PAGE12PAGE6．1.2向量的加法【課程標準】借助實例和平面向量的幾何意義，掌握平面向量加法運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點知識點一向量加法的定義求__________的運算，叫作向量的加法．知識點二向量加法的運算法則1．三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，則向量________叫作a與b的和(或和向量)，記作________，即a＋b＝AB+這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．規(guī)定：零向量與任一向量a的和都有a＋0＝________＋________＝a．2．平行四邊形法則如圖，以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點的__________就是a與b的和，我們把這種作兩個向量和的方法叫作向量加法的平行四邊形法則．3．向量a，b的模與a＋b的模之間的關(guān)系：________≤|a＋b|≤________知識點三向量加法的運算律1．交換律：a＋b＝________．2．結(jié)合律：(a＋b)＋c＝________＋(________)．狀元隨筆1.準確理解向量加法的三角形法則和平行四邊形法則(1)兩個法則的使用條件不同：三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和．(2)當(dāng)兩個向量不共線時，兩個法則是一致的．如圖所示：AC＝AB＋AD(平行四邊形法則)，又∵BC＝AD，∴AC＝AB＋BC(三角形法則)．(3)在使用三角形法則時，應(yīng)注意“首尾連接”；在使用平行四邊形法則時應(yīng)注意范圍的限制及和向量與兩向量起點相同．2．向量a→＋b→與非零向量a→，b→的模及方向的聯(lián)系(1)當(dāng)向量a→與b→不共線時，向量a→＋b→的方向與a→，b→都不相同，且|a→＋b→|<|a→|＋|b→|，幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊．(2)當(dāng)向量a→與b→同向時，向量a→＋b→與a→(或b→)方向相同，且|a→＋b→|＝|a→|＋|b→|.(3)當(dāng)向量a→與b→反向時，且|a→|≤|b→|時，a→＋b→與b→方向相同(與a→方向相反)，且|a→＋b→|＝|b→|－|a→|.基礎(chǔ)自測1．在△ABC中，AB＝a，BC＝b，則a＋b等于()A．CAB．BCC．ABD．AC2．在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是()A.AB＝DC B．AD+ABC．AB＝BD+AD D．3．a(chǎn)、b為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則()A．a(chǎn)∥b，且a與b方向相同B．a(chǎn)、b是方向相反的向量C．a(chǎn)＝－bD．a(chǎn)、b無論什么關(guān)系均可4．向量(AB+MB)＋(BO+A．CB B．ABC．AC D．AM課堂探究·素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性題型1已知向量作和向量[經(jīng)典例題]例1(1)如圖，已知向量a，b，c，試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向量a＋b＋c．狀元隨筆利用三角形法則或(2)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，點F為線段DE延長線上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填上一個向量)：①AB+②AD+(3)下列說法正確的是________．①若|a|＝3，|b|＝2，則|a＋b|≥1,②若向量a，b共線，則|a＋b|＝|a|＋|b|，③若|a＋b|＝|a|＋|b|，則向量a，b共線．方法歸納(1)應(yīng)用三角形法則求向量和的基本步驟①平移向量使之“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合．②以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量，即為兩個向量的和．(2)應(yīng)用平行四邊形法則求向量和的基本步驟①平移兩個不共線的向量使之共起點．②以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形．③平行四邊形中，與兩向量共起點的對角線表示的向量為兩個向量的和．跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖，已知向量a，b，c不共線，使用三角形法則或平行四邊形法則作向量a＋b＋c．本題是求向量的和問題，方法是使用三角形法則或平行四邊形法則．(2)已知|a|＝3，|b|＝5，則向量a＋b模長的最大值是________．a(chǎn)＋b模長的最小值是________．題型2向量的加法運算律的應(yīng)用例2(1)下列等式不正確的是()①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②AB+BA＝0；③AC＝A．②③B．②C．①D．③(2)設(shè)A，B，C，D是平面上任意四點，試化簡：①AB+CD+BC；②狀元隨筆先根據(jù)向量加法的交換律變?yōu)楦飨蛄渴孜蚕噙B，然后利用向量的加法運算求解．方法歸納向量運算中化簡的兩種方法(1)代數(shù)法：借助向量加法的交換律和結(jié)合律，將向量轉(zhuǎn)化為“首尾相接”，向量的和即為第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量．(2)幾何法：通過作圖，根據(jù)“三角形法則”或“平行四邊形法則”化簡．跟蹤訓(xùn)練2(1)化簡：①DB+②(AB+MB)＋(2)如圖，在正六邊形ABCDEF中，點O為中心，AB＝a，AF＝b，求AC，狀元隨筆多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行.如a+b+c+d=b+題型3向量加法的應(yīng)用[邏輯推理]例3(1)用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；(2)△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若AB+AC＝2AO，且|AO|＝|AC|，則△A．3B．32C．23狀元隨筆(1)將互相平分利用向量表達，以此為條件推證使四邊形為平行四邊形的向量等式成立．(2)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．方法歸納向量應(yīng)用于幾何、三角問題的關(guān)鍵向量是溝通“數(shù)”與“形”的橋梁．利用向量的加法可以證明線段的平行和相等，在解決問題中應(yīng)抓住向量及其加法的幾何意義求解．用向量證明幾何問題的關(guān)鍵是把幾何、三角問題轉(zhuǎn)化為向量問題，通過向量的運算得到結(jié)論，然后把向量問題還原為幾何、三角問題．跟蹤訓(xùn)練3(1)在四邊形ABCD中，AB＝DC，且|(BC)+(BA)|＝|BC+AB(2)若G為△ABC的重心，則GA+6．1.2向量的加法新知初探·自主學(xué)習(xí)知識點一兩個向量和知識點二1.ACa＋bAC0a2．對角線OC3．||a|－|b|||a|＋|b|知識點三1．b＋a2．a(chǎn)b＋c[基礎(chǔ)自測]1．解析：AB+BC＝答案：D2．解析：因為AB＝AD+DB≠BD答案：C3．解析：只有a∥b，且a與b方向相同時才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A項正確．答案：A4．解析：(AB+MB)＋(BO＝(AB+BO)＋OM＝AM+MB+BC＝答案：C課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)方法一可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如圖①，首先在平面內(nèi)任取一點O，作向量OA＝a，接著作向量AB＝c，則得向量OB＝a＋c，然后作向量BC＝b，則向量OC＝a＋b＋c為所求．方法二三個向量不共線，用平行四邊形法則來作．如圖②，①在平面內(nèi)任取一點O，作OA＝a，OB＝b；②作平行四邊形AOBC，則OC＝a＋b；③再作向量OD＝c；④作平行四邊形CODE，則OE＝OC＋c＝a＋b＋c.OE即為所求．(2)如題圖，由已知得四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運算法則可知：①AB+DF＝AB+②AD+FC＝AD+(3)①正確，當(dāng)兩向量反向時，和向量的模最小為1；②中描述的只是向量同向時的情況，故不正確，反之正確，即③正確．【答案】(1)見解析(2)①AC②AB(3)①③跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)方法一如圖(1)，在平面內(nèi)作OA＝a，AB＝b，則OB＝a＋b；再作BC＝c，則OC＝a＋b＋c.方法二如圖(2)，在平面內(nèi)作OA＝a，OB＝b，以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則OD＝a＋b；再作OC＝c，以O(shè)D與OC為鄰邊作平行四邊形ODEC，則OE＝a＋b＋c.(2)因為|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，所以|a＋b|的最大值為8.|a＋b|≥||a|－|b||＝5－3＝2，所以|a＋b|的最小值為2.答案：(1)見解析(2)82例2【解析】(1)由向量的加法滿足結(jié)合律知①正確；因為AB+BA＝0，故②不正確；DC+AB+BD＝(2)①AB+CD+BC＝(AB+BC)＋②DB+AC+BD+【答案】(1)B(2)見解析跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)①DB+CD+BC＝②方法一(AB+MB)＋BO+OM＝(AB+BO)＋(方法二(AB+MB)＋BO+OM＝AB＋(MB+BO)＋OM＝方法三(AB+MB)＋BO+OM＝(AB+BO+(2)由向量的平行四邊形法則，得AO＝AB+AF＝a＋在平行四邊形ABCO中，AC＝AB+AO＝a＋a＋b＝2a＋而AD＝2AO＝2(a＋b)，且BC＝AO＝FE＝a＋b，由向量的三角形法則，得AE＝AF+FE＝b＋a＋b＝a＋2例3【解析】(1)如圖，設(shè)四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，則AB＝AO+OB，因為AC與BD互相平分，所以AO＝OC，OB＝DO，所以AB＝DC，因此AB∥CD，且|AB|＝|DC|，即四邊形(2)由于AB+AC＝2AO，由向量加法的幾何意義，O為邊BC中點，因為△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，所以三角形應(yīng)該是以BC邊為斜邊的直角三角形，∠BAC＝π2，斜邊BC＝2，又因為|AO|＝|AC|，所以|AC|＝1，|AB所以S△ABC＝12×|AB|×|AC|＝12×1×3＝【答案】(1)見解析(2)B跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)證明