車正以每小時40km的速度開往乙地，當(dāng)行駛1小時時,忽然接到緊急告知:前方連降暴雨,導(dǎo)致水位以每小時0.25ｍ的速度連續(xù)上漲（貨車接到告知時水位在CD處,當(dāng)水位達(dá)成橋拱最高點O時，嚴(yán)禁車輛通行),試問:假如貨車按本來速度行駛,能否完全通過此橋?若能,請說明理由;若不能,要使貨車安全通過此橋，速度應(yīng)超過每小時多少千米？答案:基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)驗收卷一、1.D2.D３.Ａ4.A5.Ｂ６．Ｃ二、１.(x-1)2+22.圖象都是拋物線或開口向上或都具有最低點(最小值）3.y=－x２+２x＋4.如y=-x２+15.16.y=ｘ2-x+3或y=－x２+x-3或y＝-x2－ｘ＋1或y＝-x２+x－１三、１.解:(1）∵函數(shù)y=ｘ２+ｂｘ-１的圖象通過點(3，2)，∴９+3b-1=2,解得b＝－2.∴函數(shù)解析式為ｙ=x2－2x-1.（2)ｙ=ｘ2-2x-1=(x－１)2-2．圖象略.圖象的頂點坐標(biāo)為(1，-２).（３)當(dāng)x＝3時,y=2，根據(jù)圖象知，當(dāng)x≥3時,y≥2.∴當(dāng)x>0時,使y≥2的x的取值范圍是ｘ≥3.2．（1)設(shè)A(x1,0)B（x2,０).∵Ａ、B兩點關(guān)于y軸對稱．∴∴解得m=6.(2）求得y＝-x２+3.頂點坐標(biāo)是(０，3)（3)方程-x2＋(6-）x+ｍ－3=0的兩根互為相反數(shù)(或兩根之和為零等).3.解：（1)符合條件的拋物線尚有5條，分別如下:①拋物線AEＣ;②拋物線CＢE;③拋物線DＥＢ;④拋物線ＤEC;⑤拋物線ＤBC．(2)在(１)中存在拋物線DＢC,它與直線AE不相交.設(shè)拋物線DＢC的解析式為y=ax2+ｂx＋c.將D(-２,),B(１,０),C（4,0）三點坐標(biāo)分別代入，得解這個方程組,得ａ=,b=-,c=１.∴拋物線DBC的解析式為y=ｘ2-x＋１．【另法:設(shè)拋物線為y=ａ(x－1）(x-４)，代入D（-2，),得ａ=也可.】又將直線AE的解析式為ｙ=mx＋n.將A(-２,0),E(0,－6）兩點坐標(biāo)分別代入,得解這個方程組,得ｍ=－3,n=－６.∴直線AＥ的解析式為y=-3x-６.能力提高練習(xí)一、1.解