江蘇省連云港市浦南雙語學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.甲、乙兩人各自獨(dú)立隨機(jī)地從區(qū)間[0，1]任取一數(shù)，分別記為x、y，則x2+y2＞1的概率P=（）A． B． C． D．1-參考答案：D考點(diǎn)：幾何概型．專題：數(shù)形結(jié)合；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：在平面直角坐標(biāo)系中作出圖形，則x，y∈[0，1]的平面區(qū)域?yàn)檫呴L為1的正方形，符合條件x2+y2＞1的區(qū)域?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心，1為半徑的扇形外部，則扇形面積與正方形面積的比為概率．解答：解：在平面直角坐標(biāo)系中作出圖形，如圖所示，則x，y∈[0，1]的平面區(qū)域?yàn)檫呴L為1的正方形OABC，符合條件x2+y2＞1的區(qū)域?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心，1為半徑的扇形OAC外部，則對(duì)應(yīng)的面積S=1﹣=1﹣，則對(duì)應(yīng)的概率P==1，故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)條件求出對(duì)應(yīng)的面積是解決本題的關(guān)鍵2.下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的a=2，則輸入的a，b可能是（

）A．15,18

B．14,18

C．12,18

D．9,18參考答案：B3.如圖，已知平面，、是上的兩個(gè)點(diǎn)，、在平面內(nèi)，且，，在平面上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得，則面積的最大值是（

）

A．B．C．D．參考答案：C因?yàn)椋栽谥苯侨切蜳AD,PBC中，,即,即,設(shè)，過點(diǎn)P做AB的垂線，設(shè)高為，如圖，在三角形中有，整理得，所以，所以的最大值為4，所以面積最大為，選C.

4.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．命題“若，則”與命題“若則”互為逆否命題;B．命題，命題則為真;C．“若則”的逆命題為真命題;D．若為假命題，則、均為假命題．參考答案：C5.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的S值為（

）A.1

B.

C.

D.0參考答案：D6.已知是單位圓上（圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O）任意一點(diǎn)，且射線OA繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到OB交單位圓于點(diǎn)的最大值為

A．

B．

C．1

D．

參考答案：7.設(shè)α是第三象限，cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=﹣，則tan=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3參考答案：B【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】由條件利用兩角差的余弦公式求得cosα=﹣，可得sinα的值，再利用半角公式求得tan的值．【解答】解：α是第三象限，cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=cos[（α+β）﹣β]=cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，則tan===﹣2，故選：B．8.若函數(shù)f(x)=在區(qū)間上有極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C9.若曲線在點(diǎn)處切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A10.已知等差數(shù)列中，有，且它們的前項(xiàng)和有最大值，則使得的

的最大值為

（

） A．11

B．19

C．20

D．21參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的展開式中的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)參考答案：8012.雙曲線的漸近線方程為

.參考答案：略13.已知偶函數(shù)f（x）滿足f（x﹣1）=f（x+1）且當(dāng)x∈[0，1]，f（x）=x2，若f（x）=|loga|x||在[﹣2，3]上有5個(gè)根，求a的取值范圍．參考答案：a≥3考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：易得函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，且T=2，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得．解答：解：∵偶函數(shù)f（x）滿足f（x﹣1）=f（x+1），∴函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，且T=2．又∵當(dāng)x∈[0，1]，f（x）=x2，作出函數(shù)f（x）和y=|loga|x||在[﹣2，3]上的圖象，數(shù)形結(jié)合可得|loga3|≤1即可，解得a≥3故答案為：a≥3點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題14.(幾何證明選講)以的直角邊為直徑的圓交邊于點(diǎn),點(diǎn)在上,且與圓相切.若,則_________.參考答案：連接OE，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?與圓相切,所以O(shè)、B、C、E四點(diǎn)共線，所以。15.（5分）（2015?蘭山區(qū)校級(jí)二模）函數(shù)f（x）=2ax+1﹣3（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是．參考答案：（﹣1，﹣1）【考點(diǎn)】：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：利用a0=1（a≠0），取x=﹣1，得f（﹣1）的值，即可求函數(shù)f（x）的圖象所過的定點(diǎn)．解：當(dāng)x=﹣1時(shí)，f（﹣1）=2a1﹣1﹣3=﹣1，∴函數(shù)f（x）=2ax+1﹣3的圖象一定經(jīng)過定點(diǎn)（﹣1，﹣1）．故答案為：（﹣1，﹣1）【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了含有參數(shù)的函數(shù)過定點(diǎn)的問題，自變量的取值使函數(shù)值不含參數(shù)即可求出其定點(diǎn)．16.已知函數(shù)則=_______.參考答案：因函數(shù)所有17.盒中有3張分別標(biāo)有1，2，3的卡片．從盒中隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼后放回，再隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼，則兩次抽取的卡片號(hào)碼中至少有一個(gè)為偶數(shù)的概率為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)于恒有，已知當(dāng)時(shí)，則（1）的周期是2；

（2）在（1，2）上遞減，在（2，3）上遞增；（3）的最大值是1，最小值是0；（4）當(dāng)時(shí)，其中正確的命題的序號(hào)是

.參考答案：(1),(2),(4).19.若F1，F(xiàn)2是橢圓C：+=1（0＜m＜9）的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點(diǎn)M．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)（0，）的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，線段AB的中垂線l1交x軸于點(diǎn)N，R是線段AN的中點(diǎn)，求直線l1與直線BR的交點(diǎn)E的軌跡方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（Ⅰ）求出a=3，b=，設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)F1，設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為：M；由題意，OM⊥PF1，又OM=b，OM是△PF1F2的中位線，由橢圓定義，在Rt△OMF1中的勾股定理，求出b=2，得到m．然后求解橢圓C的方程．（Ⅱ）上焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，）．直線l的斜率k必存在．設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），弦AB的中點(diǎn)Q（x0，y0），利用平方差法得到AB的斜率，通過（1）當(dāng)x0≠0時(shí)，k=kAB=，推出9x02+4y02﹣4y0=0，連結(jié)BN，則E為△ABN的重心，設(shè)E（x，y），利用重心坐標(biāo)公式，推出代入9x02+4y02﹣4y0=0軌跡方程，（2）當(dāng)x0=0時(shí)，驗(yàn)證即可．【解答】解：（Ⅰ）∵0＜m＜9，∴a=3，b=，不妨設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)F1，設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為：M；由題意，OM⊥PF1，又OM=b，OM是△PF1F2的中位線，∴|PF2|=2b，由橢圓定義，|PF1|=2a﹣2b=6﹣2b．∴=3﹣b，在Rt△OMF1中：，∴c2=b2+（3﹣b）2，又c2=a2﹣b2=9﹣b2．，∴b2+（3﹣b）2=9﹣b2交點(diǎn)b=0（舍去）或b=2，∴m=b2=4．∴橢圓C的方程：+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）橢圓C的方程：+=1．上焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，）．直線l的斜率k必存在．設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），弦AB的中點(diǎn)Q（x0，y0），由，可得4（y1+y2）（y1﹣y2）=﹣9（x1+x2）（x1﹣x2），∴k==﹣=﹣（y0≠0）（1）當(dāng)x0≠0時(shí)，k=kAB=∴k==?9x02+4y02﹣4y0=0，?又l1：y﹣y0=，∴N（），連結(jié)BN，則E為△ABN的重心，設(shè)E（x，y），則，∴代入9x02+4y02﹣4y0=0可得：48x2+3y2﹣2，（y≠0）．（2）當(dāng)x0=0時(shí)，l：y=，N（0，0），E（0，）也適合上式，綜上所述，點(diǎn)E的軌跡方程為：48x2+3y2﹣2，（y≠0）．20.（13分）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為

（1）a表示；

（II）若函數(shù)在R上存在極值，求a的范圍。參考答案：解析：（I）

…………6分

（II）設(shè)處取得極值則使得不滿足假設(shè)。當(dāng)必須有兩個(gè)相異根。故

即

…………13分21.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．以點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ﹣）=2（Ⅰ）將直線l化為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求曲線C上的一點(diǎn)Q到直線l的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直線l的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρcosθ+ρsinθ=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能示出直線l的直角坐標(biāo)方程．（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），點(diǎn)Q到直線l的距離為d=，由此能求出曲線C上的一點(diǎn)Q到直線l的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ﹣）=2∴ρ（cos+sin）=2，化簡得，ρcosθ+ρsinθ=4，…（1分）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=4．…（3分）（Ⅱ）由于點(diǎn)Q是曲線C上的點(diǎn)，則可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），…（4分）點(diǎn)Q到直線l的距離為d=…=．…（7分）當(dāng)sin（）=﹣1時(shí)，即，dmax==3．…（9分）此時(shí)，cos=﹣，sin，∴點(diǎn)Q（﹣）．…（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查曲線上的一點(diǎn)到直線的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的合理運(yùn)用．22.已知定直線l:x=1和定點(diǎn)M(t,0)(t∈R),動(dòng)點(diǎn)P到M的距離等于點(diǎn)P到直線l距離的2倍。（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并討論它表示什么曲線；（2）當(dāng)t=4時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過點(diǎn)M作傾斜角為θ(θ>0)的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，直線l與x軸交于點(diǎn)N。若點(diǎn)N恰好落在以線段AB為直徑的圓上，求θ的值。參考答案：解：（1）設(shè)P（x,y），則由題意得=2|x-1|,化簡得3x2-y2+2(t-4)x+4-t2=0，………4分；當(dāng)t=1時(shí)，化簡得y=±(x-1),表示兩條直線；當(dāng)t≠1時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線?！?分；（2）當(dāng)t=4時(shí)，C：,M(4,0),N(1,0).由題意知NA⊥NB，所以，