課程設(shè)計〔論文〕封面數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院學(xué)院專業(yè)班課程名稱數(shù)學(xué)模型課程設(shè)計題目回歸模型在統(tǒng)計分析中的應(yīng)用年月課程設(shè)計〔論文〕任務(wù)書數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院學(xué)院專業(yè)班課程名稱數(shù)學(xué)模型課程設(shè)計題目回歸模型在統(tǒng)計分析中的應(yīng)用任務(wù)起止日期：學(xué)生姓名學(xué)號指導(dǎo)教師教研室主任年月日審查課程設(shè)計〔論文〕任務(wù)一、課題內(nèi)容查閱相關(guān)文獻，弄清回歸模型在統(tǒng)計分析中的相關(guān)問題；熟悉建立數(shù)學(xué)模型的根本步驟；3.確定所做內(nèi)容為如何利用回歸模型尋求變量間的關(guān)系的近似表達式。二、課題要求建立數(shù)學(xué)模型完本錢課題的相關(guān)問題；求解模型，并對所得結(jié)果做必要的分析；設(shè)計論文正文篇幅不少于3000字；提交的所有材料必須符合?長沙理工大學(xué)課程設(shè)計管理規(guī)定?〔長理工大教[2021]48號〕的要。三、課題完成后應(yīng)提交的材料1.課程設(shè)計〔論文〕按以下排列順序裝訂成冊(1)封面(2)任務(wù)書(3)中文摘要(4)英文摘要(5)目錄(6)正文(7)參考文獻(8)附錄〔源程序打印件〕資料袋統(tǒng)一到學(xué)校教材中心領(lǐng)取，并詳細填寫四、主要參考文獻〔由指導(dǎo)教師選定〕[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型〔第四版〕．北京：高等教育出版社，2021：1-18同組設(shè)計者無注：1.此任務(wù)書由指導(dǎo)教師填寫。如不夠填寫，可另加頁。2.此任務(wù)書最遲必須在課程設(shè)計〔論文〕開始前下達給學(xué)生。學(xué)生送交全部材料日期學(xué)生〔簽名〕指導(dǎo)教師驗收〔簽名〕回歸模型在統(tǒng)計分析中的應(yīng)用摘要在人們研究對象的內(nèi)在特性和個因素間的關(guān)系時，通常會建立數(shù)學(xué)模型。在無法分析實際對象內(nèi)在的因果關(guān)系時，往往會基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析去建立模型?；貧w分析作為統(tǒng)計數(shù)據(jù)尋求變量間關(guān)系的近似表達式的一種方法，其廣泛用途使得回歸模型成為了數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析中的一種常見模型。本論文分別從數(shù)學(xué)模型，回歸分析，統(tǒng)計分析等的根本概念出發(fā)，進一步闡述了數(shù)學(xué)建模的根本方法和一般步驟，回歸分析的根本模型、步驟和分類，以及統(tǒng)計分析的步驟。最后借用MATLAB軟件，以一個關(guān)于人們對某種品牌食品的評價的實例，用合理的步驟詳細描述了在解決回歸模型在統(tǒng)計分析中的應(yīng)用的問題中該如何具體去做。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；統(tǒng)計分析；回歸分析；回歸模型；MATLAB軟件

APPLICATIONOFREGRESSIONMODELINSTATISTICALANALYSISABSTRACTIntheprocessofresearchingtherelationshipbetweentheinnercharacteristicsandfactorsoftheobject，peopleusuallybuildmathematicalmodel.Inthecaseoftheinnercausalitythatpeoplecannotanalyseofactualobject，weoftentobuildmodelbasedonstatisticalanalysisofdata.Asamethodforseekingaapproximateexpressionsofthestatisticaldata,thewideapplicationsofregressionanalysismaderegressionmodelbecomeacommonmodelinstatisticalanalysisofdata.Thispaperstartsfromthethebasicconceptsuchasthemathematicalmodel,regressionanalysisandstatisticalanalysis.Thenfurtherelaboratedthebasicmethodsandgeneralstepsofmathematicalmodeling,thebasicmodel,stepsandclassificationofregressionanalysis,andthestepsofstatisticalanalysis.Finally,applyingMATLABsoftware,usingreasonablestepstodescribehowtosolvetheproblemthattheapplicationofregressionmodelsinstatisticalanalysisindetail,byusingaexampleaboutpeople'sevaluationtowardsacertainbrandoffood.Keywords:mathematicalmodel;statisticalanalysis;regressionanalysis;regressionmodel;MATLABsoftware目錄292871問題的提出 164932數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 239172.1根本概念 2243072.2數(shù)學(xué)建模的根本方法 2178732.2數(shù)學(xué)建模的一般步驟 244033回歸分析與回歸模型 4273383.1根本概念 4142663.2刻畫回歸模型 4238053.3回歸分析的步驟 4157253.4回歸分析的分類 536194統(tǒng)計分析 6240344.1根本概念 684984.2統(tǒng)計分析的步驟 658935一個線性回歸模型實例 7122765.1問題的提出 722725.2分析與假設(shè) 766915.3模型建立 8155395.4模型求解 847795.5結(jié)果分析 9219495.5.1輸出數(shù)據(jù)結(jié)果 99645.5.2模型檢驗 93635.5.3解決提出的三個問題 10268716結(jié)論 1427068參考文獻 1530299附錄 161問題的提出當人們在研究對象的內(nèi)在特性和各因素間的關(guān)系時，通常會尋求變量間的一個具體表達式，采用機理分析方法建立數(shù)學(xué)模型。而往往由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認識程度的限制，無法分析實際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，不能確定一個具體的表達式，于是便建立符合機理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，去尋求變量間關(guān)系的近似表達式，通常的方法是搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析去建立模型。而統(tǒng)計回歸模型是用途非常廣泛的一類隨機模型[1]。

2數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模2.1根本概念數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)可以描述為，對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這里的“特定對象〞是為了解決某個實際問題而提出的；“特定目的〞是指當研究一個特定對象時要到達的目的，如分析、預(yù)測、控制、決策等；“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)〞可以是數(shù)學(xué)關(guān)系式，也可以是程序、圖、表等。數(shù)學(xué)建模(MathematicalModeling)那么是指建立數(shù)學(xué)模型的全過程[1]。2.2數(shù)學(xué)建模的根本方法一般來說，建模方法大體上可分為兩種：機理分析和測試分析。機理分析：根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義。測試分析：將研究對象看作一個“黑箱〞系統(tǒng)〔意思是它的內(nèi)部機理看不清楚〕，通過對系統(tǒng)輸入、輸出數(shù)據(jù)的測量和統(tǒng)計分析，按照一定的準那么找出與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型[1]。2.2數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準備：了解問題的實際背景，明確建模實際目的和意義，搜集對象必要的信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對象的主要特征，形成一個比擬清晰的“問題〞，由此初步確定模型的類型。模型假設(shè)：根據(jù)實際對象的特征和建模的目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要因素，做出必要的、合理的簡化假設(shè)。模型構(gòu)成：根據(jù)所作的假設(shè)，用數(shù)學(xué)的語言、符號描述對象的內(nèi)在規(guī)律，建立包含常量、變量等的數(shù)學(xué)模型，如優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型、圖的模型等。模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，采用解方程、畫圖法、優(yōu)化方法、數(shù)值計算、統(tǒng)計分析等各種數(shù)學(xué)方法，尤其是計算機技術(shù)以及數(shù)學(xué)軟件等對模型的所有參數(shù)做出計算〔或近似計算〕。模型分析：對所要建立模型的思路進行闡述，對所得的結(jié)果進行數(shù)學(xué)上的分析，如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的靈敏性分析、對假設(shè)的強健性分析等。模型檢驗：將求解和分析結(jié)果翻譯回到實際問題中，并與實際情形進行比擬，以此來驗證模型的準確性、合理性和實用性。模型應(yīng)用與推廣：應(yīng)用的方式與問題性質(zhì)、建模目的及最終的結(jié)果有關(guān)，而模型的推廣就是將已有模型擴展為一個更加全面，更加符合現(xiàn)實情況，更加適用的模型[1]。

3回歸分析與回歸模型3.1根本概念回歸分析(regressionanalysis)是用統(tǒng)計數(shù)據(jù)尋求變量間關(guān)系的近似表達式的一種方法，并利用所得公式進行統(tǒng)計描述、分析和推斷，解決預(yù)測、控制和優(yōu)化問題。回歸模型(regressionmodel)是對統(tǒng)計關(guān)系進行定量描述的一種數(shù)學(xué)模型。線性回歸(linerregressing)是應(yīng)用上最重要、理論上較完善的回歸分析方法[2,5]。3.2刻畫回歸模型用表示因變量，用表示自變量，其中是自變量的個數(shù)，和之間的真實關(guān)系可近似地用下述回歸模型刻畫〔3-1〕其中是隨機誤差，它代表在近似過程中產(chǎn)生的偏差，也就是模型不能精確擬合數(shù)據(jù)的原因。函數(shù)刻畫了和之間的關(guān)系，最簡單的情形是線性回歸模型[3]〔3-2〕3.3回歸分析的步驟回歸分析包括以下步驟：問題陳述確定變量收集數(shù)據(jù)模型設(shè)定進行相關(guān)分析計算預(yù)測誤差確定預(yù)測值[3,4]3.4回歸分析的分類根據(jù)條件可將回歸分析分為如下幾類[3]：表1回歸分析的分類回歸類型條件單變量只有一個定量的因變量多變量有兩個或兩個以上定量的因變量簡單只有一個自變量多元有兩個或兩個以上自變量線性方程關(guān)于所有的參數(shù)都是線性的，或經(jīng)變量變換后是線性的非線性因變量和某些自變量之間具有非線性關(guān)系，或一些參數(shù)是以非線性形式出現(xiàn)的，并且不能經(jīng)變換將參數(shù)線性化方差分析自變量都是定性變量協(xié)方差分析自變量有定量變量，也有定性變量Logistic因變量是定性變量

4統(tǒng)計分析4.1根本概念統(tǒng)計分析〔statisticalanalysis〕是商業(yè)智能〔BI〕的一方面，涉及收集、審查業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)和趨勢報告。統(tǒng)計分析是繼統(tǒng)計設(shè)計、統(tǒng)計調(diào)查、統(tǒng)計整理之后的一項十分重要的工作，是在前幾個階段工作的根底上通過分析從而到達對研究對象更為深刻的認識。統(tǒng)計分析是運用統(tǒng)計方法及與分析對象有關(guān)的知識，從定量與定性的結(jié)合上進行的研究活動。它又是在一定的選題下，集分析方案的設(shè)計、資料的搜集和整理而展開的研究活動。統(tǒng)計分析的必要條件是系統(tǒng)、完善的資料；重要特征是運用統(tǒng)計方法、定量與定性的結(jié)合；產(chǎn)品是高質(zhì)量、準確而又及時的統(tǒng)計數(shù)據(jù)和高層次、有一定深度、廣度的統(tǒng)計分析報告；特點是數(shù)據(jù)性、目的性和時效性[6]。4.2統(tǒng)計分析的步驟統(tǒng)計分析可以分為以下5個步驟：描述要分析的數(shù)據(jù)的性質(zhì)研究根底群體的數(shù)據(jù)關(guān)系創(chuàng)立一個模型，總結(jié)數(shù)據(jù)與根底群體的聯(lián)系證明〔或否認〕該模型的有效性采用預(yù)測分析來預(yù)測將來的趨勢[6]

5一個線性回歸模型實例5.1問題的提出為了研究人們對某種品牌食品的喜愛程度和該食品的水分含量和甜度的關(guān)系，進行了一個完全隨機化設(shè)計的小規(guī)模試驗，得到以下數(shù)據(jù)：表2某品牌食品的水分含量、甜度和人們的喜愛程度數(shù)據(jù)12345678444466662424242464736176728071839101112131415168888101010102424242483898693889594100試建立線性回歸擬合模型，對如何解釋？并做進一步的分析求出殘差向量，分別作出殘差關(guān)于擬合值，，以及的殘差圖及殘差的正態(tài)圖，具體分析并予以評述。對給出合理的假設(shè)，給出一組新的數(shù)據(jù)觀測值，給出的預(yù)測值和99%的置信區(qū)間。擬合關(guān)于的一元線性回歸模型，與二元線性回歸模型作比擬，由此得出什么結(jié)論[2]？5.2分析與假設(shè)初步分析表中數(shù)據(jù)可知，該食品的水分含量和甜度均與人們的喜愛程度在一定程度上呈正相關(guān)，具有函數(shù)相關(guān)性。并且通過比擬可以發(fā)現(xiàn)，人們對這該產(chǎn)品的水分偏愛較甜度更為敏感。為簡化數(shù)據(jù)模型，可作出如下假設(shè)：該食品的水分含量和甜度構(gòu)成回歸自變量；因變量是人們對該種品牌食品的喜愛程度；自變量，與因變量之間具有顯著的線性關(guān)系，且考慮〔，〕固定取幾組值；實驗所得數(shù)據(jù)值與估計值之間的偏差均值為0，方差為，并且實驗所得數(shù)據(jù)值的統(tǒng)計規(guī)律為正態(tài)分布。5.3模型建立根據(jù)假設(shè)，可初步確定該食品的水分含量和甜度與人們的喜愛程度之間的關(guān)系，即為線性關(guān)系，建立如下二元線性回歸模型：〔5-1〕5.4模型求解直接運用MATLAB統(tǒng)計工具箱中的命令regress求解，使用格式為：[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)得出回歸模型〔5-1〕中的參數(shù)分別是，，，,那么回歸方程為〔5-1〕其中對于的解釋分析為：我們用食品的水分含量來預(yù)測人們對某種品牌食品的喜愛程度的回歸系數(shù)為；而的標準差為2.3094，的標準差為11.4514，因此表準化后的回歸系數(shù)為；由回歸分析原理知道，對的影響程度很大，就是預(yù)測的最正確擬合直線的斜率。模型求解的詳細計算步驟及MATLAB運行結(jié)果見附錄：1。5.5結(jié)果分析5.5.1輸出數(shù)據(jù)結(jié)果由MATLAB輸出結(jié)果我們可得到如下數(shù)據(jù)：回歸模型〔5-1〕中的參數(shù)分別是：，，，決定系數(shù)：相關(guān)系數(shù)：檢驗統(tǒng)計量:值：5.5.2模型檢驗需要檢驗檢驗法由于給定的顯著性水平：，查分布表，,顯然,根據(jù)檢驗準那么知，拒絕，即認為,與的線性關(guān)系顯著。相關(guān)系數(shù)的評價由相關(guān)系數(shù)在范圍內(nèi)，可判斷,與具有較強的線性關(guān)系。值檢驗由于值滿足，因此可以說明,與的線性關(guān)系顯著。以上使用三種統(tǒng)計推斷方法推斷的結(jié)果是一致的，都認為自變量,與因變量的線性關(guān)系顯著。說明以上模型假設(shè)和回歸模型能夠根本反映,與的關(guān)系。5.5.3解決提出的三個問題由MATLAB輸出結(jié)果可知，殘差向量為：r=[，，，，，，，，，，，，，，]利用殘差向量r和MATLAB語句normplot(r)，得到殘差向量的正態(tài)性檢驗圖，如圖1:圖1殘差向量的正態(tài)性檢驗圖利用殘差向量r，殘差的區(qū)間估計值rint和MATLAB語句：rcoplot(r,rint)，得到時序殘差圖，如圖2：圖2時序殘差圖分別以的擬合值，，以及為橫坐標，殘差向量為縱坐標，作出作出殘差關(guān)于擬合值，，以及的殘差圖，如圖3〔源程序見附錄:2〕：圖3殘差關(guān)于擬合值，，，以及的殘差圖分析及評述：觀察圖1，殘差向量的正態(tài)檢驗圖中，點“+〞呈現(xiàn)的散點在一條直線上，因此可知，誤差的正態(tài)性假設(shè)是合理的。觀察圖2，時序殘差圖中的殘差值均落在以“〞為中軸線的帶狀區(qū)域內(nèi)，且無明顯的趨勢，說明數(shù)據(jù)沒有奇異點，并且建立的線性回歸模型比擬適合于樣本數(shù)據(jù)。觀察圖3，殘差關(guān)于擬合值，，，以及的殘差圖中，由四幅圖所出現(xiàn)的形狀可知，他們沒有明顯的趨勢性變化，是比擬滿意的形式。對的合理假設(shè)：假定是獨立同正態(tài)分布的隨機變量，有零均值和常值方差。因此，假設(shè)擬合的回歸模型適合于所給數(shù)據(jù)，那么殘差應(yīng)根本上反映未知誤差的這些特性。將新的數(shù)據(jù)觀測值帶入回歸方程，將得到的點估計值。MATLAB程序：x0=[1,5,4];y0=b'*x0'計算結(jié)果：即的估計值為77.275。使用MATLAB語句：rstool〔X,Y,’inmodel’,alpha〕,擬合二次響應(yīng)曲面回歸明顯以及預(yù)測的交互式界面，程序如下：X=[44446666888810101010;2424242424242424]';Y=[647361767280718383898693889594100]';alpha=0.01;rstool(X,Y)得到界面如圖4：圖4二次曲面交互界面在所得界面的兩個窗口分別輸入，那么圖形左側(cè)顯示數(shù)據(jù)，它即使在點處99%的置信區(qū)間，即[,]。利用MATLAB擬合關(guān)于的一元線性回歸模型〔源程序及輸出結(jié)果見附錄:3〕：回歸方程為：決定系數(shù)：相關(guān)系數(shù)：統(tǒng)計檢驗量:值：運用三種模型檢驗方法：檢驗法，相關(guān)系數(shù)的評價和值檢驗均可推斷出都認為自變量與因變量的線性關(guān)系顯著。說明該一元線性回歸模型能夠根本反映與的關(guān)系。比擬性結(jié)論：此一元線性回歸模型與第一問建立的二元線性回歸模型比擬，我們可以看到二者的的回歸系數(shù)是相同的，以此我們可以認為與不相關(guān)。并且在二元線性回歸模型中，將回歸系數(shù)標準化后可得出：喜愛程度〔)與水分含量〔〕的標準回歸系數(shù)為0.8924，說明二者顯著相關(guān)；而喜愛程度〔Y)與甜度〔〕的標準回歸系數(shù)為0.3946，說明二者不顯著相關(guān)。而這一點與問題初步分析中得出的“人們對這該產(chǎn)品的水分偏愛較甜度更為敏感〞的初步印象是相一致的；可以說第四問的解答進一步說明了所建立的線性回歸模型是合理的，較為真實的反映了實際信息。6結(jié)論在做這次課程設(shè)計之前，我一直認為回歸分析是一個很難的知識點，每次遇到關(guān)于回歸分析的問題我都感到無從下手，這當然與自己不能靜下心來好好研究此類問題有關(guān)。做這次課程設(shè)計的過程中，通過查找資料與自己動手寫程序操作，在MATLAB的幫助下，發(fā)現(xiàn)回歸分析并不是像自己之前所想的那么難，關(guān)鍵是要找到理清思路，根據(jù)特定的步驟，并借用MATLAB進行分析。而且做完這次課程設(shè)計后，更加深刻體會到MATLAB的強大功能。在數(shù)學(xué)建模和統(tǒng)計分析中運用MATLAB能使問題更加簡單、快速地解決。因此，我認為自己應(yīng)該多看些數(shù)學(xué)建模的實例，提高建模的能力，同時也要提高對數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析的能力，還要更深入地研究MATLAB，了解MATLAB更加強大的功能。

參考文獻[1]姜啟源，謝金星，葉?。當?shù)學(xué)模型〔第四版〕[M]．北京：高等教育出版社，2021：1-18，325-332．[2]劉瓊蓀，龔劬，何中市，傅鸝，任善強．數(shù)學(xué)實驗[M]．北京：高等教育出版社，2004：89-108．[3]〔美〕SampritChatterjee，AliS.Hadi著，鄭忠國，許靜譯．例解回歸分析〔原書第5版〕[M].北京：機械工業(yè)出版社，2021：1．[4]回歸分析_百度百科．[5]回歸模型_百度百科[6]統(tǒng)計分析_百度百科

附錄MATLAB運行結(jié)果： 輸入數(shù)據(jù)A=[44446666888810101010;2424242424242424];a=ones(16,1);X=[a,A'];alpha=0.01;Y=[647361767280718383898693889594100]';MATLAB調(diào)用格式[b,bint,r,rint,sta