安徽省蕪湖市新港職業(yè)高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列命題中正確的是（）A．經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直B．經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行C．經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一平面與已知平面垂直參考答案：A【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】A，如果過一點(diǎn)有兩條直線與平面垂直，那么這兩條直線平行，與兩直線交于一點(diǎn)矛盾；B，經(jīng)過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知平面平行，它們?cè)谠撈矫娴囊粋€(gè)平行平面內(nèi)；C，經(jīng)過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線垂直，它們?cè)谠撝本€的一個(gè)垂面內(nèi)；D，經(jīng)過平面外一點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直；【解答】解：對(duì)于A，如果過一點(diǎn)有兩條直線與平面垂直，那么這兩條直線平行，與兩直線交于一點(diǎn)矛盾，故正確；對(duì)于B，經(jīng)過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知平面平行，它們?cè)谠撈矫娴囊粋€(gè)平行平面內(nèi)，故錯(cuò)；對(duì)于C，經(jīng)過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線垂直，它們?cè)谠撝本€的一個(gè)垂面內(nèi)，故錯(cuò)；對(duì)于D，經(jīng)過平面外一點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直，故錯(cuò)；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．2.雙曲線(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為，在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足，則此雙曲線的離心率e的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.曲線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，則曲線是（

）A、線段B、雙曲線的一支C、圓

D、射線參考答案：D4.要完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭、200戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調(diào)查社會(huì)購買能力的某項(xiàng)指標(biāo)；②

從某中學(xué)的5名藝術(shù)特長(zhǎng)生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況．宜采用的方法依次為（

）

A．①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣調(diào)查，②系統(tǒng)抽樣

B．①分層抽樣，②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

C．①系統(tǒng)抽樣，②

分層抽樣

D．①②

都用分層抽樣

參考答案：B略5.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C6.不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.過坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，直線AB被圓截得弦|AB|的長(zhǎng)度為A.

B.

C.

D.參考答案：B8.已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為A.

B.

C.

D.參考答案：C9.三棱錐中，兩兩垂直且相等，點(diǎn)分別是線段和上移動(dòng)，且滿足，，則和所成角余弦值的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10..曲線在點(diǎn)處的切線方程為

A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為．參考答案：【考點(diǎn)】F1：歸納推理；89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】觀察圖例，我們可以得到每一行的數(shù)放在一起，是從一開始的連續(xù)的正整數(shù)，故n行的最后一個(gè)數(shù)，即為前n項(xiàng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，故我們要判斷第n行（n≥3）從左向右的第3個(gè)數(shù)，可先判斷第n﹣1行的最后一個(gè)數(shù)，然后遞推出最后一個(gè)數(shù)據(jù)．【解答】解：本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式．前n﹣1行共有正整數(shù)1+2+…+（n﹣1）個(gè)，即個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個(gè)，即為．【點(diǎn)評(píng)】歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．12.一個(gè)幾何體由八個(gè)面圍成，每個(gè)面都是正三角形，有四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)且為正方形，若該八面體的棱長(zhǎng)為2，所有頂點(diǎn)都在球O上，則球O的表面積為_______．參考答案：8π【分析】根據(jù)該八面體的棱長(zhǎng)為2，所有頂點(diǎn)都在球上可確定球的半徑，即可求出球的表面積。【詳解】根據(jù)題意該八面體的棱長(zhǎng)為，所有頂點(diǎn)都在球上所以球的半徑為幾何體高的一半，即半徑所以表面積【點(diǎn)睛】本題考查球體的表面積公式，解題的關(guān)鍵是求出半徑，屬于簡(jiǎn)單題。13.數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，...的第15項(xiàng)是

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．參考答案：5略14.已知函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程是2x﹣3y+1=0，則f（1）+f′（1）=

．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】由切線的方程找出切線的斜率，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在x=1的值等于斜率，得到x=1時(shí)，f′（1）的值，又切點(diǎn)在切線方程上，所以把x=1代入切線方程，求出的y的值即為f（1），把求出的f（1）和f′（1）相加即可得到所求式子的值．【解答】解：由切線方程2x﹣3y+1=0，得到斜率k=，即f′（1）=，又切點(diǎn)在切線方程上，所以把x=1代入切線方程得：2﹣3y+1=0，解得y=1即f（1）=1，則f（1）+f′（1）=+1=．故答案為：15.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足：(2－＋i)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中項(xiàng)，求|z|= .參考答案：略16.已知集合A={1,3,m}，B={3,4}，A∪B={1,2,3,4}，則實(shí)數(shù)m=

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．參考答案：217.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，PE⊥BD，E為垂足，則PE的長(zhǎng)為________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬元到1000萬元的投資益?，F(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過9萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%。（1），若建立函數(shù)模型制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，試用數(shù)學(xué)語言表述該公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)型的基本要求，并分析函數(shù)是否符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，并說明原因；（2）若該公司采用模型函數(shù)作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值。參考答案：略19.在平面直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過三點(diǎn)．（1）求圓的方程；（2）若圓與直線交于兩點(diǎn)，且，求的值．參考答案：.⑴因?yàn)閳A的圓心在線段的直平分線上，所以可設(shè)圓的圓心為，

------------------------2分則有解得則圓C的半徑為 所以圓C的方程為

------------6分⑵設(shè)，其坐標(biāo)滿足方程組：消去，得到方程由根與系數(shù)的關(guān)系可得，----------8分由于可得,又所以由①，②得，滿足故

-----------------------12分20.夏天喝冷飲料已成為年輕人的時(shí)尚.某飲品店購進(jìn)某種品牌冷飲料若干瓶，再保鮮.（Ⅰ）飲品成本由進(jìn)價(jià)成本和可變成本（運(yùn)輸、保鮮等其它費(fèi)用）組成根據(jù)統(tǒng)計(jì)，“可變成本”y（元）與飲品數(shù)量x（瓶）有關(guān)系.y與x之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：飲品數(shù)量x（瓶）24568可變成本y（元）34445

依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；如果該店購入20瓶該品牌冷飲料，估計(jì)“可變成本”約為多少元？（Ⅱ）該飲品店以每瓶10元的價(jià)格購入該品牌冷飲料若干瓶，再以每瓶15元的價(jià)格賣給顧客。如果當(dāng)天前8小時(shí)賣不完，則通過促銷以每瓶5元的價(jià)格賣給顧客(根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)天能夠把剩余冷飲料都低價(jià)處理完畢，且處理完畢后，當(dāng)天不再購進(jìn))．該店統(tǒng)計(jì)了去年同期100天該飲料在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量(單位：瓶)，制成如下表：每日前8個(gè)小時(shí)銷售量（單位：瓶）15161718192021頻數(shù)10151616151315

若以100天記錄的頻率作為每日前8小時(shí)銷售量發(fā)生的概率，若當(dāng)天購進(jìn)18瓶，求當(dāng)天利潤(rùn)的期望值.（注：利潤(rùn)=銷售額－購入成本－“可變本成”）參考公式：回歸直線方程為，其中參考數(shù)據(jù)：，

.參考答案：(Ⅰ)，可變成本”約為元；(Ⅱ)利潤(rùn)的期望值為元【分析】（Ⅰ）將關(guān)于之間對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式求出與，可得出回歸直線方程，再將代入回歸直線方程可得出“可變成本”的值；（Ⅱ）根據(jù)利潤(rùn)公式分別算出當(dāng)銷量分別為瓶、瓶、瓶、瓶時(shí)的利潤(rùn)和頻率，列出利潤(rùn)隨機(jī)變量的分布列，結(jié)合分布列計(jì)算出數(shù)學(xué)期望值，即可得出答案。【詳解】（Ⅰ），，，，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為：當(dāng)時(shí)，，所以該店購入20瓶該品牌冷飲料，估計(jì)“可變成本”約為元；（Ⅱ）當(dāng)天購進(jìn)18瓶這種冷飲料，用表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），當(dāng)銷售量為15瓶時(shí)，利潤(rùn)，；當(dāng)銷售量為16瓶時(shí)，利潤(rùn)，；當(dāng)銷售量為17瓶時(shí)，利潤(rùn)，；當(dāng)銷售量為18瓶時(shí)，利潤(rùn)，；那么的分布列為：52.162.172.182.1

的數(shù)學(xué)期望是：，所以若當(dāng)天購進(jìn)18瓶，則當(dāng)天利潤(rùn)的期望值為元.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線方程以及隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，在求解隨機(jī)變量分布列時(shí)，關(guān)鍵要弄清楚隨機(jī)變量所服從的分布類型，掌握各分布類型的特點(diǎn)，考查分析問題能力與計(jì)算能力，屬于中等題。

21.（本小題滿分13分）某投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起了一座蔬菜加工廠，經(jīng)營(yíng)中，第一年支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元.設(shè)表示前n年的純利潤(rùn)總和，（f（n）=前n年的總收入–前n年的總支出–投資額72萬元）.（I）該廠從第幾年開始盈利？（II）該廠第幾年年平均純利潤(rùn)達(dá)到最大？并求出年平均純利潤(rùn)的最大值.參考答案：由題意知.（I）由，由知，從第三年開始盈利.（II）年平均純利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)等號(hào)成立.

年平均純利潤(rùn)最大值為16萬元，即第6年，投資商年平均純利潤(rùn)達(dá)到最大，年平均純利潤(rùn)最大值16萬元.22.觀察下列等式，猜想一個(gè)一般性的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．1﹣x2=（1﹣x）（1+x），1﹣x3=（1﹣x）（1+x+x2），1﹣x4=（1﹣x）（1+x+x2+x3）．參考答案：歸納猜想得：1﹣xn=（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1），n∈N*．檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立解：歸納猜想得：1﹣xn=（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1），n∈N*．證明