函數(shù)及其表示方法

一、考綱要求

I.理解函數(shù)的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的要素（定義域、值域、對應(yīng)法則）。

2.理解函數(shù)的三種表示方法（圖象法、列表法、解析法），會選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞唵吻榫?/p>

中的函數(shù)。

3.了解映射的概念。

二、知識要點

1,函數(shù)的定義：一般地，設(shè)A、B是兩個。如果按某種對應(yīng)法則了,對于集

合A中元素x,在集合B中都有的元素y和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)

叫做從A到B的一個函數(shù)，通常記為,其中叫做函數(shù)y=/（x）的

定義域。

2.函數(shù)的三要素：、、o

3.函數(shù)的表示方法：、、。

4.映射的定義：設(shè)A、B是兩個的集合，如果按照某種對應(yīng)法則/,對于集合

A中的元素，在集合B中都有的元素與之對應(yīng)，這樣的單值對應(yīng)叫做集

合A到集合B的映射。

三、基礎(chǔ)自測

1.已知R）,則/（p2A.

3.給定以下4個從集合A到集合B的對應(yīng)，①A={0,2},8={0,1},/:x->y=gx,

②A={-2,0,2},B={4},/:x—>y=x2>③4=/?,8=R,/:x—>y=2x+l,其

中是映射的有個。

x-3x>10

4.設(shè)函數(shù)y（x）=<則/(9)=.

/(/U+5))x<10

X123

31

5.已知函數(shù)/(x)由右表給出,則/(/(2))=/(x)2

滿足/(/(x))>1的x的值是.

四、典型例題

例1.已知集合A={1,2,3,%},B={?4,7,a",a2+3。},且a,上eN,xeA,yeB,

:x-?y=3x+l是A到B的一個函數(shù)，求a,左的值.

例2.試判斷下列各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？

元2—1

⑴/(x)=yg(x)=x+l

x-l

(2)/(x)=7x4-1?Jx-\g(X)=Jx2一:1

(3)/(x)=7x2-2x4-1g(x)=|x-l|

(4)/(x)=2x-lgQ)=2f—l

例3.設(shè)/(x)=-----尸,

3，+6

求了(一12)+/(-11)+/(-10)+…+/(0)+…/(11)+/(12)+/(13)的值

例4.設(shè)函數(shù)/(x)定義如右表，數(shù)列{x“}("iN*)滿足斗=1,且對于任意的正整數(shù)〃,

均有X"+l=f(X”)，求X2012的值.

X1234

/J,2341

五、歸納小結(jié)

六、達(dá)標(biāo)演練

L函數(shù)則大1)的值為________.

“，，XNL

2.已知下列四組函數(shù)：

①/(x)=G,g(x)=V?；②/(x)=4,g(x)={J，］:;;;

③/(%)=2班呵g(x)=(2哂=%N*)；

④/(x)=4xyjx+1,g(x)=Jx?+X.

其中表示相同函數(shù)的序號是.

3.已知定義在R上函數(shù)/(x)滿足：/(x+3)=-/(x)且/(0)=1,則/(9)=.

4.已知函數(shù)/(x),g(x)分別由下表給出.

x123X123

fU)131321

則/(g⑴)的值為；滿足/(g(x))>g(/(x))的x的值是.

5.已知函數(shù)/(x)=x-l,g(x)=.：求/(g(x))的表達(dá)式.

"2x,x<0

x>0

6.已知函數(shù)f(x)="l,x=0,(1)畫出函數(shù)/")的圖象；(2)求/(1),/(?1))

：：_1

Xx<0

的值.

函數(shù)的解析式及定義域

一、考綱要求

1.會求一些簡單函數(shù)的定義域，會選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞唵吻榫持械暮瘮?shù)。

2.了解簡單的分段函數(shù)，能寫出簡單情境中的分段函數(shù)。

二、知識要點

1.確定函數(shù)定義域的依據(jù)

①分式的分母.②偶次根式被開方式.③對數(shù)式的

真數(shù),底數(shù).④指數(shù)為。時，底數(shù).⑤已知函數(shù)/(x)

的定義域為［a,b］,其復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義域由解出。⑥實際應(yīng)用

問題的定義域，就是要使得有意義的自變量的取值集合.

2.求函數(shù)解析式的常用方式有、、、

三、基礎(chǔ)自測

1.函數(shù)y=的定義域為

7FH

2.函數(shù)/(x)的定義域為［0,門，則/(3x—l)的定義域為

3.若/(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),則g(x)的表達(dá)式為

4.已知函數(shù)/(4+1)=%+2五，則/(x)=

四、典型例題

例1.求下列函數(shù)的定義域:

(2)y=+—1.

例2.(1)求函數(shù)/(x)=—+Vx2-1+(x—4)°的定義域.

2Txi

（2）已知函數(shù)/（2、）的定義域是[-1,1],求/（logzx）的定義域

例3.(1)已知/(x+4)=丁+二，求/(x)；

XX

2

(2)已知/(—+l)=Igx,求/⑶;

x

(3)已知/(幻是一次函數(shù)，且滿足37(犬+1)-2/。-1)=21+17,求/(x);

變式訓(xùn)練：

①已知/（X+2）=/+x,求/（X）的解析式.

②已知/（X+'）=/+二，求/（X）的解析式.

XX

③已知函數(shù)/（x）滿足/（x）+2f（-x）=x2+x,求函數(shù)/（X）的解析式.

例4.等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a,BC=a,NBAD=45°,作直線MN,AD交AD于M,交折線

ABCD于N,記AM=x,試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義

域.

五、歸納小結(jié)

六、達(dá)標(biāo)演練

1,

1.已知/(x)=_；——，g(x)=x-+2,則/(2)=,g(—l)=.

1+x

/[g(2)]=____________〃g(x)]=.

r-11

2-/(x)=---,則/(x)+/(—)=-

X+1X

3.已知/(/)的定義域為“1,1],則/(2，)的定義域為.

4.已知/(x+2)=2x?+x-l,則/(x)=.

5.已知/(x)是二次函數(shù)，且/(0)=3,/(x+2)-/(x)=4x+2,則/(x)=

6.?已知/(x+l)=x2+4x+l,求/(x).

?已知/(x)為一次函數(shù)，且:"(x)]=4x+7,求/(尤).

函數(shù)的值域與最值

一、考綱要求

會求一些簡單函數(shù)的值域，理解函數(shù)最大(小)值的概念及其幾何意義。

二、知識要點

1.函數(shù)y=f(x)中，叫函數(shù)的值域.

2.常見函數(shù)的值域求法有：①觀察法；②配方法；③反函數(shù)法；④不等式法；⑤單調(diào)性法;

⑥數(shù)形法；⑦判別式法；⑧有界性法；⑨換元法。

例如：①形如y=—,可采用法；②y=2("-2),可采用法

2+/3X+23

或法；③y=a［f(x)+c,可采用法；④y=x-Jl-x，可采用

法；⑤=彳，可采用________法；⑥一可采用________法等.

2-cosx

3.設(shè)y=/(x)的定義域為A,如果存在/eA,使得對任意的xeA,都有,

那么稱/(%)為y=/(x)的最大值，記為ymaK=/(x0).如果存在與wA,使得對于任意

的xeA,都有,那么稱/(%)為y=/(x)的最小值，記為＞皿而=/(/).

三、基礎(chǔ)自測

1.反比例函數(shù)y=§(火0)的值域是.

2.函數(shù)-2x的定義域為{0,1,2,3},那么其值域為.

3.函數(shù)/(x)=-3/+》在區(qū)間［1,1］上的最大值為,最小值為.

4.函數(shù)f(x)=Vx+Jx+1的值域是.

四、典型例題

例1.求下列函數(shù)的值域：

3r+1

(1)y=-----；(2)y=2x2-4x-6,x￡［0,3］；

x—2

(3)y=cos2x-3sinx+4.

2

例2.求下列函數(shù)的值域：（l）y=(2)y=x-y/1-2x.

X-X+1

例3.如圖所示，已知正方形ABC。的邊長為10,一動點P從點A出發(fā)沿正方形的邊運動，

路線是ABCDA.設(shè)點P經(jīng)過的路線長為x,設(shè)AP2=y,試寫出y關(guān)

于x的函數(shù)，并求出其值域.

例4.求函數(shù)y=f-原+2（。為常數(shù)），x?[1,1]的最小值.

五、歸納小結(jié)

1.求函數(shù)的值域，不但要重視對應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻淖饔?

2.用判別式法及不等式法求值域（或最值），要特別注意等號能否取到；

3.求函數(shù)最值和求函數(shù)值域聯(lián)系.

六、達(dá)標(biāo)演練

i.已知/（x）=5缶，則該函數(shù)的值域為.

2.設(shè)/（幻=［忖'則/（X）的值域為____________.

1?x,|.r|<1

2

3.函數(shù)y=T—（xR）的值域是____________.

x+1

4.函數(shù)y（x）=——的最大值是_______________.

X-X+1

X

5.函數(shù)y二二一的值域為____________________.

4x—3

6.定義max{a,b}={：'：：j，貝函數(shù)/W=max{2\2A}的值域為.

7.若函數(shù)-2x+4的定義域、值域都是閉區(qū)間［2,2。］,則匕=.

8.若函數(shù)/（x）的定義域為［0,1］,值域為［1,2］,則/（x+2）的定義域為,值域

為.

9.求下列函數(shù)的值域：⑴y=2x-⑵八Msmx.

,2+sinx

10.已知/(x)=2+log3X,xe[l,9],求函數(shù)y="(x)f+/(/)的值域。

函數(shù)的圖象

一、考綱要求

會畫函數(shù)的圖象，會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。

二、知識要點

1.函數(shù)圖象的作法通常有兩種：、。

2.圖象變換法作圖：

(1)平移變換

y=/(x)------------------------------------------------------?y=f(x+h)

y=----------------------------------------------------?y=f(x)+k

(2)對稱變換

①y=/(幻與y=/(-x)的圖象關(guān)于對稱。

②y=-/(x)與y=/(尤)的圖象關(guān)于對稱。

③丁=-/(-x)與y=/(無)的圖象關(guān)于對稱。

④y=|/(x)|的圖象可由y=/(x)的圖象在x軸下方的部分以為對稱軸翻

折，其余部分得到。

⑤y=/(W)的圖象，可將y=/(x)(xNO)的部分作出，x<0的部分的圖象可以利

用偶函數(shù)的圖象關(guān)于對稱作出。

(3)伸縮變換

①y=Af(x)(A>0)的圖象，可將y=/(x)的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)，

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫健?/p>

②y=f(ax)(a>0)的圖象，可將y=/(x)的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

一倍，縱坐標(biāo)得到。

(4)對于定義域內(nèi)的任意x,若f(a—x)=f(a+x)(或f(x)=f(2a—x)),則f(x)

圖象關(guān)于對稱，若f(a—x)+f(a+x)=2b(或f(x)+f(2a—x)=

2b),則f(x)圖象關(guān)于對稱.

三、基礎(chǔ)自測

1.已知函數(shù)/(x)=log?x的圖象上有一點P,由P的橫坐標(biāo)為8,則P的縱坐標(biāo)為.

2

2.如果函數(shù)y=/")是偶函數(shù)，那么函數(shù)丁=/(x+1)的圖象關(guān)于對稱.

3.根據(jù)下列各函數(shù)式的變換，在箭頭上方填寫對應(yīng)函數(shù)圖象的變換，

(1)y*--------------------?y=2---------------------?y=2*T+3

(2)y=log：--------------------?y=log2(—x)--------------------?y=log2(3-x)

4.y=/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)成中心對稱的充要條件是.

四、典型例題

例1：作出下列各個函數(shù)的示意圖

⑴y=2；(2)y=x2+3x+2,xe[-3,l]

x—1

(3)y=|2x-x2|(4)y=2|x|-x2

例2.⑴已知函數(shù)y=/(x)定義域為R,且當(dāng)xlR時，/(m+x)=/(〃?-x)恒成

立，求證：y=/(X)的圖象關(guān)于直線x=能對稱；

⑵若函數(shù)y=log21ax-1|的圖象的對稱軸是x=2,求非零實數(shù)。的值.

例3：(1)已知0<a<1,方程aN=|logax|的實根個數(shù)是。

(2)若不等式71-x2<x+。在區(qū)間［-1,1］上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

五、歸納小結(jié)

1.函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性;

2.平移、對稱、伸縮是圖象的三種基本變換.

六、達(dá)標(biāo)演練

1.為得到函數(shù)y=2r3+1的圖象，只需把函數(shù)y=2'-的圖象上所有點向—平移一個單

位，再向—平移一個單位.

2.設(shè)/(x)=3戶％若要使f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，貝加=o

3.函數(shù)y=cosgx+吊)的圖象可以由y=cosx的圖象得到.

4.已知/(x)=上鼻的圖象的對稱中心是(3,1),則實數(shù).

x-a-1

5.若函數(shù)y=a?x+b+1(。〉(1且awl,b為實數(shù))，的圖象恒過定點(1,2),則實數(shù)b

的值等于。

6.函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象如圖，則函數(shù)y=f(x)?g(x)的圖象可能是()

7.設(shè)a>l,實數(shù)x,y滿足|x|-log“L=0,則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象形狀大致是()

y

8.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2|x|T(-3<X<3).(1)證明：f(x)是偶函數(shù)；(2)畫出函數(shù)的圖象;

函數(shù)的單調(diào)性

一、考綱要求

理解函數(shù)的單調(diào)性及其兒何意義，會判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性。

二、知識要點

一、單調(diào)性

1.定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為A,區(qū)間/qA,如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意

兩個值尤1，馬，當(dāng)王＜/時，都有,那么就說y=/(x)在區(qū)間I上

是單調(diào)增函數(shù)，I稱為y=/(x)的,當(dāng)芭＜/時，都有，那么

就是說y=/(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為y=/(x)的.

2.判斷單調(diào)性的方法：

(1)定義法，其步驟為：①；②；③.

(2)導(dǎo)數(shù)法，若函數(shù)y=/(x)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上可導(dǎo)，①若,則/'(X)

在這個區(qū)間上是增函數(shù)；②若，則/"(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).

二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論

1.若/"(x),g(x)均為增(減)函數(shù)，則/'(x)+g(x)函數(shù)；

2.若f(x)為增(減)函數(shù)，則一f(x)為；

3.復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是定義在M上的函數(shù)，若/"(*)與g(x)的單調(diào)相同，則F[g(x)]

為,若/"(X),g(x)的單調(diào)性相反，則/＞k。)]為.

4.奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性.

三、基礎(chǔ)自測

1.已知函數(shù)y=/(x)是定義在區(qū)間/上的增函數(shù)，那么對VX1,X2e/,且玉*々，式子

/⑷一的符號為____________.

X,-x2

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是.

2

①y=-x+l?y=4x?y=x2-4x+5@y=—

x

3.已知/(x)為R上的增函數(shù)，則滿足/，)2/(4)的實數(shù)x的取值范圍是.

4.若函數(shù)/(x)=x2+(/—4a+l)x+2,在區(qū)間(-8,1]上是減函數(shù)，則。的取值范圍

是.

四、典型例題

例1.求證：函數(shù)/(x)=-工+1在區(qū)間(-00,0)上是單調(diào)增函數(shù).

X

變式訓(xùn)練1：討論函數(shù)f(x)=x+g(a>0)的單調(diào)性.

例2.定義在［-2,2］上的函數(shù)/(x)是單調(diào)減函數(shù)，若/(I一血)</(機)，求實數(shù)團(tuán)的取值

范圍.

例3.判斷函數(shù)/3)=他(尤2—2x)的單調(diào)性.

例4.已知定義在區(qū)間（0,+8）上的函數(shù)f（x）滿足f（；）=f（xj-f（x2）,且當(dāng)x>l時，f（x）<0.

（1）求f（l）的值；

（2）判斷f（x）的單調(diào)性;

（3）若f（3）=-l,解不等式f（|x|）V-2.

五、歸納小結(jié)

1.證明一個函數(shù)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)的方法有：（1）定義法.其過程是：作差——變形

——判斷符號（2）求導(dǎo)法.其過程是：求導(dǎo)——判斷導(dǎo)函數(shù)的符號——下結(jié)論.

2.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法有：（1）觀察法；（2）圖象法（即通過畫出函數(shù)圖象，觀察

圖象，確定單調(diào)區(qū)間)；(3)定義法；(4)求導(dǎo)法.注意：單調(diào)區(qū)間一定要在定義域內(nèi).

3.含有參量的函數(shù)的單調(diào)性問題，可分為兩類：一類是由參數(shù)的范圍判定其單調(diào)性；一類

是給定單調(diào)性求參數(shù)范圍，其解法是由定義或?qū)?shù)法得到恒成立的不等式，結(jié)合定義域求出

參數(shù)的取值范圍.

六、達(dá)標(biāo)演練

1.函數(shù)/(x)=2Y—機X+3,當(dāng)xe[—2,+8)時是增函數(shù)，當(dāng)xw(—%―2]時是減函數(shù)，

則/⑴」.

2.函數(shù)y=|x—2|的單調(diào)遞減區(qū)間是.

3.已知函數(shù)/(x)=sinx+5x,xw(—l,l),如果/(I—<。，則。的取值范圍

是.

4.函數(shù)y=A/X2-4的單調(diào)遞減區(qū)間是.

5.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)/(x)=—V+1在(-00,+oo)上是減函數(shù).

6.函數(shù)f(x)對任意的a、bGR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)T,并且當(dāng)x>0時，f(x)>l.

(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；

(2)若f(4)=5,解不等式f(3m?-m-2)V3.

函數(shù)的奇偶性

一、考綱要求

了解函數(shù)奇偶性的含義。

二、知識要點

1.定義：如果對于函數(shù)f（X）定義域內(nèi)的任意X都有，則稱/'（X）為

奇函數(shù)；若，則稱f（x）為偶函數(shù).如果函數(shù)/'（X）不具有上述性

質(zhì)則/'（X）不具有.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則/1（X）.

2.簡單性質(zhì)：

1）圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于對稱；一個函

數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于對稱.

2）函數(shù)/Xx）具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于對稱.

三、基礎(chǔ)自測

1.函數(shù)/（x）是定義在（一2,2）上的奇函數(shù)，當(dāng)xe（0,2）時，/（x）=2\則/（—1）=—，

/（0）=.

2

2.已知f（x）=a+---是奇函數(shù)，則實數(shù)a=____________.

4'+1

3.已知y=/（x）是H上的偶函數(shù)，且方程2/（x）+1=0有三個不同的實根玉、%x3-

則X]+x2+x3=.

4.函數(shù)/（無）=（左一2）一+（左一1）尤+3為偶函數(shù)，則/（無）的遞增區(qū)間是

四、典型例題

例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性.

/(x)=(x-2)總22

(1)(2)/(x)=V3-x+Vx-3

(3)/(x)=lg(x+A/X2+1)

(1+2,產(chǎn)

⑷/(x)

2X

(5)f(x)

|x+3|-3

變式訓(xùn)練1：判斷下列各函數(shù)的奇偶性:

x+2(x<-1),IgU-f)

(1)f(x)二<0(lxl<1),(2)f{x}

|X2-2|-2

-x+2(x>1).

例2若/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，/(x)=x(l-x),求函數(shù)/(x)的解析

式.

例3.減函數(shù)y=/(x)定義在［-1,1］上，且是奇函數(shù)，若/(a2-a-l)+/(4a-5)>0,

求實數(shù)。的取值范圍.

變式訓(xùn)練2：已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，若

/(1)</(Igx),求x的取值范圍.

例4.函數(shù)/(x)的定義域為R,且對任意x,y都有/(x+y)=/(x)+/(y),_Sx>0時,

/W<0.

(1)證明：/(x)是奇函數(shù).

(2)證明：/(x)在R上是減函數(shù).

五、歸納小結(jié)

1.奇偶性是某些函數(shù)具有的一種重要性質(zhì),對一個函數(shù)首先應(yīng)判斷它是否具有這種性質(zhì).判

斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)首先檢驗函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后根據(jù)奇偶性的定義判斷

(或證明)函數(shù)是否具有奇偶性.如果要證明一個函數(shù)不具有奇偶性，可以在定義域內(nèi)找到

一對非零實數(shù)a與一a,驗證f(a)±/'(-a)#0.

2.對于具有奇偶性的函數(shù)的性質(zhì)的研究，我們可以重點研究y軸側(cè)的性質(zhì)，再根據(jù)其對

稱性得到整個定義域上的性質(zhì).

六、達(dá)標(biāo)演練

1.已知/(x)=a/+Ax是定義在一1,2〃］上的偶函數(shù)，那么。+匕=.

2.設(shè)函數(shù)/。)=(工+1)(1+〃)為偶函數(shù)，則。=.

3.已知函數(shù)/(x)=a—不看是奇函數(shù)，則。=.

4.若函數(shù)/(%)=內(nèi)3+笈+7,且/⑸=3,則/(-5)=.

5.如果偶函數(shù)/(x)在xe(—8,0］時，有/(x)=x+l,則/(x)=.

6.已知y=/(x—2)是偶函數(shù)，y=/(x)的圖象與x軸有四個交點，則方程/(x)=0的所

有實根之和為.

7.已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xG(-8,o)時，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.

8.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且滿足f(x+2)=-f(x).

(1)求證:f(x)是周期函數(shù)；

(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0Wx<l時，f(x)=！x,求使f(x)=-工在［0,2012］上的所有x的個

22

數(shù).

二次函數(shù)

一、考綱要求

理解二次函數(shù)的概念，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元

二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系。

二、知識要點

1.二次函數(shù)解析式的三種形式：

(1)一般式：(2)頂點式：(3)零點式：

2.二次函數(shù)與一元二次方程，一元二次不等式的關(guān)系如下表所示：

類

二次函數(shù)一元二次方程一元二次不等式

別

表ax2+/zx+c>0ax24-/?x+c>0

f(x)=ax2+"+C(Q。0)

達(dá)ax2+/?x+c=0(〃WO)

式(aw0)(aw0)

條

a>0水0A=/?2-4〃c假設(shè)a>0,使不等式成立的x的取值范圍

件

A>0

圖

A=0

象

A<0

說圖象與X軸無交點，則方程無實根

明圖象與X軸一個交點，則方程有一實根(或兩個等根)

1圖象與X軸有兩個交點，則方程有兩個不相等的實根，反之成立

說

明+加:+c>0(<0)與+bx+c的圖象在x軸上方(下方)相互確定

2

3.二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c,(aW0),當(dāng)A=b?-4ac>0的圖象與x軸有兩個交點M

(X,0),A/2(X20),貝”〃陽2|=。

4.二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域

5.二次方程的實根分布。

根的存在性定理：__________________________________________________________________

三、基礎(chǔ)自測

1.若二次函數(shù)y=F_3x+2,則其圖象的開口向，對稱軸方程

為，頂點坐標(biāo)為，與x軸的交點坐標(biāo)為,最小值

為。

2.如果二次函數(shù)，y=-x2+2mx+m2-3的圖象的對稱軸為x+2=0,那么m

=，頂點坐標(biāo)為,遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為。

3.實系數(shù)方程ax2+8x+c=0,(aw0)兩實根異號的充要條件為。有兩個正根的

充要條件為，有兩個負(fù)根的充要條件為o

4.設(shè)f(x)-ax2+bx+c(a<0),若/(/M)<0,/(n)>0,/n<n,則一元二次方程

f(x)=0在區(qū)間(m,n)內(nèi)有個解。

四、典型例題

例L分別求下列二次函數(shù)的解析式：

⑴圖象頂點坐標(biāo)為(2,-1),與)，軸交點坐標(biāo)為(0,11)；

⑵已知二次函數(shù)/(x)滿足/(0)=1,S.f(x+1)-f(x)=2x；

例2.己知函數(shù)/(x)=2/-2辦+3在區(qū)間［-川上有最小值，記作g(a)

(1)求g(a)的表達(dá)式;(2)求g(a)的最大值。

例3（1）已知a,/7是方程x?+（2加一l）x+4-2m=0的兩個根，且a<2<￡,求m的取

值范圍。（2）若/+"+2=0的兩根都小于一1,求a的取值范圍。

五、歸納小結(jié)

1.根據(jù)條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)的三種表達(dá)形式（一般式、頂點式、零點式）以簡化解題過程;

2.二次函數(shù)/（x）=or2+以+eg0）在閉區(qū)間上z,〃］上最值的求法；

3.一元二次方程的區(qū)間根問題的討論；

4.解決與二次函數(shù)有關(guān)的問題的方法.

六、達(dá)標(biāo)演練

1.已知函數(shù)/（x）=4ax+24+6（xR）的值域為［0,+），則實數(shù)a-.

2.已知函數(shù)/（幻=/一2》+3在閉區(qū)間［0,加］上有最大值3,最小值2,則m的取值范圍

是。

3.把長為12cm的鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的

最小值為.

4.若關(guān)于犬的方程Y+ax+2=0兩根都大于1,求實數(shù)。的取值范圍.

5.已知函數(shù)/(x)=4/-4ax+a2-2a+2在?,2］上有最小值3,求。的值.

指數(shù)函數(shù)

一、考綱要求

1.理解有理數(shù)指數(shù)'幕的含義，了解實數(shù)指數(shù)'幕的意義，能進(jìn)行嘉的運算。

2.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義；理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，會畫指數(shù)函數(shù)的圖象。

3.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際案例，會用指數(shù)函數(shù)模型解決簡單的實際問題。

二、知識要點

1.根式：

⑴定義：若/=",則X稱為。的"次方根

①當(dāng)”為奇數(shù)時，a的〃次方根記作；

②當(dāng)"為偶數(shù)時，負(fù)數(shù)。沒有“次方根，而正數(shù)。有兩個〃次方根且互為相反數(shù)，記作

_____(a>0).

(2)性質(zhì)：

①(炳"=。；②當(dāng)"為奇數(shù)時，點=八③當(dāng)"為偶數(shù)時，如=_______=(a(a-0)

I-a(a<0)

2.指數(shù)：

(1)規(guī)定：

m

①a°=(a#))；②產(chǎn)=；③=-----------------

(2)運算性質(zhì)：

①ar-as=(a>0,r,seQ)②(?"/=(a>0,r、seQ)

③SW=(a>0,r、seQ)

注：上述性質(zhì)對r、seR均適用.

3.指數(shù)函數(shù)：

①定義：函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，1)函數(shù)的定義域為;2)函數(shù)的值

域為;3)當(dāng)時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時為增函數(shù).

②函數(shù)圖像：

1)過點，圖象在;2)指數(shù)函數(shù)以為漸近線(當(dāng)°<。<1時，圖

象向—無限接近x軸，當(dāng)。>1時，圖象向無限接近X軸)；3)函數(shù)>=〃與丫=它的圖

象關(guān)于對稱.

③函數(shù)值的變化特征：

0<a<la>1

①x>0時_______①x>0時_______

②x=O時_______②x=()時_______

③x<0時_______③xvO時_______

三、基礎(chǔ)自測

3_2

1.計算：(124+226戶—271+164—2(83)-1=

2.函數(shù)丁=32-3。+3)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，貝Ua=

3.函數(shù)y=ax+t-1,(a>0,aH1)圖象恒過點.

4.設(shè)a=0.9",b=l.l°"c=2匕則a,b,c的大小關(guān)系為.

四、典型例題

a'

1(1)\a2y[a^-yja^;

例1.已知a=g,b=9.求(2)(abY'

例2.已知函數(shù)y=（J嚴(yán)4

（1）作出圖像

（2）由圖像指出其單調(diào)區(qū)間

（3）由圖像指出當(dāng)x取什么值時有最值

例3.求下列函數(shù)的定義域、值域：

(1)f(x)=36-5x+4.(2)g(x)=-(f'+4(g)'+5

例4：已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2,且當(dāng)工￡（0,1）時，/（x）=^—

4X+1

（1）求f（X）在［-1,1］上的解析式；

（2）證明：f（x）在（0,1）上是減函數(shù).

五、歸納小結(jié)

1.在運算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便.

2.處理指數(shù)函數(shù)的有關(guān)問題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解.

3.含有參數(shù)的指數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題最基本的分類方案是以“底”

大于1或小于1分類.

六、達(dá)標(biāo)演練

1

1.計算0.2505+（吉）1625°25=.

2.已知/（x）=3'的定義域為集合4,值域為（；,243）,則集合.

3.若不等式4'-2川-420在［1,2］上恒成立，實數(shù)a的取值范圍為.

1_1/-2_2

4.已知/+X2=3,求、3的值.

x^+P-3

5.化簡下列各式（其中各字母均為正數(shù)）：

2-ILL

223

(a3?〃-)-a-bCl__l_2_1_

⑵不加?(一3小b')+(4分.萬了.

(1)

2J2r

6.已知y（x）=

2'+2r

⑴求f（x）的定義域和值域;

⑵判斷了（X）的單調(diào)性并證明.

對數(shù)函數(shù)

一、考綱要求

1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)；了解對數(shù)換底公式（只要求知道一般對數(shù)可以轉(zhuǎn)化成自

然對數(shù)或常用對數(shù)）。

2.了解對數(shù)函數(shù)模型的實際案例；了解對數(shù)函數(shù)的概念；理解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，會畫對數(shù)

函數(shù)的圖象。

二、知識要點

1.對數(shù)：

(1)定義：如果/=N(a＞0,且awl),那么稱為,記作，其中

。稱為對數(shù)的底，N稱為真數(shù).

①以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，^1。"記作.

②以無理數(shù)總=2.71828…)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，叫(^記作.

(2)基本性質(zhì)：

①真數(shù)N為(負(fù)數(shù)和零無對數(shù))；②log,I=;③log,a=:

④對數(shù)恒等式：a'°^N=.

(3)運算性質(zhì)：

①log?(MN)=；

②log,,"=；

N

③logM'=(AWR).

(4)換底公式：log?N=(a＞0,aWl,加＞0,mWl,N＞0)

⑤10g,"=.

2.對數(shù)函數(shù)：

①定義：函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，1)函數(shù)的定義域為(;2)函數(shù)

的值域為;3)當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時為增函數(shù)；

4)函數(shù)),=叫。*與函數(shù)伍＞°，且"1)互為反函數(shù).

②1)圖象經(jīng)過點()，圖象在；2)對數(shù)函數(shù)以為漸近線(當(dāng)。＜。＜1

時，圖象向上無限接近y軸：當(dāng)。＞1時，圖象向下無限接近y軸)；

4)函數(shù)y=log.x與的圖象關(guān)于x軸對稱.

③函數(shù)值的變化特征：

0<a<\a>\

①X>1時_________①X>1時_________

②X=1時_________②X-]時_________

③0cxe1時_________③0<x<1時_________

三、基礎(chǔ)自測

.,,^71g23-1g9+l（lgV27+lg8-lgV1000）_

]?111______________________________________?

1g0.3.1g1.2

2.已知3"=5"=相,'+工=2,則機=_________.

ab

/i\0,21

3.設(shè)"10gl3,6=用，c=23,則〃也c從大到小的順序為.

4.函數(shù)y=log2（x+。）圖象過（1,3）,則當(dāng)x￡時，logax>0.

四、典型例題

例1計算：(1)10g?+再(2-方)

(2)2(lgV2)"+lgV2?lg5+-JOgV2)2-lg2+1；

(3)11g—--lgV8+lg>/245.

2493

例2比較下列各組數(shù)的大小.

（1）log3,與log55;（2）log25,log35,log45.

例3.設(shè)函數(shù)嗚氏|（心°力＞°Q1）.

⑴求/（x）定義域；⑵討論/（X）奇偶性；⑶判斷了（X）的單調(diào)性，并加以證明.

例4.已知函數(shù)/0）=岷2叫

①作出函數(shù)/（X）的示意圖；②討論方程/（幻-4=0解的個數(shù)。

五、歸納小結(jié)

1.處理對數(shù)函數(shù)的有關(guān)問題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解.

2.對數(shù)函數(shù)值的變化特點是解決含對數(shù)式問題時使用頻繁的關(guān)鍵知識，要達(dá)到熟練、運用

自如的水平，使用時常常要結(jié)合對數(shù)的特殊值共同分析.

3.含有參數(shù)的指對數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題最基本的分類方案是以

“底”大于1或小于1分類.

4.含有指數(shù)、對數(shù)的較復(fù)雜的函數(shù)問題大多數(shù)都以綜合形式出現(xiàn)，與其它函數(shù)（特別是二次

函數(shù)）形成的函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要注

意知識的相互滲透或綜合.

六、達(dá)標(biāo)演練

1.］0()5電9Tg2=；(Ig2)2+lg2-lg50+lg25=?

2.函數(shù)y=^iog>(x-1)的定義域為.

(V+4)

3.函數(shù)/(X)=10g,-的值域為1

2

4.關(guān)于x的方程［g)"=log/的實根個數(shù)是_________:

5,函數(shù)〃x)=l虱"y+2X+1)定義域為R,則ae,值域為R,則.

6.函數(shù)/(x)=a*+l0gli(x+1)在［0,1］上的最大值與最小值之和為a,則a的值為

7.已知3"=5"=c,>-+-=2,求c的值.

ab

8,已知log“(2x+4)vlog“(x+5)(a>1)解集是函數(shù)y=4*+|2*-3的定義域,求函數(shù)

的值域.

賽函數(shù)

一、考綱要求

了解某函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)丫=*,y=x2,